河北省石家庄市第二十一中学2022年高三数学理下学期期末试题含解析

河北省石家庄市第二十一中学2022年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课的时间为7：50～8：30，课间休息10分钟.某同学请假后返校，若他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】确定第二节课的上课时间和时长，从而得到听课时间不少于分钟所需的达到教室的时间，根据几何概型概率公式求得结果.【详解】由题意可知，第二节课的上课时间为：，时长分钟若听第二节课的时间不少于分钟，则需在之间到达教室，时长分钟听第二节课的时间不少于分钟的概率为：本题正确选项：【点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，属于基础题.2.如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是

（

）参考答案：B3.某校女子篮球队7名运动员身高（单位：厘米）分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175cm，但有一名运动员的身高记录不清楚，其末位数记为，那么的值为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B略4.条件：“或”是条件：“有极值点”成立的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：B，故选B．5.已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=(

) A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i参考答案：A考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z的值．解答： 解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．6.已知是虚数单位.若＝，则 A. B.

C. D.参考答案：A7.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的n=（

）A．6

B．5

C．4

D．3参考答案：C第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，，不成立，此时结束循环，所以输出的的值为，故选C.

8.已知数列满足，，则数列的前40项的和为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D由已知条件得到，，，左右两侧累加得到正好是数列的前40项的和，消去一些项，计算得到。故答案为D。

9.设向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则|a－tb|(t∈R)的最小值为(

)

A. B. C.1 D.2参考答案：【知识点】向量的模的计算；二次函数的最值

F3

B5【答案解析】A

解析：由已知得：，，当时，有最小值，故选：A【思路点拨】由已知结合向量的模长计算公式、性质对进行化简，可得出，代入中，则，再利用配方法求其最值即可。10.已知集合,，则＝

A．﹛x|x＜－5或x＞－3﹜

B．﹛x|－5＜x＜5﹜C．﹛x|－3＜x＜5﹜

D．﹛x|x＜－3或x＞5﹜参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若圆x2+y2﹣4mx+（2m﹣3）y+4=0被直线2x﹣2y﹣3=0所截得的弦最长，则实数m的值为

．参考答案：1【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】确定圆心坐标，利用圆x2+y2﹣4mx+（2m﹣3）y+4=0被直线2x﹣2y﹣3=0所截得的弦最长，可得圆心在直线上，代入计算，可得结论．【解答】解：圆x2+y2﹣4mx+（2m﹣3）y+4=0的圆心坐标为（2m，﹣m+），∵圆x2+y2﹣4mx+（2m﹣3）y+4=0被直线2x﹣2y﹣3=0所截得的弦最长，∴圆心在直线上，∴4m+2m﹣3﹣3=0，∴m=1故答案为：1【点评】本题考查直线与圆相交的性质，考查学生的计算能力，比较基础．12.满足不等式的的取值范围是________.参考答案：略13.定积分的值为．参考答案：e+1【考点】定积分．【分析】找出被积函数的原函数，代入积分上限和下限计算即可．【解答】解：原式==e+1；故答案为：e+1．14.已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列，且，则等于

。参考答案：16略15.（09年扬州中学2月月考）给出一个算法：

Read

x

If

根据以上算法，可求得

▲

参考答案：答案：016.(05年全国卷Ⅱ)下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．其中，真命题的编号是_____________．（写出所有真命题的编号）

参考答案：答案：①④17.已知集合，集合，又，则实数的取值范围是

．

参考答案：a略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知是定义在上的偶函数，当时，（1）求的解析式；

