2023-2024学年北师大版八年级数学上册第一章勾股定理 单元复习题（含解析）

第第页2023-2024学年北师大版八年级数学上册第一章勾股定理单元复习题（含解析）北师大版八年级数学上册第一章勾股定理单元复习题

一、选择题

1．在中，，如果，，那么的长是（）．

A．10B．C．10或D．7

2．直角三角形三边的长分别为3、4、x，则x可能取的值为（）

A．5B．6或C．5或D．

3．下列条件中，能判定为直角三角形的是（）

A．B．

C．：：：：D．，

4．如图，在“庆国庆，手拉手”活动中，某小组从营地A出发，沿北偏东方向走了1200m到达B点，然后再沿北偏西方向走了500m到达目的地C点，此时A，C两点之间的距离为（）

A．1000mB．1100mC．1200mD．1300m

5．如图，在中，，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线，与，分别交于D，E，连接，若，，则的周长为（）

A．16B．17C．18D．19

6．如图，在中，，于点D，E是上一点，且，若，，则的长为（）

A．B．C．D．

7．下列三角形中，不是直角三角形的是（）

A．中，

B．中，，

C．中，

D．中，三边之比为

8．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为24m，则这棵大树折断处到树顶的长度是（）

A．10mB．15mC．26mD．30m

二、填空题

9．在等腰三角形中，，，则边上的高是．

10．如图，在长方形纸片中，，，点M为上一点，将沿翻至，交于点G，交于点F，且，则的长度是.

11．三角形的三边长a，b，c满足2ab=(a+b)2-c2，则此三角形的形状是三角形.

12．如图，△ABC是直角三角形，所有的四边形都是正方形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形I，Ⅱ的面积之和为cm2．

三、解答题

13．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连结AE，求BE的长.

14．已知的三条边长分别为，，，其中，，，且是直角三角形吗？请证明你的判断.

15．位于苏州乐园的漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面垂直高度为的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子的长为，工作人员以米/秒的速度拉绳子，经过秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离的长是多少？

四、综合题

16．如图，在中，，平分交于点D，过点D作交于点E，，垂足为点F．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

17．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.

（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由.

（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求BN的长.

18．八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作：

①测得BD的长度为24米；

②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为30米；

③牵线放风筝的小明身高AB为1.68米．

（1）求风筝的高度CE；

（2）若小亮让风筝沿CD方向下降了8米到点M（即CM=8米），则他往回收线多少米？

答案解析部分

1．【答案】B

【解析】【解答】解：，，，

故答案为：B

【分析】利用勾股定理求出AC的长即可。

2．【答案】C

【解析】【解答】解：当x为斜边时，x＝＝5；

当4为斜边时，x＝．

∴x的值为5或；

故答案为：C.

【分析】分x为斜边、4为斜边，利用勾股定理可得x的值.

3．【答案】C

【解析】【解答】解：A、由无法得到△ABC为直角三角形，故本选项符合题意；

B、，

，无法得到△ABC为直角三角形，故本选项符合题意；

C、：：：：，，

最大角，

∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；

D、，，，，

，

∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意.

故答案为：C.

【分析】根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而只要找出三角形最大内角的度数，即可判断该三角形是不是直角三角形，据此判断A、B、C；根据勾股定理的逆定理，只需要判断一个三角形的较小两边的平方和是否等于最大边长的平方即可，据此可判断D.

4．【答案】D

【解析】【解答】解：如图，

由题意得：，，，

∴，

∴，

∴，

即A，C两点之间的距离为1300m，

故答案为：D．

【分析】先求出∠ABC的度数，再利用勾股定理求出AC的长即可。

5．【答案】B

【解析】【解答】解：由作法得垂直平分，

∴，

在中，，

∴的周长.

故答案为：B.

【分析】由作法得ED垂直平分AC，则EA=EC，利用勾股定理可得BC的值，则可将△ABE的周长转化为AB+BC，据此计算.

6．【答案】B

【解析】【解答】解：在中，，

，，

，

，

，

，

，

在中，，

，

故答案为：B.

