工程制图全套教程三

第3章

空间点、直线和平面的投影分析

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教学提示：空间点、直线和平面是组成一个三维立体的最基本的三个几何要素。本章将重点介绍点、直线和平面在三投影面体系中的投影及其投影特性，两两几何要素之间的相对位置关系及其投影特性；本章还将阐述常用的几种空间几何问题的图解方法及其应用，如用直角三角形法求一般位置直线的实长和对投影面的倾角、一边平行于投影面的直角的投影原理，等等。主要是学习如何将点、直线和平面等空间几何要素用投影表达，并反过来又如何用其投影来分析和解决空间几何问题。

教学要求：本章是工程制图最为基础的部分，学生必须熟练掌握各种位置点、直线和平面的投影及特性，进一步建立投影法的基本概念和思维方法。在此基础上，学会应用点、直线和平面的相对位置关系的投影特性，与直角三角形法、直角投影定理配合解决简单的空间几何问题，为立体的投影分析和表达打下基础。●3.1空间点的投影分析●3.2空间直线的投影分析

●3.3空间平面的投影分析本章内容3.1空间点的投影分析

由初等几何可知，空间两点可确定一条直线，空间不在一条直线上的三个点可确定一个平面。因此，要研究空间基本几何要素及其投影关系，首先要建立空间点的投影概念。3.1.1点的三面投影及其投影特征点的投影仍为一个点，且空间点在一个投影面上只有唯一的投影。但当已知点在一个投影面上的一个投影时，都不能确定点在空间的唯一位置。将点A放在三投影面体系中分别向三个投影面V面、H面、W面作正投影，得到点A的水平投影a、正面投影、侧面投影。(关于空间点及其投影的标记规定为：空间点用大写字母A、B、C…表示，水平投影相应用小写字母a、b、c…表示，正面投影相应用小写字母、、…表示，侧面投影相应用小写字母、、…表示。)将投影面体系展开，去掉投影面的边框，保留投影轴，便得到点A的三面投影图，如图3.1所示。3.1空间点的投影分析由此可以得出点在三投影面体系的投影特性是：

(1)点A的V面投影和H面投影的连线垂直于OX轴，即a′a⊥OX(长对正)。

(2)点A的V面投影和W面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ(高平齐)。

(3)点A的H面投影到OX轴的距离等于点A的W面投影到OZ轴的距离，即aax=a″az(宽相等)，作图时可以用圆弧或45°线来反映该关系。

在三面体系中引入笛卡儿坐标体系，以H、V、W三个投影面为坐标面，以三根投影轴OX、OY、OZ为坐标轴，点O为坐标原点。于是空间点A便可用三个坐标值，即点分别到W、V、H三个投影面的距离x、y、z来确定，由此：

点到W面的距离Aa″=a′az=aay=oax=x；

点到V面的距离Aa′=aax=a″az=oay=y；

点到H面的距离Aa=a′ax=a″ay=oaz=z。

3.1空间点的投影分析水平投影由X与Y坐标确定(Z=0)；正面投影由X与Z坐标确定(Y=0)；侧面投影由Y与Z坐标确定(X=0)。点的任何两个投影可反映点的三个坐标，即确定该点的空间位置。空间点在三面投影体系中有唯一确定的一组投影。(a)(b)(c)图3.1点的投影及其投影规律

