2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）一试预测卷1（Word含解析）

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一试仿真模拟卷

1

一、填空题（每题8分，共64分）

1．用N表示满足，，且方程

无实根的集合，则N的面积为________.

2．用表示正整数n的最大奇因子，如，，则________.

3．定义在R上的奇函数，当时，

则关于x的函数的所有零点之和为________.

4．椭圆中，AB是长为的动弦，O为坐标原点，则△AOB的面积的取值范围是________.

5．如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，，，O为AC的中点．过C作BO的垂线，分别交BO、AB于R、D，若，则三棱锥P-ABC体积的最大值为________.

6．n个点顺次在一条直线上，每点染上白、红、绿、蓝、紫色中的种．若对任意相邻的两点、，要么这两点同色，要么至少有一点为白色，则称之为好的染法，则好的染法的总数为________.

7．已知锐角、满足．若，，当时，则函数y的最大值为________.（用m表示）

8．已知数列，，则所有可能的乘积的和等于________.

二、解答题（共56分）

9．k是一个实数，对于任意实数x，令．

（1）求的最大值与最小值的乘积；

（2）求所有k，使得对每3个实数a、b和c，存在一个三角形，具有边长、和．

10．设实系数方程有3个正实根．证明：方程必有一个正实根和两个互为共轭的虚根．

11．在平面直角坐标系xOy中，给定三点、、．点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）若直线l经过△ABC的内心（设为D），与点P的轨迹恰好有3个公共点，求l的斜率k的取值范围．2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛

一试仿真模拟卷1详细解析

1．．解：令，原方程化为

，

求出．

方程无实根等价于，或，则N的面积为

．

2．．解：令，则，

从而，所以．

3．．解：当时，，即

时，；

时，；

时，．

画出时的图象，再利用奇函数的对称性，画出时的图象，如图所示；

则直线，与的图象有5个交点，则方程共有五个实根，最左边两根之和为，最右边两根之和为6．

因为时，，所以．

又，所以．

故中间的一个根满足，即，解得．

所以所有根的和为．

4．．解：设，，，则

，

故，则，O到直线AB的距离

故．

5．．解：由题意得，，．

因为，所以，阿波罗尼斯圆知P到直线CD的最远距离为圆的半径．

设，，，则由，得

．

因此三棱锥P-ABC体积的最大值为．

6．．解：设表示染白色的好的染法，表示不染白色的好的染法，则为好的染法的总数．

由的定义可知：，，所以

．

注意到，代入上式得．

易知：，，特征根法即得．

7．由，有

，

即．

因为、为锐角，且，所以，．

所以，．

由．

令，设，则有

，

即．这说明在上单调递增．

故．

8．．解：由，把这些数表示成如下数表的形式：

将此表按主对角线对称地补成一个n×n的数表：

数表中第一行的和为

．

第二行的和为……第n行的和为．

设所求的和为S，则

故．

9．（1）将函数化为．

由算术–几何平均不等式，于是有．所以

．

如果，那么，从而有

，

．

所以，当时，的最大值是，的最小值是1．

如果，那么，从而有

，

．

所以，当时，的最大值是1，最小值是．

综上所述，的最大值与最小值的乘积的值．

（2）若存在实数k，能使对每三个实数a、b、c，都存在一个三角形具有边长、和，当且仅当中的实数k能满足．

如果，那么上式等价于，即；

如果，那么上式等价于，即；

故所求的所有实数k为．

10．设方程的3个正根为．

再设方程有3个根为．由韦达定理得

①

②

③

④

⑤

⑥

由②③知，，因此方程的系数恰好正负相间．这说明方程不可能有负数根和零根．

由于方程是三次方程，故它必有一实根，此根只可能是正根．

为证方程还有一对共轭虚根，只需证明它不可能有3个正根，以下应用反证法．

假设，，．由④⑥知

．

所以

．⑦

由⑤知．

同理可得，所以，从而，即，与⑦矛盾．

故命题得证．

11．（1）直线AB、AC、BC的方程依次为，，．

点到AB、AC、BC的距离依次为，，．

依题设，，得，即，或．

化简得点P的轨迹方程为圆与双曲线．

（2）由（1）知，点P的轨迹包含两部分：圆S：

①

与双曲线T：

②

因为和是符合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点．

△ABC的内心D也是适合题设条件的点，由，解得，且知它在圆S上．

直线l经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，l的斜率存在，设l的方程为

．③

（i）当时，与圆S相切，有唯一的公共点D；

此时，直线平行于x轴，表明l与双曲线T有不同于D的两个公共点，所以l恰好与点P的轨迹有3个公共点．

（ii）当时，l与圆S有两个不同的交点．这时，l与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：

情况1：直线l经过点B或点C，此时1的斜率，线l的方程为．代入方程②得，解得或．表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F．故当时，l恰好与点P的轨迹有3个公共点．

情况2：直线l不经过点B和点C（即