【分析】根据，求出BD的长，再利用勾股定理求出AD的长，可得，再利用线段的和差求出EC的长即可。

7．【答案】A

【解析】【解答】解：A、中，，设，

则：，解得：，

∴，

∴不是直角三角形，符合题意；

B、中，，则：，

∴，

∴是直角三角形，不符合题意；

C、中，，则：，∴是直角三角形，不符合题意；

D、中，三边之比为，

设三角形的三边长分别为：，

∵，

∴是直角三角形，不符合题意；

故答案为：A．

【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。

8．【答案】C

【解析】【解答】解：如图所示：

∵△ABC是直角三角形，AB=10m，AC=24m，

故答案为：C

【分析】利用勾股定理求出BC的长即可。

9．【答案】8

【解析】【解答】解：如图所示，过点A作于点D，

，，

，

．

故答案为：8．

【分析】过点A作于点D，根据等腰三角形的性质可得，再利用勾股定理求出AD的长即可。

10．【答案】

【解析】【解答】解：设，则，

由题意得：，

，，，

（AAS），

，，

在中，，

即：，

解得：.

故答案为：.

【分析】设CM=x，则BM=8-x，由题意得DE=DC=AB=10，利用AAS证明△GMB≌△GFE，得到MG=GF，结合BG=EG以及线段的和差关系可得EM=BF，则ME=BF=CM=x，EF=BM=8-x，然后在Rt△ADF中，由勾股定理进行计算即可.

11．【答案】直角

【解析】【解答】解：∵（a+b）2-c2=2ab，

∴a2+b2=c2，

∴三角形是直角三角形.

故答案为：直角.

【分析】将已知等式利用完全平方公式展开并整理可得a2+b2=c2，进而根据勾股定理的逆定理可得三角形的形状.

12．【答案】81

【解析】【解答】解：∵△ABC是直角三角形，所有的四边形都是正方形，其中最大的正方形的边长为9cm，

∴AC2+BC2=AB2，AB=9，

∴AC2+BC2=81，

∴正方形I，Ⅱ的面积之和为81cm2.

故答案为：81

【分析】利用勾股定理可证得AC2+BC2=AB2，根据最大的正方形的边长为9cm，可得到AB的长，由此可求出AC2+BC2的值，即可得到正方形I，Ⅱ的面积之和.

13．【答案】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，

AB＝＝15，

∵DE垂直平分线AB，

∴AE＝BE，

设BE＝AE＝x，则CE＝12﹣x，

在Rt△ACE中，由勾股定理得，

AE2＝AC2+CE2，

即x2＝92+（12﹣x）2，

解得x＝，

即BE的长为.

【解析】【分析】由勾股定理求出AB=15，由DE垂直平分AB可得AE=BE，设BE＝AE＝x，则CE＝12﹣x，在Rt△ACE中，由勾股定理建立关于x方程并解之即可.

14．【答案】解：的三条边长分别为，，，，，，

，

是直角三角形.

【解析】【分析】根据已知条件可得a2+b2=(m-n)2+4mn=(m+n)2，c2=(m+n)2，然后结合勾股定理逆定理进行解答.

15．【答案】解：在中，，，，

∴，

∵工作人员以米/秒的速度拉绳子，经过秒后游船移动到点D的位置，

∴，

∴，

∴．

答：此时游船移动的距离的长是9m．

【解析】【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据题意求出CD的长，再利用勾股定理求出BD的长，根据AD=AB-BD，代入计算求出AD的长.

16．【答案】（1）证明：∵平分交于点D，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（2）解：∵，分交于点D，，

∴，

∴，

在中，，

∵，

∴，

在中，．

【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，所以，即可得到；

（2）根据角平分线的性质可得，再利用勾股定理求出CE的长，利用线段的和差求出BC的长，最后利用勾股定理求出BD的长即可。

17．【答案】（1）解：点M、N是线段AB的勾股分割点.理由如下：

∵AM2+BN2＝2.52+62＝42.25，MN2＝6.52＝42.25，

∴AM2+NB2＝MN2，

∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，

∴点M、N是线段AB的勾股分割点；

（2）解：设BN＝x，则MN＝14﹣AM﹣BN＝10﹣x，

①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，

即（10﹣x）2＝x2+16，

解得x＝4.2；

②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2.

即x2＝16+（10﹣x）2，

解得x＝5.8.

综上所述，BN＝4.2或5.8.

【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理进行判断即可得出结论；

（2）设BN＝x，则MN＝14﹣AM﹣BN＝10﹣x，分类讨论：①当MN为最大线段时，②当BN为最大线段时，分别根据勾股定理建立方程，求解即可得出答案.

18．【答案】（1）解：在Rt△CDB中，BC=30米，BD=24米，

∴CD2=BC2-BD2=302-242=182，

∴CD=18米，

又∵AB=1.68米，

∴CE=CD+DE=CD+AB=18+1.68=19.68米，

∴风筝的高度CE为19.68米．

（2）解：如图所示，连接M