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第第页2022-2023学年福建省福州市八县(市)协作校高二(下)期末数学试卷(含解析)2022-2023学年福建省福州市八县(市)协作校高二(下)期末数学试卷

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

第I卷(选择题)

一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)

1.已知集合,,则()

A.B.C.D.

2.若复数满足,则复数的虚部为()

A.B.C.D.

3.已知,则()

A.B.C.D.

4.南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中出现了如图所示的形状,后人称之为“三角垛”“三角垛”的最上层即第一层有个球,第二层有个球,第三层有个球,若“三角垛”从第一层到第层的各层的球数构成一个数列,则()

A.B.

C.D.

5.已知:,:,则是的条件.()

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

6.已知四边形是平行四边形,,若与交于点,且,则()

A.B.C.D.

7.设点,分别是椭圆:的左、右焦点,点,在上位于第一象限,且点,关于原点对称,若,,则的离心率为()

A.B.C.D.

8.已知,,,则()

A.B.C.D.

二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.对实数,,,,下列命题中正确的是()

A.若,则

B.若,,则

C.若,,则

D.若,则的最小值是

10.已知圆:和圆:相交于,两点,点是圆上的动点,定点的坐标为,则下列说法正确的是()

A.圆的圆心为,半径为B.直线的方程为

C.线段的长为D.的最大值为

11.已知,函数,下列选项正确的有()

A.若的最小正周期,则

B.当时,函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象

C.若在区间上只有一个零点,则的取值范围是

D.若在区间上单调递增,则的取值范围是

12.在棱长为的正方体中,,分别为,的中点,

则()

A.异面直线与所成角的余弦值为

B.过点,,的平面截正方体所得的截面周长为

C.当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时,球的体积为

D.点为正方形内一点,当平面时,的最小值为

第II卷(非选择题)

三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)

13.顾惜同学和小小老师准备开展高三“喊楼”活动,决定从学生会文娱部的名男生和名女生中,随机选取人负责活动的主持工作,则恰好选中一名男生和一名女生的概率为______.

14.请写出一个同时满足下列个条件的函数:______.

在上单调递增.

15.已知向量的夹角为,且,则向量在向量上的投影向量为______用表示

16.已知函数存在唯一的极值点,则实数的取值范围是______.

四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.本小题分

已知数列满足,.

证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;

求数列落入区间的所有项的和.

18.本小题分

为了促进五一假期期间全区餐饮服务质量的提升,霜寒同学和他的朋友们需了解游客对餐饮服务工作的认可程度为此该部门随机调查了名游客,根据这名游客对餐饮服务工作认可程度给出的评分,分成,,,,五组,得到如图所示的频率分布直方图.

求直方图中的值和第百分位数;

为了解部分游客给餐饮服务工作评分较低的原因,该部门从评分低于分的游客中用分层抽样的方法随机选取人作进一步调查,求应选取评分在的游客人数;

若游客的“认可系数”认可系数不低于,餐饮服务工作按原方案继续实施,否则需进一步整改根据你所学的统计知识,结合“认可系数”,判断餐饮服务工作是否需要进一步整改,并说明理由.

19.本小题分

已知,,分别为三个内角,,的对边,且.

证明:;

若,求的长度.

20.本小题分

如图,三棱台中,,是的中点,是棱上的动点.

试确定点的位置,使得平面;

已知平面,且设直线与平面所成的角为,试在的条件下,求的最大值.

21.本小题分

如图,正六边形的边长为已知双曲线的焦点分别为,,两条渐近线分别为直线,.

建立适当的平面直角坐标系,求的方程;

过点的直线与交于,两点,,若点满足,证明:点在一条定直线上.

22.本小题分

已知函数,其中,.

若,讨论函数的单调性;

已知,是函数的两个零点,且,证明:.

答案和解析

1.【答案】

【解析】解:由题,,,

则.

故选:.

根据题意列举法表示集合,再根据并集的运算求解即可.

本题主要考查了集合并集运算,属于基础题.

2.【答案】

【解析】解:,

则,虚部为.

故选:.

根据已知条件,结合复数的四则运算,以及虚部的定义,即可求解.

本题主要考查复数的四则运算,以及虚部的定义,属于基础题.

3.【答案】

【解析】解:因为,

所以,

可得,

则.

故选:.

由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值,进而利用二倍角的正切公式即可求解的值.

