2022-2023学年陕西省咸阳重点中学高一（下）期中质检数学试卷（含解析）

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一、单选题（本大题共6小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在中，点在边上，记，，则()

A.B.C.D.

2.下列命题中正确的个数是()

起点相同的单位向量，终点必相同；

已知向量，则，，，四点必在一直线上；

若，则；

共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．

A.B.C.D.

3.设向量的夹角的余弦值为，且，则()

A.B.C.D.

4.已知，与的夹角为，是与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为()

A.B.C.D.

5.若点在三角形的边上，且，则的值为()

A.B.C.D.

6.已知满足，则是()

A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形

二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）

7.如果是两个单位向量，则下列结论中正确的是()

A.B.C.D.

8.多选已知向量，，和实数，则下列各式一定正确的是()

A.B.

C.D.

三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）

9.圆心角为弧度的扇形弧长为，则扇形的面积为______．

10.已知是的中线，若，则的最小值是______．

四、解答题（本大题共4小题，共50.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

11.本小题分

已知向量与的夹角为，，．

求；

求与的夹角．

12.本小题分

如图，在平行四边形中，，，，，分别为，上的点，且，．

若，求，的值；

求的值；

求．

13.本小题分

设是不平行的向量，且，．

证明：是平面向量的一个基底；

用的线性组合表示．

14.本小题分

设两个非零向量与不共线．

若，，求证：，，三点共线；

试确定实数，使和共线．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．

直接利用平面向量的线性运算可得，进而得解．

【解答】

解：如图，

，

，即．

故选：．

2.【答案】

【解析】解：对于选项A，单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A错误；

对于选项B，向量，则，，，四点共线或，故B错误；

对于选项C，若，当时，不一定平行，故C错误；

对于选项D，若，，三点共线，则，此时起点不同，终点相同，故D错误．

故选：．

由平面向量的概念对选项逐一判断．

本题主要考查了平面向量的相关概念，属于基础题．

3.【答案】

【解析】解：设的夹角为，根据题意有，，

所以可以得到．

故选：．

先求出，再求即可．

本题主要考查平面向量的数量积公式，属于中档题．

4.【答案】

【解析】解：在方向上的投影向量为．

故选：．

根据投影向量的计算公式即可得出在方向上的投影向量．

本题考查了投影向量的计算公式，单位向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．

5.【答案】

【解析】解：如图，

；

；

又；

；

．

故选：．

可作图，根据便可得到，而由条件，这样根据平面向量基本定理便可得出，的值，从而求出的值．

考查向量减法及数乘的几何意义，向量的数乘运算，以及平面向量基本定理．

6.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了向量的加减法则，数量积的运算性质，三角形形状的判断，属于中档题．

根据向量的加减运算法则，将已知化简得，得结合向量数量积的运算性质，可得，得是直角三角形．

【解答】

解：中，，

，

即，

，

，即，

是直角三角形，

故选C．

7.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量的概念，单位向量的定义，属于基础题．

根据向量的概念，单位向量的定义即可得解．

【解答】

解：因为是两个单位向量，

所以，所以，故C、D正确；

但两向量的方向不能确定，故A、B错误．

故选CD．

8.【答案】

【解析】解：由向量数量积的运算律可知ABC正确，

对于选项D，令，，则，

而，，均为任意向量，

与不一定相等，

不一定成立，故D错误．

故选：．

根据数量积的运算律逐个选项判断即可．

本题主要考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．

9.【答案】

【解析】解：因为扇形的圆心角为，弧长为，

所以扇形的半径为：，

所以扇形的面积为：．

故答案为：．

由已知利用扇形的弧长公式和面积公式即可求解．

本题考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，属于基础题．

10.【答案】

【解析】解：如图，，

，

，

的最小值为．

故答案为：．

根据条件可得出，然后可得出，然后根据不等式即可得出的最小值．

本题考查了向量数量积的计算公式和向量数量积的运算，不等式的运用，向量加法的平行四边形法则和向量数乘的几何意义，考查了计算能力，属于中档题．

11.【答案】解：向量与的夹角为，，，

，

．

，

，

与的夹角为．

【解析】根据已知条件，结合向量数量积公式，以及向量模公式，即可求解．

根据已知条件，结合向量的夹角公式，即可求解．

本题主要考查向量数量积公式，以及向量模公式，属于基础题．

12.【答案】解：，

又，

．

，，，，

．

连接，设的夹角为，

，，

且，

，

，

，，

又

，

，

即．

【解析】本题考查向量的加法、减法、数乘运算，考查向量的数量积，考查向量的夹角，考查计算能力，属于中档题．

利用向量的减法、数乘运算，即可求出，的值；

利用的结果，通过数量积的运算，求解即可；

求出，通过向量的夹角公式求解即可．

13.【答案】证明：若平行，则，

即，

所以，

因为不平行，所以，

该方程组无解，

所以不平行，

所以是平面向量的一个基；

设，

又因为，

由平面向量基本定理，得，

解得，所以．

【解析】由平面向量共线定理证明不平行即可；

由平面向量基本定理即可求得．

本题考查平面向量的基本定理和共线向量定理，属于中档题．

14.【答案】解：

，

与共线

两个向量有公共点，

，，三点共线．

和共线，则存在实数，使得，

即，

非零向量与不共线，

且，

．

【解析】根据所给的三个首尾相连的向量，用其中两个相加，得到两个首尾相连的向量，根据表示这两个向量的基底，得到两个向量之