福建省泉州市晋江锦东华侨中学高三数学理期末试卷含解析

福建省泉州市晋江锦东华侨中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.给四面体的六条棱分别涂上红，黄，蓝，绿四种颜色中的一种，使得有公共顶点的棱所涂的颜色互不相同，则不同的涂色方法共有(

)

A．96

B．144

C.240

D.360参考答案：【知识点】排列组合J2A

解析：先从红，黄，蓝，绿四种颜色中选一种，有种，排列种数有,故不同的涂色方法共有，故选A.【思路点拨】先从红，黄，蓝，绿四种颜色中选一种，再进行排列即可。2.已知△ABC，，，N是边BC上的点，且，为△ABC的外心，的值为（

）A.8 B.10 C.18 D.9参考答案：D【分析】先由得到，取，中点分别为，求出，，进而可求出结果.【详解】因，所以，因此；取，中点分别为，则，；因此，所以.故选D

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，熟记数量积运算法则以及数量积的几何意义，即可求解，属于常考题型.3.若sin（﹣α）=，则2cos2（+）﹣1=（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】三角函数的化简求值．【分析】由条件利用二倍角的余弦公式、诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：若，则=cos（+α）=sin[﹣（+α）]=sin（﹣α）=，故选：A．4.“”是“”的（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：B因为“”是“”的逆否命题是“”是“”的必要不充分条件，选B5.已知点P为△ABC所在平面内一点，且满足=λ（+）（λ∈R），则直线AP必经过△ABC的（）A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心参考答案：C【考点】向量的线性运算性质及几何意义．

【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】两边同乘以向量，利用向量的数量积运算可求得?=0，从而得到结论．【解答】解：∵=λ（+），两边同乘以向量，得?=λ（+）?=λ（+）=λ（+）=λ（﹣||+||）=0．∴⊥，即点P在在BC边的高线上，∴P的轨迹过△ABC的垂心．故选：C【点评】本题考查平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及其几何意义，属中档题．6.A、B两点在半径为2的球面上,且以线段AB为直径的小圆周长为2π,则A、B两点间的球面距离为A.π

B.2π

C.

D.参考答案：D7.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C如图所示该几何体为四棱锥P-ABCD，且底面是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=1，其外接球球心O为PC的中点。所以，，故选择C。8.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（

）A、3

B、2

C、

D、参考答案：B9.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=log2（x+5） B． C．y=﹣ D．y=﹣x参考答案：A【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接判断函数的单调性即可．【解答】解：y=log2（x+5）在区间（0，+∞）上为增函数，满足题意．在区间（0，+∞）上为减函数，不满足题意．y=﹣在区间（0，+∞）上为减函数，不满足题意．y=﹣x区间（0，+∞）上是减数函数，不满足题意．故选：A．【点评】本题考查函数的单调性的判断与应用，是基础题．10.已知函数（其中）的部分图象如右图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（

）（A）向右平移个长度单位

（B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位

（D）向左平移个长度单位

参考答案：A由图象知，所以。又所以。此时函数为。，即，所以，即，解得，所以。又，所以直线将向右平移个单位就能得到函数的图象，选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数在定义域R内可导，若，且当时，，设，则从小到大排列的顺序为

.参考答案：12.已知函数在区间上恰有一个极值点，则实数的取值范围是__________________.参考答案：略13.在中，若，则周长的最大值为参考答案：略14.用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______.参考答案：324分两大类：(1)四位数中如果有0，这时0一定排在个、十、百位任一位上，如排在个位，这时，十、百位上数字又有两种情况：①可以全是偶数；②可以全是奇数．故此时共有C32A33C41＋C32A33C41＝144(种)．(2)四位数中如果没0，这时后三位可以全是偶数，或两奇一偶．此时共有A33C31＋C32C31A33C31＝180(种)．故符合题意的四位数共有144＋180＝324(种)．15.已知定点的坐标为，点F是双曲线的左焦点，点是双曲线右支上的动点，则的最小值为