本题考查了同角三角函数基本关系式以及二倍角的正切公式在三角函数求值中的应用,属于基础题.

4.【答案】

【解析】解:根据题意,有,,,,

则有:,,,,

归纳可得:,D正确;

故,A错误;

同时有:,,两式相减可得:,即,C错误;

同时:,

则,B错误;

故选:.

根据题意,分析数列的前几项,由此归纳的表达式,由此分析选项可得答案.

本题考查合情推理的应用,注意归纳数列的通项公式,属于基础题.

5.【答案】

【解析】解:根据题意,若,则,

反之,当,时,满足,但,

故是的充分不必要条件.

故选:.

根据题意,由基本不等式的性质证明充分性,举出反例说明不必要,综合可得答案.

本题考查充分必要条件的判定,涉及不等式的性质,属于基础题.

6.【答案】

【解析】解:由四边形是平行四边形,且,

可知∽,且,

所以

则.

故选:.

根据为边上三等分点,可得三角形与三角形的相似比为:,从而得到与的关系,进而利用向量线性运算进行代换即可求得.

本题考查平面向量线性运算,属基础题.

7.【答案】

【解析】解:,分别是椭圆:的左、右焦点,

又点,在上位于第一象限,且点,关于原点对称,且,

根据对称性可知四边形为矩形,又,

,又,

,,又,,

故选:.

根据对称性可知四边形为矩形,再根据椭圆的性质,勾股定理,化归转化,即可求解.

本题考查椭圆的几何性质,方程思想,化归转化思想,属中档题.

8.【答案】

【解析】解:设,,

则,,则在上单调递增,

所以,所以在上单调递增,

所以,即,则,即,

设,,

则,所以在上单调递增,

则,即,所以,即,所以,

则.

故选:.

设,,然后利用导数得出的单调性,进而可以比较,;设,,利用导数得出的单调性,进而可以比较,,由此即可求解.

本题考查了三角函数值比较大小的问题,涉及到函数,导数的应用,考查了学生的运算转化能力,属于中档题.

9.【答案】

【解析】解:对于,若,,则,故A错误;

对于,若,,则,

所以,故B正确;

对于,若,,则,

所以,故C正确;

对于,由对勾函数的性质可知,函数在上单调递增,

若,则,故D错误.

故选:.

利用不等式的性质,结合作差法逐个判断各个选项即可.

本题主要考查了不等式的性质,考查了作差法比较大小,属于基础题.

10.【答案】

【解析】解:根据题意,圆:,其圆心为,半径,

圆:,即,

其圆心为,半径,故A错误;

联立圆:和圆:,消去二次项,

可得直线的方程为,故B正确;

圆:的圆心为,半径,

圆心到直线的距离为,

所以线段的长为,故C正确;

,则的最大值为,D正确.

故选:.

根据题意,由圆的方程分析两圆的圆心和半径,由此依次分析个选项,即可得答案.

本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用,属于中档题.

11.【答案】

【解析】解:,函数,

若的最小正周期,则,故A正确.

当时,函数的图象向右平移个单位长度后,

得到的图象,故B错误.

当时,,

在区间上只有一个零点,

,解得,则的取值范围是,故C正确.

当时,,

若在区间上单调递增,

则,,解得,

的取值范为,故D错误.

故选:.

由题意,利用余弦函数的图象和性质,分别判断各选项即可得出结论.

本题主要考查余弦函数的图象和性质,属于中档题.

12.【答案】

【解析】解:对于,由于,又,

所以与所成角的余弦值为,A正确;

对于,过点,,的平面截正方体所得的截面如下图五边形,

其中为线段上靠近的的三等分点,为线段上靠近的三等分点,,

根据几何关系可得,,,

所以五边形的周长为,B正确.

对于,如下图可知三棱锥的外接球半径即为棱长分别为,,的长方体的体对角线的一半,

球的半径为,球的体积为,C错误;

对于,如下图,以为原点,以,,所在直线分别为,,轴建立空间直角坐标系,

则,,,,

所以,,所以平面的一个法向量,

设,则,

令,即,所以有,

所以,

当且仅当时等号成立,

所以,D正确.

故选:.

根据立体几何知识,结合图形对各选项进行分析即可.

本题主要考查立体几何相关计算,属中档题.