（2）画出的图象；（3）若方程有2个解，求的范围。参考答案：解：设，则

由已知得：又

∴（2）图象如图：

（3）方程有2个解，由图可知：或略19.（本题满分12分）已知的三内角、、所对的边分别是，，，向量＝(cosB，cosC)，＝(2a+c，b)，且⊥.（1）求角的大小；（2）若，求的范围参考答案：20.已知函数f（x）=，g（x）=lnx，其中e为自然对数的底数．（1）求函数y=f（x）g（x）在x=1处的切线方程；（2）若存在x1，x2（x1≠x2），使得g（x1）﹣g（x2）=λ[f（x2）﹣f（x1）]成立，其中λ为常数，求证：λ＞e；（3）若对任意的x∈（0，1]，不等式f（x）g（x）≤a（x﹣1）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算x=1时y和y′的值，求出切线方程即可；（2）令h（x）=g（x）+λf（x）=lnx+，（x＞0），求出函数的导数，通过讨论λ的范围，求出函数的单调区间，从而证明结论即可；（3）问题转化为﹣a（x﹣1）≤0在（0，1]恒成立，令F（x）=﹣a（x﹣1），根据函数的单调性求出a的范围．【解答】解：（1）y=f（x）g（x）=，y′=，x=1时，y=0，y′=，故切线方程是：y=x﹣；（2）证明：由g（x1）﹣g（x2）=λ[f（x2）﹣f（x1）]，得：g（x1）+λf（x1）=g（x2）+λf（x2），令h（x）=g（x）+λf（x）=lnx+，（x＞0），h′（x）=，令ω（x）=ex﹣λx，则ω′（x）=ex﹣λ，由x＞0，得ex＞1，①λ≤1时，ω′（x）＞0，ω（x）递增，故h′（x）＞0，h（x）递增，不成立；②λ＞1时，令ω′（x）=0，解得：x=lnλ，故ω（x）在（0，lnλ）递减，在（lnλ，+∞）递增，∴ω（x）≥ω（lnλ）=λ﹣λlnλ，令m（λ）=λ﹣λlnλ，（λ＞1），则m′（λ）=﹣lnλ＜0，故m（λ）递减，又m（e）=0，若λ≤e，则m（λ）≥0，ω（x）≥0，h（x）递增，不成立，若λ＞e，则m（λ）＜0，函数h（x）有增有减，满足题意，故λ＞e；（3）若对任意的x∈（0，1]，不等式f（x）g（x）≤a（x﹣1）恒成立，即﹣a（x﹣1）≤0在（0，1]恒成立，令F（x）=﹣a（x﹣1），x∈（0，1]，F（1）=0，F′（x）=﹣a，F′（1）=﹣a，①F′（1）≤0时，a≥，F′（x）≤递减，而F′（1）=0，故F′（x）≥0，F（x）递增，F（x）≤F（1）=0，成立，②F′（1）＞0时，则必存在x0，使得F′（x）＞0，F（x）递增，F（x）＜F（1）=0不成立，故a≥．21.设数列{an}满足an=A?4n+B?n，其中A、B是两个确定的实数，B≠0．（1）若A=B=1，求{an}的前n项之和；（2）证明：{an}不是等比数列；（3）若a1=a2，数列{an}中除去开始的两项之外，是否还有相等的两项？证明你的结论．参考答案：【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和；（2）运用反证法，假设{an}是等比数列，由定义，设公比为q，化简整理推出B=0与题意矛盾，即可得证；（3）数列{an}中除去开始的两项之外，假设还有相等的两项，由题意可得B=﹣12A，构造函数f（x）=4x﹣12x，x＞0，求出导数和单调性，即可得到结论．【解答】解：（1）由an=4n+n，可得{an}的前n项之和为（4+42+…+4n）+（1+2+…+n）=+n（n+1）=（4n﹣1）+（n2+n）；（2）证明：假设{an}是等比数列，即有=q（q为公比），即为Aq?4n+Bq?n=A?4n+1+B?（n+1），即Aq=4A，Bq=B，B=0，解得q=4，B=0，这与B≠0矛盾，则{an}不是等比数列；（3）若a1=a2，数列{an}中除去开始的两项之外，假设还有相等的两项，设为ak=am，（k，m不相等），由a1=a2，可得4A+B=16A+2B，即B=﹣12A．则an=A?4n+B?n=A（4n﹣12?n），即有A（4k﹣12?k）=A（4m﹣12?m），即为4k﹣12?k=4m﹣12?m，构造函数f（x）=4x﹣12x，x＞0，f′（x）=4xln4﹣12，由f′（x）=0可得x0=log4∈（1，2），当x＞x0时，f′（x）＞0，f（x）递增，故数列{an}中除去开始的两项之外，再没有相等的两项．【点评】本题考查数列的求和方法：分组求和，考查等比数列和等差数列的求和公式，同时考查反证法的运用，以及构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22.如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥平面PAD；（2）取AB=2，在线段PD上是否存在点H，使得EH与平面PAD所成最大角的正切值为，若存在，请求出H点的位置，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知可得△ABC为正三角形，由E为BC的中点，得AE⊥BC．可得AE⊥AD．再由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AE．由线面垂直的判定得AE⊥平面PAD；（2）设线段PD上存在一点H，连接AH，EH．由（1）知AE⊥平面PAD，可得∠EHA为EH与平面PAD所成的角．可知当AH最短时，即当AH⊥PD时，∠EHA最大，求解直角三角形得答案．【解答】（1）证明：由四边形ABCD为菱形，