3.1空间点的投影分析设空井间点A、B、D分别剃位于V、H面和OX轴上奏，如纱图3.红2(关a)所示往，则备它们纽奉的三挎面投圆影如亦图3.塞2(黄b)所示伞。由多此可切知，停投影紧面和棍投影钢轴上两的点杏的坐骗标和继投影瓣有如雀下特白性：(1另)投影记面上屋的点买有一鸭个坐掀标值承为0；在益该投秤影面史上投密影与榨该点姜重合演，在焦相邻娱投影村面上材的投霉影分唱别在谎相应言的投抵影轴塞上。(2堆)投影镰轴上肠的点汪有两诉个坐具标值过为0；在余包含堂这条纱轴的房诚两个购投影种面上只的投疮影都敏与该巾点重尾合，岸在另梳一投巴影面吹上的池投影姐则与搂原点O重合忧。3.插1.握2投影徐面上继的点斗与投课影轴如上的矩点3.君1空间杜点的邪投影彩分析(a趁)脆(翅b)图3.伏2投影师面上颗的点籍与投办影轴害上的纲点3.沃1空间猴点的准投影牺分析3.浑1.修3两点慌的相屋对位祸置及塌重影带点的腹投影侨分析1.空间沿两点筑相对扶位置鞠的投宏影分棵析在投虾影图屈上判阵断空扛间两美个点伍的相蚀对位灶置，客就是顾分析伤两点姓之间型上、愚下、转左、克右、醉前、暮后的区关系添，如型图3.驼3(车a)所示然。由正姨面投翠影或暴侧面折投影失可判刚断两闸点间闸的上孩、下女关系(Z坐标拜差)；由正爬面投备影或赢水平蔑投影慰可判恰断两个点间郑的左屋、右物关系(X坐标捷差)；由水盯平投找影或晌侧面即投影贱可判仆断两余点间谜的前节、后躁关系(Y坐标怪差)，如字图3.粗3(达b)所示爪。3.娱1空间筒点的厦投影衔分析(a峡)遮(满b)图3.秃3两点犬的相观对位撒置3.凡1空间摄点的索投影养分析2.重影感点的你投影游分析当空蹈间两旷点位无于对昏某一阶投影忽面的掌同一在条投呜射线呆上时曲，则膀此两星点在逼该投迫影面骨上的峡投影艇重合滥为一晌点，漂此两嗓点称禽为对蛮该投示影面练的重偿影点马。为闪区分奥重影泊点的进可见泄性，合规定跟观察芹方向雅与投辨影面栽的投极射方右向一西致，索即对V面由主前向伍后，淘对H面由蚕上向差下，袭对W面由议左向求右。累因此列，距俩观察牧者近可之点及的投而影为扮可见驴，反毙之为哥不可语见。从空球间几排何关妇系分故析，勒重影功点在亮空间鹊直角遣坐标爬系中旺有两梁对坐涂标值关分别符相等巧，其售可见贤性则渔由它谊们的落另一荣对不移等的寸坐标邀值来体确定豪，坐廊标值蓄大者生为可屠见，伟值小夺者为丈不可状见。骡画投曾影图预时应泼在不识可见乏点的术投影赔标记炊两侧么注写态括号包，如也图3.巷4所示耍。3.矿1空间遍点的稼投影沉分析(a拉)组(忠b)图3.艳4重影霜点投姜影分服析3.合1空间话点的尖投影恰分析3.耕2空间赏直线魂的投办影分项析由几觉何学告知识完可知统，空明间两萄点可仓确定侧一直丽线。絮因此缓要用应投影风来表辅达空旨间直承线，抢只需斩作出培直线柔上任殿意两完点的油投影锁，再课连接岩该两大点在砖同一航投影齿面上级的投婶影即嫌可。3.窜2.否1直线皇的表玻示法如已合知两熔点A(xA，yA，zA)和B(xB，yB，zB)的空糕间位镇置，德可首弃先绘丸出该地两点灯的三咏面投挤影，跳如图3.脸5(谋a)所示硬，然爸后将挺两点租的同碗面投炼影相签连，含即可酒得直启线的杂三面功投影脖，如舅图3.蒜5(干b)所示泊。由案此也沟可得杀出结干论：碎在一泡般情众况下便，直蒙线的愚投影固仍是陕直线(不变坑性)。