【解析】江苏省泰州市兴化市2022-2023学年九年级下册第四次月考数学试卷

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江苏省泰州市兴化市2022-2023学年九年级下册第四次月考数学试卷

一、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

1．（2023九下·兴化月考）如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若，，，则阴影部分面积为．

2．（2023九上·呼兰期末）在一个不透明的袋子中有5个除颜色外完全相同的小球，其中绿球个，红球个，摸出一个球不放回，混合均匀后再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是.

3．（2023九下·兴化月考）我国古代数学名著四元玉鉴中记载：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱问梨果各几何？”意思是：用文钱买得梨和果共个，梨文买个，果文买个，问梨果各买了多少个？如果设梨买个，果买个，那么可列方程组为．

4．（2023九下·兴化月考）魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形、四边形和四边形都是正方形如果图中与的面积比为，那么的值为．

5．（2023九下·兴化月考）由直线和直线是正整数与轴及轴所围成的图形面积为，则的最小值是．

二、解答题（本大题共7小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

6．（2023九下·兴化月考）墨迹覆盖了等式“”中的一个代数式，求这个被墨迹覆盖的代数式．

7．（2023九下·兴化月考）用代数推理的方法证明下列两个结论：

（1）设是一个四位数，若可以被整除，则这个数可以被整除．

（2）已知函数求证：当时，随的增大而增大．

8．（2023九下·兴化月考）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长数值和面积数值相等，则称这个点为“等值点”例如：点，因为，，所以是“等值点”．

（1）若点为双曲线上任意一点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，求证：点为“等值点”；

（2）在第一象限内，若一次函数的图象上有两个“等值点”，求的取值范围．

9．（2023九下·兴化月考）如图，光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角，、为法线入射光线、和折射光线、及法线、都在同一平面内，点到直线的距离为米．

（1）求的长；结果保留根号

（2）如果米，求水池的深参考数据：取，取，取，取，取，取，取，取

10．（2023九下·兴化月考）如图，是的直径，是的弦，切于点，交射线的延长线于点点在直线上，．

（1）用尺规作出点要求：不写作法，保留作图痕迹；

（2）连接，直线与相交于点，，．

①求的半径；

②连接，平分吗？为什么？

11．（2023九下·兴化月考）如图，抛物线交轴于点，点在点左侧，交轴于点，且，点为抛物线上第四象限的动点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如图，直线交于点，连接，，若和的面积分别为和，当的值最小时，求直线的解析式．

（3）如图，直线交抛物线的对称轴于点，过点作的平行线交抛物线的对称轴于点，当点运动时，线段的长度是否会改变？若不变，求出其值；若变化，求出其变化的范围．

12．（2023九下·兴化月考）如图，在正方形中，是边上的动点，在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连结，．

（1）求证：是等腰直角三角形；

（2）如图，连结，过点作于点，请探究线段与的数量关系，并说明理由；

（3）当点是的中点时，．

①求的长；

②若点是外接圆上的动点，且位于正方形的外部，连结当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长．

答案解析部分

1．【答案】

【知识点】扇形面积的计算

【解析】【解答】解：S阴影=S扇形OAD-S扇形OBC

=

=.

故答案为：.

【分析】由题意可得S阴影=S扇形OAD-S扇形OBC，然后根据扇形面积公式S扇形=计算即可求解.

2．【答案】

【知识点】列表法与树状图法；概率公式

【解析】【解答】画树状图图如下：

∴一共有20种情况，有6种情况两次都摸到红球，

∴两次都摸到红球的概率是．

故答案为：．

【分析】列举出所有情况，看两次都摸到红球的情况占总情况的多少即可．

3．【答案】

【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题

【解析】【解答】解：设梨买x个，果买y个，

由题意可列方程组：

.

故答案为：

【分析】设梨买x个，果买y个，由题意可得相等关系“梨和的数量+果的数量=1000，x个梨的费用+y个果的费用=999”，根据相等关系可列方程组.