．参考答案：9由双曲线的方程可知，设右焦点为，则。，即，所以，当且仅当

三点共线时取等号，此时，所以，即的最小值为9.16.已知函数，且函数在点(2，f(2))处的切线的斜率是，则＝

_参考答案：

17.已知点A（﹣1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量在方向上的投影为

．参考答案：2【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】首先分别求出，的坐标，然后利用向量的数量积公式求投影．【解答】解：由已知得到=（1，2），=（4，3），所以向量在方向上的投影为==2；故答案为：2．【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及利用向量的数量积求向量的投影；属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物的准线方程为过点M(0,-2)作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O).直线过点M与抛物线交于两点B,C，与直线OA交于点N.(1)求抛物线的方程;

(2)试问:的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由。

参考答案：【知识点】抛物线的性质.H7(1);(2)

是定值，理由见解析。解析：（1）由题设知，，即所以抛物线的方程为…………2分（2）因为函数的导函数为，设，则直线的方程为，………………4分因为点在直线上，所以．联立解得．……5分所以直线的方程为．………………6分设直线方程为，由，得，所以．……………7分由，得．…………………8分所以,故为定值2．……………10分【思路点拨】(1)由题设知，，即，进而可求得抛物线方程；(2)对数求导，可求出直线的方程，然后求出直线的方程，设直线方程为，由，得，利用根与系数的关系代入即可.19.已知数列{an}的前n项和为Sn，且，.（1）求证：为等比数列，并求{an}的通项公式；（2）若，求{bn}的前n项和Tn.参考答案：（1）（2）【分析】（1）当时，构造，两式相减得到，再通过构造得到，并且验证满足；（2）根据（1）可知，由数列形式可知用分组转化法求和.【详解】（1）由得：，两式相减得：，即，∴，由，令得，而，故，所以为首项是2，公比是2的等比数列，故，.（2），∴.【点睛】本题考查已知数列的前项和，求，和数列求和，本题属于基础题型，但第一问需注意的取值范围，只能说明数列从第2项起是等比数列，还需验证首项满足，这点需注意.

20.（本题12分）如图6，在长方体中，，为中点.（1）求证：；（2）在棱上是否存在一点，使得平面?若存在，求的长；若不存在，说明理由；（3）若二面角的大小为30°，求的长.

图6

参考答案：解:（1）以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故＝(0,1,1)，＝，＝(a,0,1)，＝.因为·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以B1E⊥AD1.（2）假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE.此时＝(0，－1，z0).又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z).因为n⊥平面B1AE，所以n⊥，n⊥，得取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝.要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝.又DP?平面B1AE，所以存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.（3）连接A1D，B1C，由长方体ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D.因为B1C∥A1D，所以AD1⊥B1C.又由（1）知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，所以AD1⊥平面DCB1A1.所以是平面A1B1E的一个法向量，此时＝(0,1,1).设与n所成的角为θ，则cosθ＝＝.因为二面角A－B1E－A1的大小为30°，所以|cosθ|＝cos30°，即＝，解得a＝2，即AB的长为2.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知，且满足．（1）求；（2）若，，求证：．参考答案：（1）设，则，

…………2分由

得

……………4分解得

或

………………5分∴或………………7分（2）当时，……10分当时，………13分∴

………………14分22.某公司随机收集了该公司所生产的四类产品的有关售后调查数据，经分类整理得到下表：产品类型甲乙丙丁产品件数10050200150使用满意率0.90.70.80.5

使用满意率是指：一类产品销售中获得用户满意评价的件数与该类产品的件数的比值.（1）从公司收集的这些产品中随机选取1件，求这件产品是获得用户满意评价的丙类产品的概率；（2）假设该公司的甲类产品共销售10000件，试估计这些销售的甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数.参考答案：（1）0.32；（2）1000件.【分析】（1）根据表中数据求得产品总件数和丙类产品中