而干当直款线上础两点冬为某捐一投股影面哲上的淹重影曾点时浆，直雹线即厌垂直辩于该盐投影机面，黄直线覆在该银投影碰面上街会积尚聚为仁一点(积聚朝性)。3.框2空间贫直线刮的投倍影分旧析(a五)柱(社b)图3.摊5直线肢的投拿影3.若2空间舍直线速的投仍影分赢析直线赶与投向影面惜的相冷对位央置有3种：隆投影泼面平矮行线付、投磁影面润垂直篮线和稿一般竞位置姨直线钞。前佩两种蝴直线泊又统揭称为装特殊多位置臣直线词。直线讲和它接在投顽影平剃面上衰的正薪投影贫之间励所成问的锐击角称禽为此鹊直线臣对该转平面泻的倾突角。窃本书栽约定众：直养线与H、V、W三投基影面融所成抛的角艇分别引用，蝇，表侍示，亭如图3.湿6(险a)所示狼。当牢直线肆平行瞒于投汽影面我时，擦倾角俯为0°；垂肃直于毫投影恭面时吃为90其°；倾辟斜于旷投影份面时貌，则袭倾角破在0°和90砍°之间撑。1.一般欧位置慈直线一般馆位置欧直线喊对投怠影面V、H、W均为庙倾斜鄙，两愤端点柏的坐飘标差洁都不群等于肯零。侍如图3.科6(访a)所示滨的直款线AB，由惰此可轮得一业般位届置直卸线的竖投影同特性瘦。3.中2.泽2直线标相对药于投换影面贵的位叫置及样其投恨影特遵性3.药2空间汽直线幻玉的投纪影分饭析1)一般私位置胳直线总的三看个投粉影与骆其实剖际长奋度的俘关系短为：ab=ABco蚕s；a′b′=ABco喇s；a″b″=ABco凶s由于耀，，隐均不槐为0，故亭一般守位置叠直线晚的3个投棚影之网长均金小于跳其实蓄际长赠度。(2卷)三面通投影锁均倾纳斜于腾投影评轴，招且它丹们与搂投影较轴的疲夹角拨不反膏映该干直线们与投民影面超的倾脱角。(a苍)钉(蚊b)图3.厌6一般价位置卷直线3.耕2空间娘直线奏的投烛影分恋析2.投影蚕面平联行线在三五面体省系中捷，平锯行于更一个拿投影拜面且棚与其咸他两棉投影物面倾朝斜的积直线晃称为熄投影似面平坐行线献。根盒据该葡直线午平行联于哪罚一个态投影偿面又遥分为3种：正平断线：养直线姑平行怜于V面(=恐0)，对H、W面倾涌斜。水平择线：技直线说平行鸦于H面(=蛙0)，对V、W面倾卧斜。侧平千线：适直线祥平行勤于W面(=珠0)，对H、V面倾勿斜。投影苏面平染行线萍的三悉线投贤影及馒投影促特性饺如表3-油1所示纸。且青由表3-楼1可得咱出投障影平仇行线疤的投携影特洽性为那：投屯影面聋平行葱线在烧所平舒行的县平面轰上为舍一条全倾斜曾于轴扭线的纤直线音并反止映实绑长，文与相雾应投午影轴缝的夹编角反看映直疑线对牌另外乔两个元投影英面的聚倾角酬的真项实大团小；获直线建的另期外两托个投荐影面纲的投敬影平梁行线安平行羡于该转投影贱面，蹄并倾图斜于滤相应籍的投怒影轴欧。3.例2空间传直线取的投柜影分避析表3-贿1投影澡面平渐行线若的投汗影及福其投踏影特博性3.得2空间兆直线尊的投纯影分状析3.投影位面垂月直线在三眯面体粪系中敲，垂瓶直于谅一个编投影就面且员必平得行于泊另两方个投厨影面醉的直摘线称博为投奴影面弃垂直午线。男根据荡该直表线垂老直于丧不同炊的投冠影面欺又分忽为3种：正垂午线：相直线敬垂直真于V面，=9顾0°，==忆0。铅垂辉线：超直线煤垂直难于H面，=9牵0°，==门0。侧垂挨线：现直线吹垂直省于W面，=9贿0°，==返0。3.科2空间添直线叫的投普影分打析投影味面平恭行面披的三测面投鼻影及笼投影除特性迎见表3-母2。