广东省潮州市磷溪中学2022年高一数学理测试题含解析

广东省潮州市磷溪中学2022年高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数f(x)的反函数则=（

）A．1

B．－1

C．1或－1

D．5参考答案：B2.（3分）已知x0是函数f（x）=ex+2x﹣4的一个零点，若x1∈（﹣1，x0），x2∈（x0，2），则（） A． f（x1）＜0，f（x2）＜0 B． f（x1）＜0，f（x2）＞0 C． f（x1）＞0，f（x2）＜0 D． f（x1）＞0，f（x2）＞0参考答案：B考点： 函数零点的判定定理．分析： 先判断函数的单调性，再利用已知条件f（x0）=0即可判断出答案．解答： ∵函数f（x）=ex+2x﹣4在R上单调递增，且f（x0）=0，∴由x1∈（﹣1，x0），x2∈（x0，2），可得f（x1）＜0，f（x2）＞0．故选B．点评： 熟练掌握指数函数的单调性、函数零点的意义是解题的关键．3.已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩?NB＝()

A．{1,5,7}B．{3,5,7}

C．{1,3,9}

D．{1,2,3}

参考答案：A4.已知非零向量则△ABC为（

）A．等边三角形

B．直角三角形C．等腰非等边三角形

D．三边均不相等的三角形参考答案：A略5.函数的最小正周期为，且其图像向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象

A．关于点对称

B．关于直线对称

C．关于点对称

D．关于直线对称参考答案：B6.已知，，，则的大小关系是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A7.如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的是

A．是正三棱锥

B．直线∥平面ACD

C．直线与所成的角是D．二面角为

.

参考答案：B8.映射f:A→B，在f作用下A中元素与B中元素对应，则与B中元素对应的A中元素是(

)A．

B.

C.

D.参考答案：C9.设M=2a（a﹣2）+3，N=（a﹣1）（a﹣3），a∈R，则有（）A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N参考答案：B【考点】72：不等式比较大小．【分析】作差可得：M﹣N=[2a（a﹣2）+3]﹣（a﹣1）（a﹣3）=a2≥0，进而可作判断．【解答】解：M﹣N=[2a（a﹣2）+3]﹣（a﹣1）（a﹣3）=（2a2﹣4a+3）﹣（a2﹣4a+3）=a2≥0，故M≥N，故选B10.已知等比数列a，2a＋2，3a＋3，…，则第四项为（

）A．－

B．

C．－27

D．27参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合，，若，则由的值构成的集合为_________.参考答案：略12.函数的零点个数为

．参考答案：2

13.已知，，，则_____，________．参考答案：

【分析】根据三角函数的基本关系式，可求得，再根据两角和的余弦函数，即可求解的值，得到答案．【详解】因为，且，所以，由，则，又因为，则，所以．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，其中解答中熟记两角和的余弦公式，以及合理应用三角函数的基本关系式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14.若函数的定义域是[0,2]，则函数的定义域是__________．参考答案：解：首先要使有意义，则，其次，∴，解得，综上．

15.已知向量满足，与的夹角为60°，则在方向上的投影是．参考答案：1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量在方向上投影的定义写出运算结果即可．【解答】解：向量满足，与的夹角为60°，∴在方向上的投影是||cos60°=2×=1．故答案为：1．16.已知集合，，若，则锐角

．参考答案：略17.（5分）已知函数和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同．若，则f（x）的取值范围是

