2021-2022学年北京力迈学校高三数学理测试题含解析

2021-2022学年北京力迈学校高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义域为的函数满足，当时，单调递增，若且，则的值（

）A．恒大于0

B．恒小于0

C．可能等于0

D．可正可负参考答案：B2.在区间[1，e]上任取实数a，在区间[0，2]上任取实数b，使函数f（x）=ax2+x+b有两个相异零点的概率是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】几何概型．【分析】设所求的事件为A，由方程ax2+x+b=0有两个相异根，即△=1﹣ab＞0求出ab范围，判断出是一个几何概型后，在坐标系中画出所有的实验结果和事件A构成的区域，再用定积分求出事件A构成的区域的面积，代入几何概型的概率公式求解．【解答】解：设事件A={使函数f（x）=ax2+x+b有两个相异零点}，方程ax2+x+b=0有两个相异根，即△=1﹣ab＞0，解得ab＜1，∵在[1，e]上任取实数a，在[0，2]上任取实数b，∴这是一个几何概型，所有的实验结果Ω={（a，b）|1≤a≤e且0≤b≤2}，面积为2（e﹣1）；事件A={（a，b）|ab＜1，1≤a≤e且0≤b≤2}，面积S==1，∴事件A的概率P（A）=．故选A．【点评】本题考查了几何概型下事件的概率的求法，用一元二次方程根的个数求出ab的范围，用定积分求不规则图形的面积，考查了学生综合运用知识的能力．3.如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）参考答案：C4.给出下列命题：（1）存在实数使.（2）直线是函数图象的一条对称轴.（3）的值域是.（4）若都是第一象限角，且，则.其中正确命题的题号为（

）A.（1）（2） B.（2）（3） C.（3）（4） D.（1）（4）参考答案：C【分析】（1）化简求值域进行判断；（2）根据函数的对称性可判断；（3）根据余弦函数的图像性质可判断；（4）利用三角函数线可进行判断.【详解】解：（1），（1）错误；（2）是函数图象的一个对称中心，（2）错误；（3）根据余弦函数的性质可得的最大值为，，其值域是，（3）正确；（4）若都是第一象限角，且，利用三角函数线有，（4）正确.故选.【点睛】本题考查正弦函数与余弦函数、正切函数的性质，以及三角函数线定义，着重考查学生综合运用三角函数的性质分析问题、解决问题的能力，属于中档题．5.已知向量⊥，|﹣|=2，定义：=λ+（1﹣λ），其中0≤λ≤1．若?=，则||的最大值为（）A． B． C．1 D．参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算；函数的最值及其几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】画出草图，通过⊥、|﹣|=2可得||=1，利用=λ+（1﹣λ）可得B、P、D、C四点共线，结合=||cosα，可得当B、P两点重合时||最大，计算即可．【解答】解：如图，记=，=，=，=，＜，＞=α．∵⊥，|﹣|=2，∴||=1，∵=λ+（1﹣λ），∴B、P、D、C四点共线，∵=?=||?||cosα=1?||cosα，∴在上的投影为，∴当B、P两点重合时，||最大，此时α=，||=||=1，故选：C．【点评】本题考查平面向量的几何意义，涉及到向量的加、减法运算法则，三点共线的向量表示，向量的投影等知识，注意解题方法的积累，属于难题．6.已知a，b∈R且a≠b，若aea=beb（e为自然对数的底数），则下列正确的是（）A．lna﹣lnb=b﹣a B．lna﹣lnb=a﹣bC．ln（﹣a）﹣ln（﹣b）=b﹣a D．ln（﹣a）﹣ln（﹣b）=a﹣b参考答案：C【考点】对数的运算性质．【分析】构造函数f（x）=xex，利用导数研究函数的单调性，即可得到结论．【解答】设f（x）=xex，则f'（x）=（x+1）ex，由f′（x）＞0得x＞﹣1．由f′（x）＜0得x＜﹣1，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）为减函数，（﹣1，+∞）增函数，即当x=﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）=﹣＜0，∵f（0）=0，且当x＜0时，f（x）＜0．∴由f（a）=f（b）知a＜0，b＜0．由（﹣a）ea=（﹣b）eb得ln（﹣a）﹣ln（﹣b）=b﹣a．故选：C．7.下列函数中，满足“对任意，，当时，都有”的函数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.已知集合，，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B试题分析：使有意义，必须满足，，，故选B．考点：1、函数的定义域；2、集合的交集运算．9.已知集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}，则A∩B等于（）A．{0} B．{2} C．{0，1，2} D．?参考答案：B【考点】1E：交集及其运算．【分析】集合A和集合B的公共元素构成集合A∩B，由此利用集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}={0，1，2}，能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}={0，1，2}，∴A∩B={2}．故选B．10.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知不等式的解集为，则的值为________参考答案：3略12.已知向量，满足，，向量在向量方向上的投影为1，则______.参考答案：【分析】由投影求得，再由模长公式求解即可【详解】因为向量在向量方向上投影为1则∴||＝2．故答案为2【点睛】本题考查平面向量的数量积及几何意义，考查模长公式，，注意平面向量的数量积公式的灵活运用．13.已知向量夹角为，且，则

；参考答案：略14.（08年宝山区模拟理

）由展开所得的多项式中，系数为有理数的项共有__________项。参考答案：答案：5115.