4．【答案】

【知识点】正方形的性质；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：∵四边形EAIH是正方形，

∴∠EHM=∠DIM=90°，而∠EMH=∠DMI，

∴EMH∽DMI，

∴，

∵EMH与DMI的面积的比为，

∴，

设EH=AE=AI=4k，DI=3k，则AD=AI+DI=7k，

在RtAED中，

tan∠EDA=，

由"青朱出入图”得：∠GDC=90°-∠ADG=∠EDA，

∴tan∠GDC=tan∠EDA=.

故答案为：

【分析】由题意易证EMH∽DMI，由相似三角形的性质可得，结合已知可得，设EH=AE=AI=4k，DI=3k，则AD=AI+DI=7k，在直角三角形中，由锐角三角函数和"青朱出入图”得tan∠GDC=tan∠EDA=可求解.

5．【答案】

【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题

【解析】【解答】解：如图：

解方程组得，即两条直线都过点（-2，-1），

∵k是正整数，∴k+1＞1，

对于直线y=kx+2k-1，当x=0时，y=2k-1，即直线y=kx+2k-1与y轴的交点为B（0，2k-1），当y=0时，x=，即即直线y=kx+2k-1与y轴的交点为A（，0）；

对于直线y=（k+1）X+2k+1，当x=0时，y=2k+1，即直线y=kx+2k-1与y轴的交点为D（0，2k+1），当y=0时，x=，即即直线y=kx+2k-1与y轴的交点为A（，0）；

则S四边形ABDC=SCOD-SAOB=（OC·OD-OA·OB）

=

=（4-）

=2-，

∵k≥1，∴当k取最小值1时，2-最小，

即当k=1时，四边形ABDC的最小值S=2-=.

故答案为：.

【分析】由题意将两直线的解析式联立解方程组可得两直线的交点坐标，分别令x=0，y=0可求出两直线与x、y轴的交点坐标，然后根据四边形面积的构成可将S四边形ABDC用含k的代数式表示出来，根据函数的取值范围即可求解.

6．【答案】解：设这个被墨迹覆盖的代数式为，

由题意得：

，

这个被墨迹覆盖的代数式为．

【知识点】分式的混合运算

【解析】【分析】设这个被墨迹覆盖的代数式为A，将已知的等式变形得：A=，先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简.

7．【答案】（1）证明：

，

若可以被整除，显然这个数可以被整除．

（2）解：设，

，

当时，，

，

，

当时，随的增大而增大．

【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；整除的意义

【解析】【分析】（1）由四位数的表示方法可得：=1000a+100b+10c+d=3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d)，结合已知可得证；

（2）由题意设y1=x12，y2=x22，将两式求差并分解因式并结合已知可得：y1＞y2，于是结论可得证.

8．【答案】（1）证明：设，，向右平移个单位得，向上平移个单位，

则，，

所以点为“等值点”．

（2）解：由题意知，，设是图象上的“等值点”，

则，，

所以，即关于的方程有两个不相等的正实数根，

，

，

，

所以的取值范围是．

【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；坐标与图形变化﹣平移；一次函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征

【解析】【分析】（1）设E（m，），m＞0，根据平移的性质可将点F的坐标用含m的代数式表示出来，结合题意分别计算C和S，由计算的结果可得S=C，根据“等值点”的意义可得证；

（2）设A（a，-a+b），是y=-x+b图象上的“等值点”，根据“等值点”的意义可得关于a的方程a2-a+b+2b=0有两个不相等的实数根，然后根的判别式即可求解.

