解三角形中的高、中线、角平分线问题

解三角形中的高、中线、角平分线问题浙江温州龙湾中学2008级学生 王煜指导老师陈华云[注]：此文获校首届“科技节”系列活动之“数学小论文”评比三等奖的边、角等问题。先让我们来回顾这部分主要内容：a b c正弦定理：

sinA sinB sinCa2b2c22bccosA b2

a

c2

2accosB

(2)c2a2b22abcosC思考1：正弦定理和余弦定理可以互推吗⇒余弦定理a b c

(3)设 2RsinA sinB sinCa2Rsinb2RsinBc2RsinCb2c22bccosA4R2sin2B4R2sin2C8R2sinBsinCcosA4R2(sin2Bsin2C2sinBsinCcos4R2[sin2Bsin2C2sinBsinCcos(BC)]4R2[sin2Bsin2C2sinBsinC(cosBcosCsinBsinC)]4R2[sin2Bsin2C2sinBsinCcosBcosC2sin2Bsin2C)]4R2[sin2sin2C)sin2sin2B)2sinBsinCcosBcosC]4R2[sin2Bcos2Csin2Ccos2B2sinBsinCcosBcosC]4R2(sinBcosCsinCcosB)24R2sin2Aa2同理b2

a

c2

2accosB；c2

a

b2

2abcosC故“正弦定理⇒余弦定理”成立⇒（1）+（2）得a2

b2

a2

b2

2c2

2bccosA2cacosB即cbcosAacosB代入得(bcosAacosB)2a2b22abcosCb2cos2Aa2cos2B2abcosAcosBa2b22abcosCb2cos2A)a2cos2B)2ab(cosAcosBcosC)0b2sin2Aa2sin2B2ab[cosAcosBcos(AB)]0b2sin2Aa2sin2B2absinAsinB0(bsinAasinB)20bsinAasinBa c c b

a bsinAsinB同理sinAsinCsinCsinB故“余弦定理正弦定理”成立思考2：三角形的边和高有何关系如图，在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对Achchbhhbcaaa b c

a2c2b2C分析：由余弦定理cosB 2acCB1cos2B1(a1cos2B1(a2c2b22ac)211(a2c2b2ac)214(2ac)2(a2c2b2)2S acsinB ac 14(214(2aca2c2b2)(2aca2c2b2)14[(ac)2b2][b2(ac)2]则 1414(abc)(abc)(abc)(bac)S

1ah

，则h

2s(abc)(a(abc)(abc)(abc)(bac)(ab(abc)(abc)(abc)(bac)b 2b(abc(abc)(abc)(abc)(bac)ccmcmabmbmcaB C如图，在△ABCa、c、∠B、∠C、mb、mc分别为、bc分析：由余弦定理cosB

a2c2b22acam2( )2a

c2

2( )ccosB( )2

c2

a a2c2b2a 2( )caa 2( )ca2a2c222c2a2b21424424 [2(b2c2)a2]2122(a22122(a2c2)b2a同理m b

2(b2c2)a2122(a122(a2b2)c2c思考4：三角形的边和角平分线有何关系如图，在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，Ta、Tb、Tc分别为∠A、∠B、∠C的角平分线。分析：设BD、CD分别为、y AcTcTbcTTbxDayc x bc xy由 得 Cb y b yCab Bxyay

bca2b2c2由余弦定理

cosC

2abab

ab a2b2c2T2b2y22bycosCb2( )2( )a bc bc 2abb2 a2b2c2 [(bc)2a2(bc) ](bc)2 b bc(bc)2

[b(b

c

2bca2)(bc)(ac

b

c2)]bc bc(abc)(bca) (b2c22bc