福建省泉州市南安华侨中学2021年高三数学理模拟试题含解析

福建省泉州市南安华侨中学2021年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，则对任意，若，下列不等式成立的是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略2.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（）A．66 B．55 C．44 D．33参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列等差数列通项公式求出a1+5d=3．即a6=3，由此能求出S11的值．【解答】解：∵Sn是等差数列{an}的前n项和，2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴2（a1+a1+2d+a1+4d）+3（a1+7d+a1+9d）=36，解得a1+5d=3．∴a6=3，∴S11===11a6=33．故选：D．3.直线关于直线对称的直线方程为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D4.函数的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值的变化趋势．【解答】解：f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，则图象关于原点对称，故排A，B，当x=时，f（）==故选：D【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是判断函数的奇偶性和函数值得变化趋势，属于基础题5.已知复数满足，则复数的虚部是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C6.已知平面向量，夹角为，且，，则与的夹角是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A7.的角所对的边分别是（其中为斜边），分别以边所在的直线为旋转轴，将旋转一周得到的几何体的体积分别是，则（

）A．

B．C．

D．参考答案：D8.已知函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是A．a>一2

B．一2<a<一1

C．a≤一2 D．a≤一参考答案：C9.已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n?β，则下列叙述正确的是(

) A．若m∥n，m?α，则α∥β B．若α∥β，m?α，则m∥n C．若m∥n，m⊥α，则α⊥β D．若α∥β，m⊥n，则m⊥α参考答案：C考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答： 解：由m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n?β，知：若m∥n，m?α，则α与β相交或平行，故A错误；若α∥β，m?α，则m与n平行或异面，故B错误；若m∥n，m⊥α，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；若α∥β，m⊥n，则m与α相交、平行或m?α，故D错误．故选：C．点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10.抛物线的准线与轴交于点，焦点为，点是抛物线上的任意一点，令，当取得最大值时，直线的斜率是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：如图，抛物线上一点到焦点的距离等于抛物线上一点到准线的距离，根据抛物线的对称性，所以设点P在第一象限,当最小时，最大，所以当直线与抛物线相切时，最小，设直线：与抛物线方程联立，，，解得，故选B.考点：抛物线的几何性质【一题多解】本题主要考察了抛物线的几何性质，属于中档题型，抛物线有一条重要的性质：抛物线上任意一点到焦点的距离和其到准线的距离相等，这样就将到焦点的距离转化为到准线的距离，根据数形结合，可得本题就是求过点的抛物线的切线的斜率，法一，可以设直线，与抛物线联立方程，令，求斜率，或者设切点，根据，求切点，再求切线的斜率.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设i是虚数单位，若复数z满足z（1+i）=1﹣i，则|z|=．参考答案：1【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z（1+i）=（1﹣i），∴z（1+i）（1﹣i）=（1﹣i）（1﹣i），∴2z=﹣2i，z=﹣i．则复数z的模|z|=1．故答案为：1．12.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为

.

参考答案：13.对于函数，若存在区间[a，b]，当时的值域为，则称为k倍值函数.若是k倍值函数，则实数k的取值范围是________.参考答案：试题分析：由题意得有两个不同的解，，则，因此当时，，当时，，从而要使有两个不同的解，需考点：函数与方程【思路点睛】（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.14.用一根长为12的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架，则该三棱柱的侧面积的最大值是__________．参考答案：615.已知数列满足，，若，则数列的前项和

