北师大高中数学选择性必修第一册第二章1.1 椭圆及其标准方程课时作业13椭圆及其标准方程含答案

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第二章课时作业13椭圆及其标准方程(原卷版)

角

一、选择题

1.平面直角坐标系中，已知两定点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2，则动点P的集合是(A)

A.线段F1F2

B.直线F1F2

C.以F1，F2为直径的圆

D.以F1，F2为焦点的椭圆

2.若椭圆＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则点P到另一个焦点的距离为(A)

A.5B.6

C.4D.1

3.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是(B)

A.＝1(x≠0)

B.＝1(x≠0)

C.＝1(x≠0)

D.＝1(x≠0)B.

4.若椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0，2)，则实数k＝(B)

A.B.1

C.15D.25

5.已知F1，F2是椭圆＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点.△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为(A)

A.6B.5

C.4D.3

6.设P是椭圆＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是(B)

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.等腰直角三角形

7.F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为(C)

A.7B.

C.D.

8.(多选题)椭圆C：＝1的右焦点为F，点P是椭圆C上的动点，则|PF|的值可能是(BC)

A.1B.3

C.4D.8

二、填空题

9.椭圆＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，|PF2|＝2，∠F1PF2的大小为π.

10.已知F1(－1，0)，F2(1，0)，且△PF1F2的周长为6，则动点P的轨迹C的方程为＝1(y≠0).

三、解答题

11.设A，B是椭圆Γ与x轴的两个交点，点C在Γ上，且∠CBA＝，若AB＝4，BC＝，求Γ的两个焦点之间的距离.

12.已知椭圆的两焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.

(1)求此椭圆的方程；

(2)若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积.

13.已知椭圆＝1(a＞b＞0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0，1)，且3a2＝4b2.

(1)求椭圆的方程；

(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值.

14.设P是椭圆＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为(C)

A.9，12B.8，11

C.8，12D.10，12

15.设椭圆E：＝1(a，b＞0)过M(2，)，N(，1)两点，O为坐标原点，求椭圆E的方程＝1.

16.已知P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆上的两个焦点.

(1)当∠F1PF2＝60°时，求△F1PF2的面积；

(2)当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围.

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第二章课时作业13椭圆及其标准方程(解析版)

一、选择题

1.平面直角坐标系中，已知两定点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2，则动点P的集合是(A)

A.线段F1F2

B.直线F1F2

C.以F1，F2为直径的圆

D.以F1，F2为焦点的椭圆

解析：由题知，|F1F2|＝2，因为|PF1|＋|PF2|＝2，所以动点P的集合是以F1，F2为端点的线段.故选A.

2.若椭圆＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则点P到另一个焦点的距离为(A)

A.5B.6

C.4D.1

解析：由椭圆的标准方程知a＝5，点P到两个焦点的距离之和为2a＝10.因为点P到一个焦点的距离为5，所以点P到另一个焦点的距离为10－5＝5.故选A.

3.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是(B)

A.＝1(x≠0)

B.＝1(x≠0)

C.＝1(x≠0)

D.＝1(x≠0)

解析：∵△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0，4)，∴BC＝8，AB＋AC＝20－8＝12，∵12＞8，且点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆(去除与B，C共线的两个点)，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，

∴椭圆的方程是＝1(x≠0).故选B.

4.若椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0，2)，则实数k＝(B)

A.B.1

C.15D.25

解析：由5x2＋ky2＝5得x2＋＝1，又椭圆的一个焦点为(0，2)，故－1＝22，解得k＝1.故选B.

5.已知F1，F2是椭圆＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点.△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为(A)

A.6B.5

C.4D.3

解析：因为根据已知条件可知，椭圆＝1中16＞9，说明焦点在x轴上，同时a＝4，b＝3，而过点F2的直线交椭圆于A，B两点，则点A到F2，F1的距离和为2a＝8，点B到F2，F1的距离和为2a＝8，结合椭圆的定义可知△AF1B的周长为4a＝16.再结合三角形的周长公式可知，其中两边之和为10，则另一边的长度为16－10＝6，故选A.