且岸由表3-盼2可得鸭出投墨影垂兴直线聋的投巧影特抛性为椅：投蠢影面菠垂直贿线在愈所垂图直的里平面还上积乎聚为世一点袖，直氏线的仆另外泥两个誓投影刺分别柏为垂饶直于茄相应侦的投鼠影轴醒并反测映实广长；忧直线廊对投肉影面税的倾亭角均首为已厉知，杀即为0°或90废°3.染2空间属直线怒的投遵影分抓析3.浸2空间朝直线伶的投臭影分螺析表3-恼2投影根面垂抵直线愿的投却影及泽其投帮影特锈性由此刚，我漫们可洒得出霉这样附的结止论：欧从特深殊位粮置直叉线的勒三个疯投影值，可收直接陕获得励直线条的实珠长和侮对投微影面翻的倾劣角的慨真实熊大小子，而挨对于家一般驰位置异直线舞，则禾要通圣过一串定的笨图解坦方法撒来求捐解其今实长谅和倾甜角。3.纵2空间壤直线妖的投嗓影分倡析特殊器位置冻直线斯在三洁面投杰影图辛中可露直接事显示菠实长珠及对载投影狸面的预倾角老，有飘着良括好的畜投影甚特性绝。而岂一般协位置米直线芽的3个投乌影均贩不能牛直接项反映党直线苦的实如长和仙对投仿影面卷的倾塌角，总必须赢通过汽一定照的图巩解方确法来津求解肠。首先无，分期析如进图3.产7所示籍的空禾间直烧线AB与其雨投影铜之间节的几坊何关诱系：在投五射线吹组成旺的平汇面AB止ba内，悲过点A作AK//ab，交Bb于点K，得Rt醉ΔAB木K。其负中：误直角写边AK务=a草b(水平诸投影舰的长被度)，BK披=B缎b―Kb编=ZB―ZA=ΔZ(A、B两点渣间的Z坐标见差)，斜退边AB即为梨实长丽，而AB与AK的夹何角(即斜救边与衣水平盟投影裕的夹求角)为该雅直线叮对H面的杰倾角α。显挺然，扒在这胶个直所角三禾角形卵的三创条边肠和一剥个夹倚角中3.治2.夸3直角症三角唉形法惧求解虾一般浅位置偿直线厉的实暮长和府对投仇影面乞的倾确角3.是2空间抱直线后的投汤影分而析只要酒知道发其中同两个丽要素拐，就沫可画贺出该话直角欺三角任形，苹其他酬两个踪蝶要素付也就抄随即梅获得馒。如誓图3.移7(沟b)所示奥，线疗段AB的水售平投课影ab和两乖端点私的Z坐标各差均滴为已亏知，翁故可纤画出糠此直励角三租角形浅，问筑题便寻获解抱决。虏这种墓方法季称为际直角场三角沉形法碑。直角跑三角暂形法掠中所朱用的沾直角习三角乡丰形是盲从上脏述空唇间几它何分让析中挽推理贤而抽能象出馒来的慎，图森解时秒可直杂接作扶在投布影图闹中，魄也可击作在呈投影记图形叛之外侨，如菌图3.置7(粒c)所示气。在耍如图3.眉7(淹b)所示伶的作树图过搁程中病，就售分别抛用了否两个服位置走来画燥直角腾三角削形：签一是备画在墨水平供投影撤中，蓝直接程利用佳水平乐投影ab为一层直角亿边，吓而另冶一直示角边Ab为坐矛标差ΔZ；二己是画座在正省面投讯影中便，利陷用反忠映Z坐标息差的政正面闭投影b′徒a1′为一需直角冬边，极而另傅一直设角边a1′B就等浴于其赶水平蓄投影ab。注闪意两尖种作倾法都贴有同泳一结裤果，些即斜笑边为蛮实长衣，斜滩边与久水平涨投影碎的夹抓角为敞直线缩慧对水煎平投偿影面蛋的倾肚角。3.勾2空间化直线保的投厦影分赵析图3.妖7求线挂段的借实长朗及对这投影挣面的株倾角(a映)秩(祥b)星(以c)3.元2空间块直线市的投盐影分钩析同理局，利形用线兵段的修正面蛇投影a′b′或侧乱面投毛影a″b″，可详与线辈段AB的实竹长及渠和角嫁分别哪组成那另外络两个编直角纯三角扫形，仰如图3.渡8所示划。这3个直俗角三粥角形凭的组地成情瓦况如泛下：(1痛)两直群角边舟分别与为直恩线的徐水平城投影滤和Z坐标朋差，恢斜边蛋为实剥长，率水平石投影毅和实陆长的僻夹角尝为，疤如图3.丢8(瓶a)所示域。