9．【答案】（1）解：作，交的延长线于点，

则，

，，

，，

，，

米，

米，米，

米，

即的长为米；

（2）解：设水池的深为米，则米，

由题意可知：，米，

米，米，

，

，

解得，

即水池的深约为米．

【知识点】解直角三角形的应用

【解析】【分析】（1）过A作AF⊥BC，交CB的延长线于点F，由平行线的判定可得AF∥MN∥MN，由平行线的性质可得∠ABM=∠BAF，∠ACM=∠CAF，在RtABF中，由锐角三角函数tan∠BAF=可求得BF的值，同理在RtACF中，可求得CF的值；然后由线段的构成BC=CF-BF可求解；

（2）设水池的深为米，则米，在RtBND和RtCEN中，由锐角三角函数可求得DN和NE的值，根据线段的构成DN+DE=BC+NE可得关于x的方程，解方程可求解.

10．【答案】（1）解：如图，以为圆心为半径作弧，交直线于点，点即为所求，

（2）解：如图，连接，

是的切线，

，

，

，

，

，

，

，

在中，，，

，

∽，

：：，

设半径为，

则：：，解得；

不平分，理由如下：

连接，，，过点作交的延长线于点，

，，，，

，

，

，

∽，

：：：，

在中，，

在中，，

，，

，

设到距离为，到的距离为，

：：：，

，

若平分，则，

不平分．

【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）由题意：以B为圆心BC为半径作弧，交直线CE于点A，点A即为所求；

（2）①连接OE，由圆的切线的性质可得OE⊥GE，由三角形外角的性质和等边对等角可得∠ABG=2∠ACG，同理可得∠EOG=2∠ECO，则∠ABG=∠EOG，由平行线的判定可得OE∥FB，于是BF⊥FG，在RtGFB中，用勾股定理可求得FB的值，根据平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得GFB∽GEO，根据相似三角形的性质可得比例式FB：OE=GB：GO，设半径为r，结合比例式可得关于r的方程，解方程求出r的值；

②CF不平分∠ACG，理由如下：

连接CF，BE，OE，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，由线段的构成求出AF的值，根据平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得GFB∽GEO，根据相似三角形的性质可得比例式EF：GF=OB：BG，根据比例式可求出EF的值，在RtEFB和RtEBC中用勾股定理可求得BE和EC的值，由等腰三角形的三线合一可得AC=2AE，设F到AC的距离为a，到GC的距离为b，SAFC：SBFC=AC·a：BC·b=AF·CD：(FB·CD)，整理可得≠1，即a≠b，若CF平分∠ACG，则a=b，反之a≠b.

11．【答案】（1）解：由二次函数，

令，则，

．

又，

，，代入得：

即，

解得：

；

（2）解：由题意得：．

，为定值，

当达到最大值时，的值最小．

即点为抛物线的顶点时，达到最大值．

又，

设直线的表达式为：，

将点的坐标代入上式并解得：，

直线的表达式为：；

（3）解：不变，理由：

，，且．

设：，：，：，

则，．

将直线，与抛物线联立，得，

又，

，

同理，

即，

，

则．

【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题

【解析】【分析】（1）由题意令x=0可得抛物线与y轴的交点C的坐标，根据已知条件OB=OC=3OA可得抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标，代入解析式计算即可求解；

（2）由图形的构成S1-S2=（SACP+SABP）-（SBDP+SABP）=SABC-SABD，三角形ABC的面积为6，是一个定值，当三角形ABD的面积最大时，S1-S2最小；即当点D为抛物线的顶点时，三角形ABD的面积达到最大值，根据点A和D的坐标可求直线AD的解析式；

（3）不变，理由如下：设直线AD、BM、BD的解析式为：直线AD的解析式为：y=kx+k；直线BM的解析式为：y=kx-3k；直线BD的解析式为：y=mx-3m；将直线AD、BD与抛物线的解析式联立解方程组得：xA+xD=k+2，xD=m-1，根据xD的两种表示方法可得等式：k+3=m-1，则k-m=-4，于是MN=yM-yN=-2k+2m可求解.

