2021年河南省驻马店市花庄乡教管站中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2021年河南省驻马店市花庄乡教管站中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（）A．9日 B．8日 C．16日 D．12日参考答案：A【考点】等比数列的前n项和．【分析】良马每日行的距离成等差数列，记为{an}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5．求和即可得到答案．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{an}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm=103m++97m+=2×1125，解得：m=9．故选：A．2.运行如图所示的程序框图，设输出的数据构成集合A，从集合A中任取一个元素a，则函数在(0,+∞)是增函数的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C执行如图所示的程序框图，可知：第一次循环：满足，，输出；第二次循环：满足，；第三次循环：满足，，此时终止循环，所以输出的集合，所以从集合中任取一个元素，则函数在是增函数的概率为,故选C．

3.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则=(

) A．{5，7} B．{2，4} C．{1，3，5，6，7} D．{2，4，8}参考答案：D略4.函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是

参考答案：B

【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性．B9B12解析：观察图象可知，该函数在（2，3）上为连续可导的增函数，且增长的越来越慢．所以各点处的导数在（2，3）上处处为正，且导数的值逐渐减小，所以故f′（2）＞f′（3），而f（3）-f（2）=，表示的连接点（2，f（2））与点（3，f（3））割线的斜率，根据导数的几何意义，一定可以在（2，3）之间找到一点，该点处的切线与割线平行，则割线的斜率就是该点处的切线的斜率，即该点处的导数，则必有：0＜f′(3)＜＜f′(2)．故选：B．【思路点拨】观察图象及导数的几何意义得，即函数在（2，3）上增长得越来越慢，所以导数值为正，且绝对值越来越小，故f′（2）＞f′（3），同时根据割线的性质，一定可以在（2，3）之间找到一点其切线的斜率等于割线斜率，即其导数值等于割线的斜率，由此可得结论．5.已知、是非零向量且满足，，则△ABC的形状是(

)A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由、是非零向量且满足，，利用向量垂直与数量积的关系可得，进而得到，即可得出．【解答】解：∵、是非零向量且满足，，∴，∴，∴，∠BAC=60°．∴△ABC是等边三角形，故选：C．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、等边三角形的判定方法，属于基础题．6.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则（

）A.10 B.9 C.8 D.7参考答案：B【分析】根据题意，解得，，得到答案.【详解】，解得，，故.故选：.【点睛】本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.8.的展开式的常数项是

（

）

A．－3

B．－2

C．2

D．3参考答案：D9.下列五个命题中正确命题的个数是(

)（1）对于命题，则，均有；（2）是直线与直线互相垂直的充要条件；(3)已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为＝1.23x＋0.08(4)．若实数，则满足的概率为.(5)曲线与所围成图形的面积是

A.2

B.3

C.4

D.5参考答案：A略10.已知i是虚数单位，则=

（

）

A．1–2i

B．2–i

C．2+i

D．1+2i参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.市内某公共汽车站6个候车位(成一排)现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是

.参考答案：7212.《九章算术》“竹九节”问题：现有1根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为 .参考答案：13.在面积为2的中，分别是的中点，点在直线上，则的最小值是

参考答案：【知识点】解三角形；平面向量数量积的运算C8,F3【答案解析】解析：解：∵E、F是AB、AC的中点，∴EF到BC的距离=点A到BC的距离的一半，∴△ABC的面积=2△PBC的面积，而△ABC的面积=2，∴△PBC的面积=1，又△PBC的面积=PB×PCsin∠BPC，∴PB×PC=．∴=PB×PCcos∠BPC=．由余弦定理，有：BC2=BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC．显然，BP、CP都是正数，∴BP2+CP2≥2BP×CP，∴BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC．∴≥PB×PCcos∠BPC+2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC=令y=，则y′=令y′=0，则cos∠BPC=，此时函数在（0，）上单调增，在（，1）上单调减∴cos∠BPC=时，取得最大值为∴的最小值是故答案为：【思路点拨】根据△ABC的面积为2，可得△PBC的面积=1，从而可得PB×PC=，故=PB×PCcos∠BPC=，由余弦定理，有：BC2=BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC，进而可得BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC．从而≥，利用导数，可得最大值为，从而可得的最小值．14.已知等差数列{an}满足，，则的值为