(2饺)两直怪角边踩分别贝为直默线的罩正面赠投影购和Y坐标猾差，古斜边坏为实迅长，朋正面注投影朗和实巴长的缴夹角供为，议如图3.因8(扇b)所示斑。(3威)两直站角边愈分别屠为直锻线的扁侧面喜投影述和X坐标地差，反斜边庭为实造长，幼侧面子投影济和实带长夹析角为顶，如乏图3.俯8(铁c)所示钉。用直仍角三杠角形矩法解谜题时肆要注纯意以曾下几放点：3.寻2空间铃直线亡的投脚影分狐析(1纪)对照姿图3.咬8所示写的3个直码角三题角形粥可知氧，对僵于同头一段颗直线舟，用氧其中籍任意刚一个名直角感三角嘉形，愿都可参求得值该直拳线的岂实长泳。但园对投污影面务的倾影角的呢问题肃，则除要用疮不同狭的直喊角三步角形萝来求能解。单如一软定是朱实长高与水葬平投便影的曾夹角呈，一吼定是毁实长议与正匠面投剑影的宜夹角溜，而悄一定陶则是它实长疲与侧锦面投亦影的画夹角伏。(2魔)获得午直角茄三角盲形的扭投影竞体系屿一般粥是两火投影纺面体慰系，暴不同驾的投辽影体助系所选对应笼的直范角三练角形预也不夺同。怕求解舍的直灾角三揉角形踩从V/H体系趁中获械得，进求解敢的直哥角三算角形裂从V/H或V/W体系次中获括得，抵求解挂的直稼角三跪角形骡从V/料W体系佩中获刺得。(3唯)从图顾中得前知，救每个粥直角益三角筝形含侵有4个要屋素，灰若知迅其中哗任意麻两个掘，则菌此直平角三线角形队便完萌全确隔定，部由此餐可求许出另2个要旨素。谎凡遇亮到此4要素梨的问均题均条可用降此法甩来求貌解。3.俗2空间境直线疾的投律影分速析(a退)北(b覆)那(c须)图3.更8直角步三角伐形法饼中的喇边和塔角与主投影届的关泻系3.芳2空间后直线缎的投默影分左析【例3.浊1】已知释线段AB的实溪长为60嘴mm，求浇出AB的水边平投稳影ab，如碌图3.法9(安a)所示翁。分析损：要珠求解炉直线刊的水胃平投售影ab，则秤应利俘用含兆有水芳平投要影的周那个烈直角但三角习形来疯作图拘。而朗在该码直角愉三角棚形的3条边店和一蛙个角需中，婶已知AB的Z坐标签差(从正葬面投阔影而索知)和实宝长两毒个要冈素，湖因此AB的水嚼平投幕影ab由此六可求(可得倦两解)。作图尼步骤捐：(1除)过b′作a′庆a的垂汤线b′督B0，以a′为圆党心60膊mm为半涉径画珠弧与b′跳B0交于B0，则营得出腊水平妖投影ab的长尊度，她如图3.饮9(温b)所示灰。3.顿2空间喘直线直的投狡影分佛析(a烈)刚(b览)图3.龄9作AB的水哈平投岭影3.什2空间细直线星的投徒影分赖析(2萄)过b′作投璃影连博线b′筛b垂直芹于OX轴。(3掘)以a为圆偏心、ab为半鱼径画顺弧交b′牙b于b。(4还)连ab即为矩所求(两解)。3.裕2空间约直线络的投谷影分阴析空间争点与升直线恒的相拌对位春置有原两种饼情况字：点梢在直农线上睛、点肺不在铁直线妇上。根据塞平行堤投影懂法中寇从属亿性和蜡等比画性的躲基本世性质碎可知钩：点俗在直收线上范，其烛投影薄必在拼该直兆线的虾同面疫投影惧上；笨且点纹分线拌段之妇比，呜其投悦影后系保持查不变衰。如图3.卧10所示霉，已川知点C在AB上，奖则点C的3个投辛影必收在AB相应盐的同草面投狗影上滤，且层有：AC∶CB裁=趟a禾c∶cb战=蠢a舟′奋c′∶c′类b′=僻a″祸c″∶c″差b″。而宝如图3.腐10读(b矿)所示映点D的水话平投鹿影虽掘然在楚直线AB的水遵平投蓬影上穷，但京其正佩面投枣影和可侧面蜂投影饱都不喊在直晃线AB的同达面投尤影上睡，故葡点D不在倍直线AB上，瘦如图3.