2022-2023学年江西省南昌市重点中学高二（下）期中数学试卷（Word含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知等差数列中，，公差，则等于()

A.B.C.D.

2.函数在区间上的平均变化率为()

A.B.C.D.

3.已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为()

A.B.C.D.

4.已知实数列、、、、成等比数列，则()

A.B.C.D.

5.已知函数，函数的单调递减区间为()

A.B.C.D.

6.点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是()

A.B.C.D.

7.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为()

A.B.C.D.

8.已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则关于的不等式的解集为()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列结论中不正确的是()

A.B.

C.D.若，则

10.已知数列，满足，，为的前项和，且，，则()

A.数列为等差数列B.

C.D.或时，取得最大值

11.若函数在区间上不单调，则实数的值可能是()

A.B.C.D.

12.已知函数，，若，，不等式成立，则的可能值为()

A.B.C.D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知函数，则的单调递增区间是______．

14.若是等差数列的前项和，且，则______．

15.已知数列为等比数列，且，设等差数列的前项和为，若，则______．

16.函数在区间上有最大值，则的取值范围是．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

已知等比数列中，，．

求的通项公式；

令，求数列的前项和．

18.本小题分

已知函数且在，上单调递增，在上单调递减，又函数．

求函数的解析式；

求证：当时，．

19.本小题分

已知数列为等差数列，为等比数列，且．

求，的通项公式；

求数列的前项和．

20.本小题分

已知函数．

讨论的单调性；

若有两个零点，求的取值范围．

21.本小题分

已知函数，其中．

当时，求曲线在点处的切线方程；

当时，求函数的单调区间与极值．

22.本小题分

已知函数，．

当时，求函数的极值；

若任意，且，都有成立，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：因为等差数列中，，公差，

所以．

故选：．

利用等差数列的通项公式进行求解即可．

本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题．

2.【答案】

【解析】解：根据题意，函数，

在区间上，，，

则其平均变化率．

故选：．

根据题意，由函数的解析式求出和，进而计算可得答案．

本题考查平均变化率的计算，注意平均变化率的计算公式，属于基础题．

3.【答案】

【解析】解：，

则．

故选：．

根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．

本题主要考查极限及其运算，属于基础题．

4.【答案】

【解析】解：设等比数列、、、、的公比为，则，

由等比中项的性质可得，所以，，

因此，．

故选：．

求出的值，利用等比中项的性质可求得结果．

本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．

5.【答案】

【解析】解：

令，即，解得，

所以函数的单调递减区间为．

故选：．

求导，令，求解即可．

本题考查导数的综合应用，属基础题．

6.【答案】

【解析】解：因为，所以，

因为，所以，

又，所以．

故选：．

结合导数的几何意义求出切线的斜率的取值范围，进而根据斜率与倾斜角的关系以及倾斜角的范围即可求出结果．

本题考查导数的几何意义及应用，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．

7.【答案】

【解析】解：由，

当时，函数单调递增，在时，该函数单调递减，

当时，函数有最大值，

且，且函数的对称轴为，

所以当时，有两个不同的极值点，

等价于直线与函数有两个不同的交点，

所以，

故选：．

根据函数极值点的定义，结合二次函数的性质、数形结合思想、转化法进行求解即可．

本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与极值，数形结合思想，属中档题．

8.【答案】

【解析】解：令，

，

因为，

所以，

所以在上单调递减，

因为，

所以，

不等式可化为，则，即，

所以，

所以，

故选：．

令，求导分析的单调性，由，得，不等式可化为，即，结合单调性，即可得出答案．

本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．

9.【答案】

【解析】解：对于选项：，故A错误；

对于选项：根据导数运算律可得，故B正确；

对于选项：，故C错误；

对于选项：根据复合函数导数运算，，故D正确．

故选：．

根据导数公式和导数运算律，复合函数求导分别判断各个选项即可．

本题主要考查导数的求导法则，属于基础题．

10.【答案】

【解析】解：由，

所以数列为等差数列，因此选项A正确；

设该等差数列的公差为，因为，，

所以有，，

因此选项B正确，选项C不正确；

因为，

