陕西省汉中市第二中学2021年高二数学理模拟试卷含解析

陕西省汉中市第二中学2021年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.抛物线y2=4x上有两点A，B到焦点的距离之和为7，则A，B到y轴的距离之和为（）A．8 B．7 C．6 D．5参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A、B到y轴的距离之和．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线方程x=﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=7∴x1+x2=5，∴A、B到y轴的距离之和为5，故选：D．2.已知函数，若，则a的值是（

）A． B． C． D．参考答案：C3.将直角坐标方程转化为极坐标方程，可以是（）A、B、C、D、参考答案：D4.已知命题，，则

（

）A.

B.C.

D.参考答案：D5.已知实数x、y可以在，的条件下随机取数，那么取出的数对满足的概率是、

（

）(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A6.表示的图形是（

）A.一条射线 B.一条直线 C.一条线段 D.圆参考答案：A【分析】在极坐标系中，极角为定值，且过极点的图形为直线，注意到，故为射线．【详解】表示过极点的直线，因，故其表示的图形是一条射线（如图）故选A．【点睛】一般地，表示过极点的直线，表示圆心为极点半径为的圆．7.以下三个命题：①分别在两个平面内的直线一定是异面直线；②过平面的一条斜线有且只有一个平面与垂直；③垂直于同一个平面的两个平面平行．其中真命题的个数是A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：B8.设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝－8x

B．y2＝8x

C．y2＝－4x

D．y2＝4x参考答案：B9.下列定积分计算正确的有（1）

（2）（3）

（4）A.1个

B.2个

C.3个

D.4个参考答案：B10.已知定义在上的函数满足以下三个条件：①对于任意的，都有＝；②对于任意的，且，都有；③函数的图象关于轴对称．则下列结论正确的是．A． B．C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为．参考答案：10【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆的标准方程求出圆心M的坐标和半径，最长的弦即圆的直径，故AC的长为2，最短的弦BD和ME垂直，且经过点E，由弦长公式求出BD的值，再由ABCD的面积为求出结果．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣6y=0即（x﹣1）2+（y﹣3）2=10表示以M（1，3）为圆心，以为半径的圆．由圆的弦的性质可得，最长的弦即圆的直径，AC的长为2．∵点E（0，1），∴ME==．弦长BD最短时，弦BD和ME垂直，且经过点E，此时，BD=2=2=2．故四边形ABCD的面积为=10，故答案为10．12.在某项测量中，测量结果服从正态分布．若在(0，1)内取值的概率为0.4，则在(0，2)内取值的概率为

．参考答案：0.8略13.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于

参考答案：略14.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于 参考答案：4略15.甲、乙两人独立的解决一个问题，甲能解决这个问题的概率为0.6，乙能解决这个问题的概率为0.7，那么甲乙两人中至少有一人解决这个问题的概率是

.参考答案：0.8816.小明每天起床后要做如下事情：洗漱5分钟，收拾床褥4分钟，听广播15分钟，吃早饭8分钟.要完成这些事情，小明要花费的最少时间为

．参考答案：17由题意可知，在完成洗漱、收拾床褥、吃饭的同时听广播，故小明花费最少时间为分钟，故答案为17分钟.

17.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（参数），圆的参数方程为（参数），则圆的圆心坐标为

，圆心到直线的距离为

参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=（1）若a=1，求f（x）的最小值；（2）若f（x）恰有2个零点，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】分段函数的应用．【分析】（1）a=1时，分别探讨y=2x﹣1（x＜1）与y=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）（x≥1）的单调性与最值，即可求得f（x）的最小值；（2）分①g（x）=2x﹣a在x＜1时与x轴有一个交点，h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）与x轴有一个交点，②函数g（x）=2x﹣a与x轴无交点，h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）与x轴有两个交点两类讨论，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=，当x＜1时，函数f（x）在（﹣∞，1）上为增函数，函数值f（x）∈（﹣1，1）；当x≥1时，函数f（x）在[1，]为减函数，在[，+∞）为增函数，当x=时，f（x）取得最小值为﹣1；故a=1，f（x）的最小值﹣1，（2）①若函数g（x）=2x﹣a在x＜1时与x轴有一个交点，则a＞0，并且当x=1时，g（1）=2﹣a＞0，即0＜a＜2，函数h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）与x轴有一个交点，所以2a≥1且a＜1?≤a＜1；②若函数g（x）=2x﹣a与x轴无交点，则函数h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）与x轴有两个交点，当a≤0时，g（x）=2x﹣a与x轴无交点，h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）在x≥1时与x轴无交点，不合题意；当h（1）=2﹣a≥0时，a≥2，h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）与x轴有两个交点，x=a和x=2a，由于a≥2，两交点的横坐标均满足x≥1，综上所述，a的取值范围为：≤a＜1和a≥2．19.设直线相交于点A、B，

（1）求弦AB的垂直平分线方程；

（2）求弦AB的长。参考答案：解：（1）圆方程可整理为：，圆心坐标为（1，0），半径r=2，

易知弦AB的垂直平分线过圆心，且与直线AB垂直，

而

所以，由点斜式方程可得：

整理得：…6分

（2）圆心（1，0）到直线

故…12分20.如图，在三棱柱中，侧面，已知（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）试在棱（不包含端点上确定一点的位置,使得；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,若，求二面角的平面角的正切值.参考答案：证（Ⅰ）因为侧面，故在中，

由余弦定理有

故有

而

且平面

（Ⅱ）由从而

且故不妨设

，则，则又

则在中有

从而（舍去）故为的中点时，法二：以为原点为轴，设，则

由得

即

化简整理得

或当时与重合不满足题意当时为的中点故为的中点使（Ⅲ）取的中点，的中点，的中点，的中点连则，连则，连则连则，且为矩形，又

故为所求二面角的平面角在中，法二：由已知，所以二面角的平面角的大小为向量与的夹角因为

故略21.（本题满分12分）某地区甲校高二年级有1100人，乙校高二年级有900人，为了统计两个学校高二年级在学业水平考试中的数学学科成绩，采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩，如下表：（已知本次测试合格线是50分，两校合格率均为100%）分组频数10253530甲校高二年级数学成绩：

分组频数1530255乙校高二年级数学成绩：

（1）计算的值，并分别估计以上两所学校数学成绩的平均分（精确到1分）.（2）若数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀.根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异”.

甲校乙校总计优秀

非优秀

总计

0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：参考答案：（1）依题意甲校应抽取110人，乙校应抽取90人

…4分

甲校的平均分约为75，乙校的平均分约为71

……8分

（2）

甲校乙校总计优秀402060非优秀7070140总计11090200，又因为……11分故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异”…12分22.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求B；（2）若，求c及△ABC的面积S．参考答案：（1）（2）【分析】（1）方法一：利用正弦定理将边化角，利用三角