12．【答案】（1）证明：如图，点在的外接圆上，

，

，

．

，

，

是等腰直角三角形；

（2）解：解：结论：，

理由：如图，延长交于点，

，，

，

即，

，

，

，

，

又是等腰直角三角形，

，

≌，

，，

，

，

，

；

（3）解：解：由知．

，

．

是的中点，

，

，

，

存在或，

当时，如图，，

，

度，

是圆的直径，

，

；

当时，如图，连结；

是圆的直径，

，

∽，

，

，

综上所述，的长是或．

【知识点】相似三角形的判定与性质；圆-动点问题

【解析】【分析】（1）由圆内接四边形的对角互补可得：∠AEP+∠A=180°，由正方形的性质可得∠B=90°，于是可得∠AEP=90°，根据直角三角形两锐角互余和等弧所对的圆周角相等可得∠EAP=∠EPA=45°，于是可得三角形EAP是等腰直角三角形；

（2）结论：DE=PF；理由如下：延长FE交AD于点H，由平行线的性质易得EH⊥AD，结合已知的易证∠EAH=∠PEF，再由（1）的结论易得EAH≌PEF，则AH=EF，EH=PF，结合正方形的性质可得DH=HE=PF，在直角三角形EDH中，由勾股定理可得DE=HE=PF；

（3）①由（2）得DE=PF，结合已知可得PF的值，根据线段中点的性质得BC=2PC可求解；

②根据tan∠EAD=＜1=tan∠EDA，则∠EAD＜∠EDA=45°=∠PAE，∴存在∠PAQ=∠EDA或∠PAQ=∠EAD，分两种情况讨论：

当∠PAQ=∠EDA时，按题意画出如形，易得AQ=AE，用勾股定理可求解；

当∠PAQ=∠EAD，易得APQ∽AEH，可得比例式求解，综合两种情况可求解.

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江苏省泰州市兴化市2022-2023学年九年级下册第四次月考数学试卷

一、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

1．（2023九下·兴化月考）如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若，，，则阴影部分面积为．

【答案】

【知识点】扇形面积的计算

【解析】【解答】解：S阴影=S扇形OAD-S扇形OBC

=

=.

故答案为：.

【分析】由题意可得S阴影=S扇形OAD-S扇形OBC，然后根据扇形面积公式S扇形=计算即可求解.

2．（2023九上·呼兰期末）在一个不透明的袋子中有5个除颜色外完全相同的小球，其中绿球个，红球个，摸出一个球不放回，混合均匀后再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是.

【答案】

【知识点】列表法与树状图法；概率公式

【解析】【解答】画树状图图如下：

∴一共有20种情况，有6种情况两次都摸到红球，

∴两次都摸到红球的概率是．

故答案为：．

【分析】列举出所有情况，看两次都摸到红球的情况占总情况的多少即可．

3．（2023九下·兴化月考）我国古代数学名著四元玉鉴中记载：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱问梨果各几何？”意思是：用文钱买得梨和果共个，梨文买个，果文买个，问梨果各买了多少个？如果设梨买个，果买个，那么可列方程组为．

【答案】

【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题

【解析】【解答】解：设梨买x个，果买y个，

由题意可列方程组：

.

故答案为：

【分析】设梨买x个，果买y个，由题意可得相等关系“梨和的数量+果的数量=1000，x个梨的费用+y个果的费用=999”，根据相等关系可列方程组.

4．（2023九下·兴化月考）魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形、四边形和四边形都是正方形如果图中与的面积比为，那么的值为．

【答案】

【知识点】正方形的性质；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：∵四边形EAIH是正方形，

∴∠EHM=∠DIM=90°，而∠EMH=∠DMI，

∴EMH∽DMI，

∴，

∵EMH与DMI的面积的比为，

∴，

设EH=AE=AI=4k，DI=3k，则AD=AI+DI=7k，

在RtAED中，

tan∠EDA=，

由"青朱出入图”得：∠GDC=90°-∠ADG=∠EDA，

∴tan∠GDC=tan∠EDA=.

故答案为：

【分析】由题意易证EMH∽DMI，由相似三角形的性质可得，结合已知可得，设EH=AE=AI=4k，DI=3k，则AD=AI+DI=7k，在直角三角形中，由锐角三角函数和"青朱出入图”得tan∠GDC=tan∠EDA=可求解.