下列五个命题：

①分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线②函数是奇函数③直线是函数的图象的一条对称轴④若，则的最大值为⑤函数的最小正周期为其中不正确的命题的序号是______________（把你认为不正确的命题序号全填上）参考答案：答案：①④⑤16.已知实数a，b，c成公差为1的等差数列，b，c，d成等比数列，a＞0，则a+b+c+d的取值范围是

．参考答案：（7，+∞）

【考点】基本不等式．【分析】根据题意，由等差中项的性质可得a+b+c=3b，且c=b+1，再结合等比中项的性质可得d==b++2，则a+b+c+d=3b+b++2=4b++2，分析可得b的取值范围，令t=4b++2，结合对勾函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，实数a，b，c成公差为1的等差数列，则a+b+c=3b，且c=b+1，若b，c，d成等比数列，则有c2=bd，又由c=b+1，则d==b++2，则a+b+c+d=3b+b++2=4b++2，又由a＞0，则b＞1，令t=4b++2，（b＞1），分析可得t＞7，则a+b+c+d的取值范围为（7，+∞）；故答案为：（7，+∞）17.双曲线的焦距是______，渐近线方程是______.参考答案：8

【分析】由双曲线方程求得a，b，c的值，则其焦距与渐近线方程可求．【详解】由题知，＝4，＝12，故＝＝16，∴双曲线的焦距为：，渐近线方程为：．故答案为：；．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分16分）

设函数（1）当时，求函数的极值；（2）当时，讨论函数的单调性.（3）若对任意及任意，恒有成立，求实数的取值范围.参考答案：（1）函数的定义域为.当时，当时，单调递减；当时，单调递增，无极大值.（2）

当，即时，在定义域上是减函数；当，即时，令得或令得当，即时，令得或令得综上，当时，在上是减函数；当时，在和单调递减，在上单调递增；当时，在和单调递减，在上单调递增；

（3）由（Ⅱ）知，当时，在上单减，是最大值，是最小值.

,而经整理得，由得，所以19.已知函数f（x）=lnx﹣+（a﹣1）x（a＞0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）试问在函数f（x）的图象上是否存在A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），使得f（x）在x0=处的切线l平行于AB，若存在，求出A，B点的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导f′（x）=﹣，从而确定导数的正负，从而确定函数的单调区间；（2）求导f′（x0）=﹣a+a﹣1，求直线AB的斜率kAB=﹣+a﹣1，从而可得=，再设=t，（t＞1），从而可得2=lnt，令g（t）=lnt﹣2=lnt+﹣2，从而解得．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣+（a﹣1）x，∴f′（x）=﹣，又∵a＞0，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0；故f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；（2）∵f′（x0）=f′（）=﹣a+a﹣1，kAB==﹣+a﹣1，由题意可得，﹣a+a﹣1=﹣+a﹣1；故=，故=，即设=t，（t＞1），则上式可化为=lnt，即2=lnt，令g（t）=lnt﹣2=lnt+﹣2，g′（t）=﹣==≥0，故g（t）=lnt﹣2在（0，+∞）上是增函数，而g（1）=0，故与x1＜x2相矛盾，故不存在．【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用．20.已知点A（1，2）、B（5，﹣1），且A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程．参考答案：【考点】点到直线的距离公式．【专题】分类讨论；综合法；直线与圆．【分析】此题需要分为两类来研究，一类是直线L与点A（1，2）和点B（5，﹣1）两点的连线平行，一类是线L过两点A（1，2）和点B（5，﹣1）中点，分类解出直线的方程即可．【解答】解：∵|AB|==5，|AB|＞2，∴A与B可能在直线l的同侧，也可能直线l过线段AB中点，①当直线l平行直线AB时：kAB==﹣，可设直线l的方程为y=﹣x+b依题意得：=2，解得：b=或b=，故直线l的方程为：3x+4y﹣1=0或3+4y﹣21=0②当直线l过线段AB中点时：AB的中点为（3，），可设直线l的方程为y﹣=k（x﹣3）依题意得：=2，解得：k=，故直线l的方程为：x﹣2y﹣=0．【点评】本题考查点到直线的距离公式，求解本题关键是掌握好点到直线的距离公式与中点坐标公式，对空间想像能力要求较高，考查了对题目条件分析转化的能力．21.（本小题满分13分）已知函数.（1）当的单调区间；（2）设函数处的切线为,直线轴相交于点Q.若点Q的纵坐标恒小于1，求实数a