人教版数学八年级上册13.3.2.1　等边三角形作业设计（含解析）

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13.3.2等边三角形

第1课时

测试时间:20分钟

一、选择题

1.(2023广东佛山南海期末)如图,直线a∥b,等边△ABC的顶点C在直线b上,∠1=40°,则∠2的度数为()

A.15°B.20°C.25°D.30°

2.(2023山西吕梁期末)如图,A,B是池塘两侧端点,在池塘的一侧选取一点O,测得OA的长为6米,OB的长为6米,∠O=60°,则A,B两点之间的距离是()

A.4米B.6米C.8米D.10米

3.(2023山东济宁期末)已知:在△ABC中,∠A=60°,如要判定△ABC是等边三角形,还需添加一个条件.现有下面三种说法:

①如果添加条件“AB=AC”,那么△ABC是等边三角形;

②如果添加条件“∠B=∠C”,那么△ABC是等边三角形;

③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”,那么△ABC是等边三角形.

上述说法中,正确的有()

A.3个B.2个C.1个D.0个

4.如图,△ABC是等边三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,PR=PS,有下列结论:①点P在∠BAC的平分线上;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△QSP.其中正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.如图,已知:∠MON=30°,点A1、A2、A3、…在射线ON上,点B1、B2、B3、…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形,若OA1=,则△A6B6A7的边长为()

A.6B.12C.16D.32

二、填空题

6.(2023北京朝阳期中)如图,在一个池塘旁有一条笔直小路(B,C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置),若∠ABC=60°,∠ACB=60°,BC=58米,则AC=米.

7.(2023江苏无锡侨谊实验中学月考)如图,△ABC是边长为6的等边三角形,D是BC上一点,BD=2,DE⊥BC交AB于点E,则AE=.

8.(2023海南海口九中期末)如图,AD是等边三角形ABC的中线,AE=AD,则∠EDC=.

9.(2023北京顺义期末)等边△ABC的边长为4,点D是BC边上的任意一点(不与点B,C重合),过点D分别作DE∥AC,DF∥AB,交AB,AC于点E,F,则四边形AEDF的周长是.

三、解答题

10.(2023广东广州八一实验学校月考)如图,已知等边△ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M,求证:M是BE的中点.

11.(2023吉林长春八十七中期末)如图1,已知等边△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,连接DE.

(1)若DE∥BC,求证:△ADE是等边三角形;

(2)如图2,若D、E分别为AB、AC的中点,连接CD、BE,CD与BE相交于点F,请直接写出图中所有等腰三角形.(△ADE与△ABC除外)

图1图2

12.(2023江西九江期中)课本再现:

(1)如图1,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.求证:△ADE是等边三角形.

课本中给出一种证明方法如下:证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C.∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∴∠A=∠ADE=∠AED,∴△ADE是等边三角形.“想一想,本题还有其他证法吗”给出的另外一种证明方法,请补全:证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C,∠A=60°.∵DE∥BC,∴∠B=∠ADE,∠C=,∴=,∴AD=AE,∴△ADE是等腰三角形.又∵∠A=60°,∴△ADE是等边三角形.

(2)如图2,等边三角形ABC的两条角平分线相交于点D,延长BD至点E,使得AE=AD,求证:△ADE是等边三角形.

图1图2

答案全解全析

一、选择题

1.答案B∵△ABC是等边三角形,

∴∠A=∠ACB=60°,

∵∠1=40°,

∴∠AED=180°-60°-40°=80°,

∵直线a∥b,

∴∠AED=∠2+∠ACB,

∴∠2=80°-60°=20°,

故选B.

2.答案B∵OA的长为6米,OB的长为6米,

∴OA=OB,

∵∠O=60°,

∴△ABO是等边三角形,

∴AB=OA=6米,

∴A,B两点之间的距离是6米,

故选B.

3.答案A①若添加的条件为AB=AC,由∠A=60°,

利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形;

②若添加条件为∠B=∠C,

∵∠A=60°,

∴∠B=∠C=60°,

∴∠A=∠B=∠C,

∴△ABC为等边三角形;

③若添加的条件为边AB、BC上的高相等,如图所示:

∵AE⊥BC,CD⊥AB,

∴∠ADC=∠AEC=90°,

在Rt△ADC和Rt△CEA中,

∴Rt△ADC≌Rt△CEA(HL),

∴∠ACE=∠BAC=60°,

∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°,

∴△ABC为等边三角形.

综上,正确的说法有3个.

故选A.