5．（2023九下·兴化月考）由直线和直线是正整数与轴及轴所围成的图形面积为，则的最小值是．

【答案】

【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题

【解析】【解答】解：如图：

解方程组得，即两条直线都过点（-2，-1），

∵k是正整数，∴k+1＞1，

对于直线y=kx+2k-1，当x=0时，y=2k-1，即直线y=kx+2k-1与y轴的交点为B（0，2k-1），当y=0时，x=，即即直线y=kx+2k-1与y轴的交点为A（，0）；

对于直线y=（k+1）X+2k+1，当x=0时，y=2k+1，即直线y=kx+2k-1与y轴的交点为D（0，2k+1），当y=0时，x=，即即直线y=kx+2k-1与y轴的交点为A（，0）；

则S四边形ABDC=SCOD-SAOB=（OC·OD-OA·OB）

=

=（4-）

=2-，

∵k≥1，∴当k取最小值1时，2-最小，

即当k=1时，四边形ABDC的最小值S=2-=.

故答案为：.

【分析】由题意将两直线的解析式联立解方程组可得两直线的交点坐标，分别令x=0，y=0可求出两直线与x、y轴的交点坐标，然后根据四边形面积的构成可将S四边形ABDC用含k的代数式表示出来，根据函数的取值范围即可求解.

二、解答题（本大题共7小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

6．（2023九下·兴化月考）墨迹覆盖了等式“”中的一个代数式，求这个被墨迹覆盖的代数式．

【答案】解：设这个被墨迹覆盖的代数式为，

由题意得：

，

这个被墨迹覆盖的代数式为．

【知识点】分式的混合运算

【解析】【分析】设这个被墨迹覆盖的代数式为A，将已知的等式变形得：A=，先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简.

7．（2023九下·兴化月考）用代数推理的方法证明下列两个结论：

（1）设是一个四位数，若可以被整除，则这个数可以被整除．

（2）已知函数求证：当时，随的增大而增大．

【答案】（1）证明：

，

若可以被整除，显然这个数可以被整除．

（2）解：设，

，

当时，，

，

，

当时，随的增大而增大．

【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；整除的意义

【解析】【分析】（1）由四位数的表示方法可得：=1000a+100b+10c+d=3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d)，结合已知可得证；

（2）由题意设y1=x12，y2=x22，将两式求差并分解因式并结合已知可得：y1＞y2，于是结论可得证.

8．（2023九下·兴化月考）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长数值和面积数值相等，则称这个点为“等值点”例如：点，因为，，所以是“等值点”．

（1）若点为双曲线上任意一点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，求证：点为“等值点”；

（2）在第一象限内，若一次函数的图象上有两个“等值点”，求的取值范围．

【答案】（1）证明：设，，向右平移个单位得，向上平移个单位，

则，，

所以点为“等值点”．

（2）解：由题意知，，设是图象上的“等值点”，

则，，

所以，即关于的方程有两个不相等的正实数根，

，

，

，

所以的取值范围是．

【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；坐标与图形变化﹣平移；一次函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征

【解析】【分析】（1）设E（m，），m＞0，根据平移的性质可将点F的坐标用含m的代数式表示出来，结合题意分别计算C和S，由计算的结果可得S=C，根据“等值点”的意义可得证；

（2）设A（a，-a+b），是y=-x+b图象上的“等值点”，根据“等值点”的意义可得关于a的方程a2-a+b+2b=0有两个不相等的实数根，然后根的判别式即可求解.