13.【答案】

【解析】解:由题意,从名男生和名女生中,随机选取人,

恰好选中一名男生和一名女生的概率为.

故答案为:.

由古典概型公式直接可得.

本题考查古典概型及其概率计算,属基础题.

14.【答案】答案不唯一.

【解析】解:根据题意,若,则为偶函数,

若,则是周期为的周期函数,

又由在上单调递增,则可以为余弦函数的变形形式,如.

故答案为:答案不唯一.

根据题意,分析可得的周期和奇偶性,结合余弦函数的性质分析可得答案.

本题考查函数的解析式求法,涉及函数的周期、奇偶性的分析,属于基础题.

15.【答案】

【解析】解:向量,的夹角为,且,

向量在向量上的投影向量为.

故答案为:.

根据已知条件,先求出的值,即可推出的值,再结合投影向量的公式,即可求解.

本题主要考查投影向量的公式,属于基础题.

16.【答案】

【解析】解:因为,,

所以,

依题意可得存在唯一的变号正实根,

即存在唯一的变号正实根,

当时,,方程只有唯一变号正实根,符合题意,

当,方程,即没有除之外的正实根,

令,则,

所以当时,,当时,,

即在上单调递减,在上单调递增,

所以,所以,

综上可得

故答案为:

求出函数的导函数,依题意存在唯一的变号正实根,即存在唯一的变号正实根,当符合题意,当时参变分离可得没有除之外的正实根,构造函数,利用导数求出函数的单调性,即可求出函数的最小值,从而求出的取值范围.

本题考查导数的综合运用,考查分类讨论思想以及运算求解能力,属于中档题.

17.【答案】解:证明:,

是以为首项,为公比的等比数列;

令,

即,

由于,

则,

又数列的前项和为,

则数列落入区间的所有项的和为.

【解析】将数列的递推公式变形,可得,即可得到结论,进而可求数列的通项,再求数列的通项公式;

易知此时,由此可求得答案.

本题考查数列通项的求法以及数列的求和,由数列的递推公式,通过构造新的等比数列求数列的通项公式,是常考知识点,正确变形是关键,属于中档题.

18.【答案】解:由图可知:,解得,

设第百分位数为,则,解得,

即第百分位数为;

低于分的游客中三组游客的人数比例为::::,

则应选取评分在的游客人数为:;

由图可知,认可程度平均分为:

餐饮服务工作工作需要进一步整改.

【解析】由频率分布直方图中所有频率和为可求得,在频率分布直方图中频率对应的数为第分位数;

由低于分的游客中三组游客的人数比例进行计算;

由频率分布直方图求出平均值后比较可得.

本题考查频率分布直方图,百分位数,分层抽样等知识,属基础题.

19.【答案】解:证明:在三角形中,,

则,

整理可得:,

由正弦定理及余弦定理可得,

整理可得:;

即证得成立;

,,

由余弦定理可得,即,

即,而,,

可得,因为,

所以,

所以.

所以的长度为.

【解析】在三角形中,由正余弦定理可证得结论;

由余弦定理及可得,的值,由向量的运算性质可得的大小.

本题考查正弦定理及余弦定理的应用,向量的运算性质的应用,属于中档题.

20.【答案】解:连接,,

三棱台中,,是的中点,是棱上的动点,

,,

四边形为平行四边形,,

平面,平面,平面,

又平面,且,平面,,

平面平面,

又平面平面,平面平面,,

是中点,是的中点,

在的中点处,平面;

平面,平面,

,又,,

平面,

平面,,

由知是的中点,是的中点,

,,

连接,,,四边形是平行四边形,

,平面,平面,

,,两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,设,

则,,,,,,

,,

设平面的法向量为,

则,取,则,

又,

,,

当且仅当,即时,取等号,

的最大值为.

【解析】根据线线平行可得四边形为平行四边形,进而可得平面,又得平面平面由面面平行的性质即可得线线平行,即可求解;

根据线线垂直可得线面垂直,即可建立空间直角坐标系,利用线面角的向量求法可得,结合基本不等式即可求解.

本题主要考查线面平行的判定,直线与平面所成角的求法,考查运算求解能力与逻辑推理能力,属于中档题.

21.【答案】解:依题意,以直线为轴,线段的中垂线为轴,建立平面直角坐标系,如图,

因为在正六边形中,为正三角形,,,

设双曲线的方程

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