．参考答案：考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题： 计算题；压轴题．分析： 先根据函数和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同确定ω的值，再由x的范围确定的范围，最后根据正弦函数的图象和性质可得到答案．解答： 由题意知，ω=2，因为，所以，由三角函数图象知：f（x）的最小值为，最大值为，所以f（x）的取值范围是．故答案为：．点评： 本题考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分6分）计算：(I)(II).参考答案：19.（本小题满分14分）已知函数f(x)=loga在定义域D上是奇函数，(其中a>0且a≠1)．(1)求出m的值，并求出定义域D；(2)判断f(x)在(1,+∞)上的单调性（不必证明）；(3)当x?(r,a–2)时，f(x)的值的范围恰为(1,+∞)，求a及r的值．参考答案：解：(1)因为f(x)是奇函数，所以f(x)=–f(x)，所以loga=loga，………2分即1–m2x2=1–x2对一切x?D都成立，以m2=1，m=±1，由于>0，所以m=–1,……………4分所以f(x)=loga，D=(–∞,–1)∪(1,+∞)……………5分(2)当a>1时，f(x)在(1,+∞)上单调递减，当0<a<1时，f(x)在(1,+∞)上单调递增……8分(3)因为x?(r,a–2)，定义域D=(–∞,–1)∪(1,+∞)，1o当r≥1时，则1≤r<a–2，即a>3，………9分所以f(x)在(r,a–2)上为减函数，值域恰为(1,+∞)，所以f(a–2)=1，即loga=loga=1，即=a，所以a=2+且r=1……12分2o当r<1时，则(r,a–2)

(–∞,–1)，所以0<a<1因为f(x)在(r,a–2)上为减函数，所以f(r)=1，a–2=–1，a=1(舍)………13分综上可知，a=2+，r=1………14分20.已知f（x）=（1）作出函数f（x）的图象，并写出单调区间；（2）若函数y=f（x）﹣m有两个零点，求实数m的取值范用．参考答案：【考点】函数单调性的判断与证明；函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数f（x）的表达式，求出函数的图象即可；（2）问题转化为求函数的交点问题，结合函数的图象读出即可．【解答】解：（1）画出函数f（x）的图象，如图示：，由图象得：f（x）在（﹣∞，0]，（0，+∞）单调递增；（2）若函数y=f（x）﹣m有两个零点，则f（x）和y=m有2个交点，结合图象得：1＜m≤2．【点评】本题考查了指数函数、对数函数的图象及性质，考查函数的零点问题，是一道基础题．21.（12分）已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．参考答案：【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω的值，可得函数的解析式．（2）利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx=cos2ωx+sin2ωx+1=sin（2ωx+）+1，因为f（x）最小正周期为π，所以=π，解得ω=1，所以f（x）=sin（2x+）+1，f（）=sin（+）+1=（sincos+cossin）+1=．（2）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，可得kπ﹣≤x≤kπ+，所以，函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，属于基础题．22.(2010·福建)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．参考答案：方法一(1)如图(1)，设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S＝＝＝.故当t＝时，Smin＝10，此时v＝＝30.即小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2＝400＋900t2－2×20×30t×cos(90°－30°)，故v2＝900－＋.

∵0<v≤30，∴900－＋≤900，即－≤0，解得t≥.

又t＝时，v＝30.故v＝30时，t取得最小值，且最小值为.此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇．方法二(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C处相遇(如图(2)．在Rt△OAC中，OC＝20cos30°＝10，AC＝20sin30°＝10.又AC＝30t，OC＝vt.此时，轮船航行时间t＝＝，v＝＝30.即小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．

(2)猜想v＝30时，小艇能以最短时间与轮船在D处相遇，此时AD＝DO＝30t.又∠OAD＝60°，∴AD＝DO＝OA＝20，解得t＝.据此可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度的大小为30海里/时．这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．证明如下：如图(3)，由(1)得OC＝10，AC＝10，故OC>AC，且对于线段AC上的任意点P，有OP≥OC>AC.而小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，故小艇与轮船不可能在A，C之间(包含C)的任意位置相遇．设∠COD＝θ(0°<θ<90°)，则在Rt△COD中，CD＝10tanθ，OD＝.由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t＝和t＝，∴＝.由此可得，v＝.又v≤30，故sin(θ＋30°)≥.

从而，30°≤θ＜90°.由于θ＝30°时，tanθ取得最小值，且最小值为.于是，当θ＝30°时，t＝取得最小值，且最小值为.方法三(1)同方法一或方法二．(2)设小艇与轮船在B处相遇．依据题意得：v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，(v2－900)t2＋600t－400＝0.①若0<v<30