所以或时，取得最大值，因此选项D不正确．

故选：．

根据等差数列的定义、结合等差数列的前项和公式、通项公式逐一判断即可．

本题主要考查了等差数列的通项公式和前项和公式，属于中档题．

11.【答案】

【解析】解：，

，

又区间，，

由，得，

又函数在区间上不单调，

，

解得，又，

，

故选：．

根据题意可得导函数在上有变号零点，从而建立不等式，即可求解．

本题考查利用导数研究函数的单调性，化归转化思想，不等式思想，属中档题．

12.【答案】

【解析】解：若，，不等式成立，

则．

，则，

令，解得；令，解得．

故在递减，在递增，

故；

而，

即时，，则，，

在递增，可得，故成立；

，即时，

令，解得；令，解得，

故在递减，在递增，

故，

故只需，即．

令，

则，

令，解得；令，解得，

故在递减，在递增，

则，，，，

故满足的的最大值是，

故选：．

由题意可得，通过导数分别求出函数，的最值，得到关于的不等式，可得的最大值，进而得到结论．

本题考查导数的运用：求最值，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．

13.【答案】

【解析】解：函数的定义域为，

，

令，可得，

故的单调递增区间为．

故答案为：．

求出的定义域，再对求导，令，即可求解的单调递增区间．

本题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查运算求解能力，属于基础题．

14.【答案】

【解析】解：设等差数列的公差为，

，

，化简整理可得，，

．

故答案为：．

根据已知条件，结合等差数列的前项和公式，求出，再结合等差数列的性质，即可求解．

本题主要考查等差数列的前项和公式，以及等差数列的性质，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：因为数列为等比数列，且，

所以，解得或舍，

即，又因为数列为等差数列，

则．

故答案为：．

根据等比数列的性质可得，然后结合等差数列的前项和公式，即可得到结果．

本题主要考查等差数列与等比数列的综合，等差数列的前项和公式，考查运算求解能力，属于基础题．

16.【答案】

【解析】解：，，

令解得；令，解得或，

由此可得在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

故函数在处有极大值，在处有极小值，

，即，解得，

即的取值范围是．

故答案为：．

求函数导数，研究函数单调性，判断其取最大值的位置，由于函数在区间上有最大值，故最大值对应的横坐标应在区间内，由此可以得到参数的不等式，解不等式即可得到的取值范围．

本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．

17.【答案】解：，．

，

解得，．

的通项公式．

，

，

则，

【解析】根据条件求出等比数列的首项和公比，然后求的通项公式；

求出令的通项公式，然后利用裂项法求数列的前项和．

本题主要考查等比数列的通项公式的计算以及利用列项法求数列的和，要求熟练掌握相应的公式和化简技巧．

18.【答案】解：由题得：，

在，上单调递增，在上单调递减，

，，

即，，

，，

；

证明：令，

，对称轴为，开口向上，

故F在上单调递增，且，

当时，单调递增，

又，

当时，．

【解析】由函数在，上单调递增，在上单调递减，知函数在点或处取得极值，可得，求导，即可求字母的值，进而求解解析式；

令，转化为求的最值即可．

本题主要考查应用导数研究函数的极值和单调性问题，体现了转化的思想方法，属中档题．

19.【答案】解：设数列的公差为，的公比为，由已知得，，，

解得，，

则；

由可得，

则，，

两式相减得，

所以．

【解析】设数列的公差为，的公比为，由题可得关于与的方程，解之可得答案；

由结合错位相减法可得答案．

本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法求和，属于中档题．

20.【答案】解：由题意可知，函数的定义域为，

所以，

令可得，

当时，，函数为单调递减，

当时，，函数为单调递增，

所以函数在上单调递增，在上单调递减．

根据题意，若有两个零点，即方程有两个实数根，

所以函数与有两个不同的交点，

由知，在上单调递增，在上单调递减，

所以函数在时取极大值，也是最大值，

当时，，

当时，，

当时，，

画出函数图象如下：

由图可知，若函数与有两个不同的交点，则，

所以的取值范围为．

【解析】求导分析的符号，的单调性，即可得出答案．

根据题意，若有两个零点，即方程有两个实数根，则函数与有两个不同的交点，进而可得答案．

本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．

21.【答案】解：Ⅰ由，

当时，，．

，则切点为

，则切线斜率为，

用点斜式得切线方程为：，即；

Ⅱ由，得

．

当时，由，解得：．

由，解得：或．

递减区间是，，递增区间是

极小值是，极大值是．

【解析】Ⅰ把代入函数解析式，求出导函数，得到，再求出，直接写切线方程的点斜式；

Ⅱ求出原函数的导函数，由，解出导函数大于和小于的的范围，则答案可求．

本题考查了利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的极值，是中档题．

22.【答案】解：当时，，．

则，令，解得或，

又因为，所以．

列表如下：

单调递减极小值单调递增

因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以有极小值，无极大值．

因为，，

所以，，

若对任意，且恒成立

不妨令，则，

令，只需证明在单调递增，

因为