．参考答案：14设等差数列{an}的公差为d，∵a1+a3+a5+a7+a9=10，∴5a5=10，可得：a1+4d=2．∵a62﹣a22=36，∴4d（a6+a2）=36，即2a4?d=9，∴d=2，∴a1=-6．则a11=﹣6+10×2=14．

15.已知向量=（3，1），

=（，－3），且⊥，则实数的取值为_______参考答案：1。由⊥，得，得。16.抛物线的焦点坐标为__________．参考答案：(1,0)略17.若是偶函数，且定义域为，则a=

b=

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF为矩形，AC=BC．O为AB的中点，OF⊥EC．（Ⅰ）求证：OE⊥FC：（Ⅱ）若=时，求二面角F﹣CE﹣B的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）连结OC，则OC⊥AB，从而得到OC⊥OF，进而得到OF⊥OE，由此能证明OE⊥FC．（Ⅱ）由（I）得AB=2AF．不妨设AF=1，AB=2建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可．【解答】（Ⅰ）证明：连结OC，∵AC=BC，O是AB的中点，故OC⊥AB．

又∵平面ABC⊥平面ABEF，故OC⊥平面ABE，于是OC⊥OF．又OF⊥EC，∵OF⊥平面OEC，∴OF⊥OE，又∵OC⊥OE，∴OE⊥平面OFC，∴OE⊥FC；（Ⅱ）解：由（I）得AB=2AF．不妨设AF=1，AB=2，∵=，∴AC=，则OC=建立以O为坐标原点，OC，OB，OD分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则F（0，﹣1，1），E（0，1，1），B（0，1，0），C（，0，0），则=（﹣，1，1），=（0，﹣2，0），设平面FCE的法向量为=（x，y，z），则．∴=（1，0，），∵=（0，0，1），=（，﹣1，0），∴同理可得平面CEB的法向量为=（1，，0），∴cos＜，＞==，∵二面角F﹣CE﹣B是钝二面角，∴二面角F﹣CE﹣B的余弦值为﹣．19.在△ABC中，2sin2AcosA﹣sin3A+cosA=．（1）求角A的大小；（2）已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若a=1且sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，求△ABC的面积．参考答案：【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）已知等式左边化简，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据A为三角形内角求出这个角的范围，确定出A的度数即可；（2）已知等式两边化简后，得到cosC=0或sinB=2sinC，①当cosC=0时，求出C与B度数，根据a的值利用三角函数定义求出b的值，求出此时三角形ABC面积；②当sinB=2sinC时，利用正弦定理得到b=2c，再利用余弦定理求出c2，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．【解答】解：（1）已知等式化简得：2sin2AcosA﹣sin3A+cosA=2sin2AcosA﹣sin（2A+A）+cosA=sin2AcosA﹣cos2AsinA+cosA=sinA+cosA=2sin（A+）=，∴sin（A+）=，∵A∈（0，π），∴A+∈（，），∴A+=，即A=；（2）∵sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，∴sin（B+C）+sin（B﹣C）=4sinCcosC，∴2sinBcosC=4sinCcosC，∴cosC=0或sinB=2sinC，①当cosC=0时，C=，∴B=，∴b=atanB=，则S△ABC=ab=×1×=；②当sinB=2sinC时，由正弦定理可得b=2c，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=4c2+c2﹣2c2，即c2=，则S△ABC=bcsinA=c2sinA=×=，综上，△ABC的面积为．20.（本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx。若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值；当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围。参考答案：21.已知圆：．（Ⅰ）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程；（Ⅱ）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．参考答案：略22.M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列；分层抽样方法；茎叶图；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】（I）由茎叶图可知甲部门、乙部门的人选数，先算出每人被抽中的概率，根据抽取比例可算出甲部门、乙部门所抽取的人数，“至少有一名甲部门人被选中”的概率等于1减去其对立事件“没有一名甲部门人被选中”的概率；（II）依据题意，能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0，1，2，3，通过计算即写出X的分布列，根据期望公式即可算出期望；【解答】解：（I）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为=，根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人，所以选中的“甲部门”人选有10×=4人，“