9．（2023九下·兴化月考）如图，光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角，、为法线入射光线、和折射光线、及法线、都在同一平面内，点到直线的距离为米．

（1）求的长；结果保留根号

（2）如果米，求水池的深参考数据：取，取，取，取，取，取，取，取

【答案】（1）解：作，交的延长线于点，

则，

，，

，，

，，

米，

米，米，

米，

即的长为米；

（2）解：设水池的深为米，则米，

由题意可知：，米，

米，米，

，

，

解得，

即水池的深约为米．

【知识点】解直角三角形的应用

【解析】【分析】（1）过A作AF⊥BC，交CB的延长线于点F，由平行线的判定可得AF∥MN∥MN，由平行线的性质可得∠ABM=∠BAF，∠ACM=∠CAF，在RtABF中，由锐角三角函数tan∠BAF=可求得BF的值，同理在RtACF中，可求得CF的值；然后由线段的构成BC=CF-BF可求解；

（2）设水池的深为米，则米，在RtBND和RtCEN中，由锐角三角函数可求得DN和NE的值，根据线段的构成DN+DE=BC+NE可得关于x的方程，解方程可求解.

10．（2023九下·兴化月考）如图，是的直径，是的弦，切于点，交射线的延长线于点点在直线上，．

（1）用尺规作出点要求：不写作法，保留作图痕迹；

（2）连接，直线与相交于点，，．

①求的半径；

②连接，平分吗？为什么？

【答案】（1）解：如图，以为圆心为半径作弧，交直线于点，点即为所求，

（2）解：如图，连接，

是的切线，

，

，

，

，

，

，

，

在中，，，

，

∽，

：：，

设半径为，

则：：，解得；

不平分，理由如下：

连接，，，过点作交的延长线于点，

，，，，

，

，

，

∽，

：：：，

在中，，

在中，，

，，

，

设到距离为，到的距离为，

：：：，

，

若平分，则，

不平分．

【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）由题意：以B为圆心BC为半径作弧，交直线CE于点A，点A即为所求；

（2）①连接OE，由圆的切线的性质可得OE⊥GE，由三角形外角的性质和等边对等角可得∠ABG=2∠ACG，同理可得∠EOG=2∠ECO，则∠ABG=∠EOG，由平行线的判定可得OE∥FB，于是BF⊥FG，在RtGFB中，用勾股定理可求得FB的值，根据平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得GFB∽GEO，根据相似三角形的性质可得比例式FB：OE=GB：GO，设半径为r，结合比例式可得关于r的方程，解方程求出r的值；

②CF不平分∠ACG，理由如下：

连接CF，BE，OE，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，由线段的构成求出AF的值，根据平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得GFB∽GEO，根据相似三角形的性质可得比例式EF：GF=OB：BG，根据比例式可求出EF的值，在RtEFB和RtEBC中用勾股定理可求得BE和EC的值，由等腰三角形的三线合一可得AC=2AE，设F到AC的距离为a，到GC的距离为b，SAFC：SBFC=AC·a：BC·b=AF·CD：(FB·CD)，整理可得≠1，即a≠b，若CF平分∠ACG，则a=b，反之a≠b.

11．（2023九下·兴化月考）如图，抛物线交轴于点，点在点左侧，交轴于点，且，点为抛物线上第四象限的动点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如图，直线交于点，连接，，若和的面积分别为和，当的值最小时，求直线的解析式．

（3）如图，直线交抛物线的对称轴于点，过点作的平行线交抛物线的对称轴于点，当点运动时，线段的长度是否会改变？若不变，求出其值；若变化，求出其变化的范围．

【答案】（1）解：由二次函数，

令，则，

．

又，

，，代入得：

即，

解得：

；

（2）解：由题意得：．

，为定值，

当达到最大值时，的值最小．

即点为抛物线的顶点时，达到最大值．

又，

设直线的表达式为：，

将点的坐标代入上式并解得：，

直线的表达式为：；

（3）解：不变，理由：

，，且．

设：，：，：，

则，．

将直线，与抛物线联立，得，

又，

，

同理，

即，

，

则．

【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题

【解析】【分析】（1）由题意令x=0可得抛物线与y轴的交点C的坐标，根据已知条件OB=OC=3OA可得抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标，代入解析式计算即可求解；

（2）由图形的构成S1-S2=（SACP+S