4.答案D∵△ABC是等边三角形,PR⊥AB,PS⊥AC,且PR=PS,

∴P在∠BAC的平分线上,故①正确;

∵△ABC为等边三角形,AP平分∠BAC,

∴PB=PC,∠B=∠C,

∵PS=PR,∴Rt△BPR≌Rt△CPS,∴BR=CS,

∵AB=AC,∴AS=AR,故②正确;

由①得∠PAC=∠BAC=30°,

∵AQ=PQ,∴∠APQ=∠PAQ,

∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC,

∴PQ∥AR,故③正确;

易得△PQC是等边三角形,

∵PS⊥CQ,∴∠PSQ=∠PSC=90°,SQ=SC,

∵PS=PS,∴△PQS≌△PCS,

∵△BPR≌△CPS,∴△BRP≌△QSP,故④正确.

∴①②③④都正确.故选D.

5.答案C如图,∵△A1B1A2是等边三角形,

∴A1B1=A2B1,∠3=∠4=∠12=60°,∴∠2=120°,

∵∠MON=30°,∴∠1=180°-120°-30°=30°,

又∵∠3=60°,∴∠5=180°-60°-30°=90°,

∵∠MON=30°=∠1,∴A1B1=OA1=,∴A2B1=,

∵△A2B2A3、△A3B3A4都是等边三角形,

∴∠11=∠10=∠13=60°,A2B2=A3B2,

∴∠4=∠10=∠11=∠12=∠13,∴A1B1∥A2B2∥A3B3,B1A2∥B2A3,

∴∠6=∠7=∠1=30°,∠8=∠5=90°,

∴A2B2=2B1A2,B3A3=2B2A3,

∴A3B3=4B1A2=2,

A4B4=8B1A2=4,

A5B5=16B1A2=8,

……

∴△AnBnAn+1的边长为×2n-1,

∴△A6B6A7的边长为×26-1=×25=16.

故选C.

二、填空题

6.答案58

解析∵∠ABC=60°,∠ACB=60°,

∴∠BAC=60°,

∴△ABC是等边三角形,

∴AC=BC=58米.

7.答案2

解析∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,

∵DE⊥BC,∴∠EDB=90°,∴∠BED=30°,∴BE=2BD,

∵BD=2,∴EB=2BD=4,∴AE=AB-BE=6-4=2.

8.答案15°

解析∵AD是等边△ABC的中线,

∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=∠BAC=×60°=30°,

∴∠ADC=90°,

∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED==75°,

∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.

9.答案8

解析∵△ABC为等边三角形,

∴AB=AC=BC,∠A=∠B=∠C=60°,

∵DF∥AB,DE∥AC,

∴∠FDC=∠B=60°,∠EDB=∠C=60°,

∴△BED和△FDC都为等边三角形,

∴BE=ED,FD=FC,

∵AB=4,

∴四边形AEDF的周长为AE+ED+DF+AF=AE+BE+FC+AF=AB+AC=2AB=8.

三、解答题

10.证明如图,连接BD,

∵△ABC是等边三角形,D是AC的中点,

∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°,∠ACB=60°,

∵CE=CD,

∴∠CDE=∠E,

∵∠ACB=∠CDE+∠E,

∴∠E=30°,

∴∠DBC=∠E,

∴BD=ED,∴△BDE为等腰三角形,

又∵DM⊥BC,

∴M是BE的中点.

11.解析(1)证明:∵△ABC是等边三角形,

∴∠A=∠B=∠C,

∵DE∥BC,

∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,

∴∠A=∠ADE=∠AED,

∴△ADE是等边三角形.

(2)△BDE,△DEC,△DEF和△BFC为等腰三角形.

∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC=BC,∠A=60°,

∵D、E分别为AB、AC的中点,

∴AD=BD=AB,AE=CE=AC,

∴AD=AE,

∴△ADE为等边三角形,

∴AD=DE,

∴BD=DE,

∴△BDE为等腰三角形,

同理△DEC为等腰三角形.

∵AB=BC,E为AC的中点,

∴∠ABE=∠CBE=30°,

∵∠ADE=∠ABC=60°,

∴DE∥BC,

∴∠DEB=∠EBC=30°,

同理∠BCD=∠EDC=30°,

∴∠BCD=∠CBE=∠DEB=∠CDE,

∴FB=FC,DF=EF,

∴△DEF和△BFC都为等腰三角形.

12.解析(1)∵△ABC是等边三角形,

∴∠B=∠C,∠A=60°.

∵DE∥BC,

∴∠B=∠ADE,