．参考答案：16.（5分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，则f′（x）叫f（x）的一阶导数，f″（x）叫f（x）的二阶导数，若方程f″x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数f（x）的“拐点”．有个同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=x3﹣x2+3x﹣，则g（）+g（）+…+g（）=．参考答案：2014【考点】：利用导数研究函数的极值．【专题】：计算题；阅读型；导数的综合应用．【分析】：由题意求导g′（x）=x2﹣x+3，g″（x）=2x﹣1，从而得到（，1）是函数g（x）=x3﹣x2+3x﹣的对称中心，从而解得．解：∵g（x）=x3﹣x2+3x﹣，∴g′（x）=x2﹣x+3，g″（x）=2x﹣1，令g″（x）=2x﹣1=0得，x=；g（）=?﹣×+3×﹣=1，则（，1）是函数g（x）=x3﹣x2+3x﹣的对称中心，则g（）+g（）=2，g（）+g（）=2，…，g（）+g（）=2，故g（）+g（）+…+g（）=2014；故答案为：2014．【点评】：本题考查了学生对新知识的接受与应用能力及导数的综合应用，属于中档题．17.一几何体的三视图如右图所示，测该几何体的体积为_________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某城市为了满足市民出行的需要和节能环保的要求，在公共场所提供单车共享服务，某部门为了对该城市共享单车进行监管，随机选取了20位市民对共享单车的情况进行问卷调查，并根据其满意度评分值（满分100分）制作的茎叶图如图所示：（1）分别计算男性打分的平均数和女性打分的中位数；（2）从打分在70分以下（不含70分）的市民中抽取3人，求有女性被抽中的概率．参考答案：【考点】BA：茎叶图．【分析】（1）根据茎叶图中的数据，利用平均数和中位数的公式进行计算即可．（2）根据古典概型的概率公式分别进行计算即可．【解答】解：（1）男性的平均数为（55+53+62+65+71+70+73+74+86+81）==69，女性的中位数为=77（2）打分在70分以下（不含70分）的市民中有6名，女性2名，男性4名，从中抽取3人有=20种方法，有女性被抽中有=12+4=16，则对应的概率P==．19.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E、F分别为PD、AC上的动点，且==λ，（0＜λ＜1）．（Ⅰ）若λ=，求证：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E﹣FCD体积最大值．参考答案：考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）分别取PA和AB中点M、N，连接MN、ME、NF，四边形MEFN为平行四边形．由此能证明EF∥平面PAB．（Ⅱ）在平面PAD内作EH⊥AD于H，则EH⊥平面ADC，EH∥PAEH=λPA=λ．，由此能求出三棱锥E﹣FCD体积最大值．解答： （Ⅰ）证明：分别取PA和AB中点M、N，连接MN、ME、NF，则NFAD，MEAD，所以NFME，∴四边形MEFN为平行四边形．∴EF∥MN，又EF?平面PAB，MN?平面PAB，∴EF∥平面PAB．

（Ⅱ）解：在平面PAD内作EH⊥AD于H，因为侧棱PA⊥底面ABCD，所以平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD=AD，所以EH⊥平面ADC，所以EH∥PA．因为（0＜λ＜1），所以，EH=λPA=λ．==1﹣λ，，VE﹣DFC=×λ==，（0＜λ＜1），∴三棱锥E﹣FCD体积最大值．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.（本小题满分14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点．（I）求椭圆C的方程；

’（II）P（2，3），Q（2，－3）是椭圆上两点，A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点，（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值：（ii）当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由。参考答案：21.已知函数f（x）=xlnx﹣﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（1）求a的取值范围；（2）记两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1x2λ恒成立，求λ的取值范围．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，或转化为函数g（x）=与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；或转化为g（x）=lnx﹣ax有两个不同零点，从而讨论求解；（2）e1+λ＜可化为1+λ＜lnx1+λlnx2，结合方程的根知1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），从而可得a＞．而a=．则原式等价于＞．即ln＜恒成立．令t=，t∈（0，1），构造函数h（t）=lnt﹣，从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可．【解答】解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根；即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），故k==，又k=，故，解得，x0=e，故k=，故0＜a＜；（2）∵e1+λ＜等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．由（1）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2∴原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），∵λ＞0，0＜x1＜x2，∴原式等价于a＞．又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，ln=a（x1﹣x2），即a=．∴原式等价于＞．∵0＜x1＜x2，原式恒成立，即ln＜恒成立．令t=，t∈（0，1），则不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立．令h（t）=lnt﹣，又h′（t）═=，当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0，∴h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0，∴h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，∴h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式e1+λ＜恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，∴λ≥1．22.(本题满分12分)如图，在平面直坐标系中，已知椭圆，经过点，其中e为椭圆的离心率．且椭圆与直线

有且只有一个交点。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设不经过原点的直线与椭圆相交与A，B两点，第一象限内的点在椭圆上，直线平分线段，求：当的面积取得最大值时直线的方程。参考答案：解：（Ⅰ）∵椭圆经过点，∴又，

∴，∴

∴椭圆的方程为…………2分又∵椭圆与直线

有且只有一个交点∴方程即有相等实根∴

∴

∴椭圆的方程为………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆的方程为

故设不经过原点的直线的方程