6.设P是椭圆＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是(B)

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.等腰直角三角形

解析：由|PF1|＋|PF2|＝8，|PF1|－|PF2|＝2，解得|PF1|＝5，|PF2|＝3.又|F1F2|＝4，故满足|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2，故△PF1F2为直角三角形.故选B.

7.F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为(C)

A.7B.

C.D.

解析：由题意得a＝3，b＝，c＝，

∴|F1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6.

∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，

∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8.

∴|AF1|＝.

∴△AF1F2的面积S＝×2.故选C.

8.(多选题)椭圆C：＝1的右焦点为F，点P是椭圆C上的动点，则|PF|的值可能是(BC)

A.1B.3

C.4D.8

解析：椭圆C：＝1，可得a＝4，b＝2，c＝2，所以椭圆C：＝1的右焦点为F，点P是椭圆C上的点，则2＝(a－c)≤|PF|≤a＋c＝6，结合选项，故选BC.

二、填空题

9.椭圆＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，|PF2|＝2，∠F1PF2的大小为π.

解析：因为由椭圆的定义，我们可知|PF1|＋|PF2|＝2a，

∴|PF2|＝2a－|PF1|＝6－4＝2，

∵在△PF1F2中，cos∠F1PF2＝＝，

∴∠F1PF2＝π.

10.已知F1(－1，0)，F2(1，0)，且△PF1F2的周长为6，则动点P的轨迹C的方程为＝1(y≠0).

解析：由F1(－1，0)，F2(1，0)，

△PF1F2的周长为6，得|PF1|＋|PF2|＝4＞|F1F2|，∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆(不包括左右顶点).

∵2a＝4，c＝1，∴a＝2，b＝，

∴轨迹C的方程为＝1(y≠0).

三、解答题

11.设A，B是椭圆Γ与x轴的两个交点，点C在Γ上，且∠CBA＝，若AB＝4，BC＝，求Γ的两个焦点之间的距离.

解：设椭圆的标准方程为＝1，由题意知，2a＝4，a＝2，∵∠CBA＝，BC＝，∴可以设点C的坐标为C(－1，1)，因点C在椭圆上，∴＝1，∴b2＝，∴c2＝a2－b2＝4－，c＝，则Γ的两个焦点之间的距离为.

12.已知椭圆的两焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.

(1)求此椭圆的方程；

(2)若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积.

解：(1)依题意得，c＝1，又∵2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，即4c＝2a，故a＝2，b2＝3，∴所求椭圆的方程为＝1.

(2)设P点坐标为(x，y)，x＜0，y＞0，

∵∠F2F1P＝120°，

∴PF1所在的直线方程为y＝－(x＋1).

则解方程组可得

∴|F1F2|×.

13.已知椭圆＝1(a＞b＞0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0，1)，且3a2＝4b2.

(1)求椭圆的方程；

(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值.

解：(1)由已知得c＝1，则a2－b2＝1.又3a2＝4b2，故a2＝4，b2＝3.所求椭圆方程为＝1.

(2)由|PF1|＋|PF2|＝4，

|PF1|－|PF2|＝1，

解得|PF1|＝，|PF2|＝.

又|F1F2|＝2，于是在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝.

14.设P是椭圆＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为(C)

A.9，12B.8，11

C.8，12D.10，12

解析：如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，

由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝10，易知|PM|＋|PN|＝||，则其最小值为|PF1|＋|PF2|－2＝8，最大值为|PF1|＋|PF2|＋2＝12.故选C.

15.设椭圆E：＝1(a，b＞0)过M(2，)，N(，1)两点，O为坐标原点，求椭圆E的方程＝1.

解析：因为椭圆E：＝1(a，b＞0)过M(2，)，N(，1)两点，

所以解得所以椭圆E的方程为＝1.

16.已知P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆上的两个焦点.

(1)当∠F1PF2＝60°时，求△F1PF2的面积；