奖10裙(a漠)所示壁。3.信2.秆4点与疯直线匪的相佳对位稿置3.融2空间沸直线奋的投洒影分定析(a灯)絮(b蓄)图3.张10点与岗直线烛的相夹对位描置3.述2空间欠直线垃的投射影分婶析根据门上述亿性质林即可夸判别坐点是染否在肯直线逼上以代及解结决在摘直线欺上取典点的振作图寺问题幅。要从融投影宗上判捕断点狭是否番在直午线上杜，对重于一皆般位常置直略线而迟言，溉只需柳从其膨中两虎组投漠影就顽可加雅以判奋断。轧如在幅图3.剥10中，客点C的两求个投咐影在AB的同到面投姐影上饰，点D只有迈一个箭投影烘在直失线AB的同性面投懂影上箩。因狮此点C在直融线AB上，荒点D不在品直线AB上。而对备于特橡殊位排置直披线而拘言，盲则必牲须从集其三础组投冶影或会利用橡点分愚线段训之等亡比性系来进防行判铅断。古如图3.佛11逢(a隶)所示胸，因耐为所凶给直偶线AB及点D位于叛平行境于侧钉面的咳同一史平面田内，俱不管徐点D是否哀在AB上，争都有d∈ab，d′∈a′忍b′的关熄系。哈为此点，必帮须根划据第3投影讽或利机用点迟分线识段之惯等比剥性质道来判两别。亭图3.暑11答(b睛)、图3.战11偷(c详)列出扶了这比两种殊判别幕方法贸。由企作图届可知叙，点D不在AB上。3.蜂2空间绩直线弯的投卷影分围析(a唉)董(b独)菠(c叨)图3.痒11点与雾直线版相对足位置算的判恰别3.百2空间枯直线哭的投口影分哄析空间卖两直题线的裂相对长位置档有3种情驾况，顾即平宅行、蛾相交肿和交拼叉(即异例面直锡线)爷1筹.平行沟两直广线空间功两直令线平点行，志则其3组同擦面投础影必康平行飞。反感之，蚊若有就两直甩线的爬三组烛同面疤投影狮都平陷行，辅则该虎两直皆线在储空间暮相互析平行类。如咸图3.涌12所示惹，已板知空户间两氏直线AB∥EF。过AB、EF上的正各点臂向投棵影面闹作投风射线锅，所疗形成洪的两捎个平螺行平宋面与著投影拴面的低交线父也相驱互平文行。栏即ab∥ef，a′堂b′∥e′弟f′，a″稻b″∥e″站f″。其食投影苹图如斤图3.炎12唐(b设)所示盒。从液而不训难得衬出AB/EF=ab/ef=a′折b′/e′健f′=a″拔b″/e″桥f″。由悄此可兰得其条同面销投影枝必平陪行，抹且两委平行葱线段手长度全之比胃等于吃其投混影长艰度之漫比。3.剖2.悬5两直很线的管相对萍位置3.丘2空间能直线绪的投季影分糊析(a脾)苦(b阴)图3.舰12平行往两直昨线3.诉2空间帖直线逢的投策影分柜析表2-菌6(要判青别两翅条一旨般位卵置直划线是缺否平渔行，宽只需办看它遥们的员任意素两面灭投影瘦即可中。但久对于朝特殊味位置是直线鸭而言递，则螺必须残同时长检查欢它们慎的3组同峰面投广影。如图3.腾13所示章的两瞒直线AB和CD均为川侧平团线，碌虽然卖它们忙的H、V面投学影：ab∥cd，a′皂b′∥c′暖d′，但a′宗b′∶c′贪d′表ab∶cd，其辱侧面掉投影a″悦b″不平盏行于c″杏d″，故秃直线AB不平扰行于CD。3.第2空间禽直线虫的投与影分惭析图3.汇13两直曲线是招否平匠行的迎判断3.墨2空间灰直线换的投沫影分仍析2.相交返两直饶线空间间两直匠线相犬交，合其各缠组同袍面投涛影必秤相交众，且斩交点姨的投拴影符张合点惯的投底影规守律。笨反之很亦然齐。如住图3.智14珠(a久)所示置，空帖间两继直线AB与CD相交华于点K，则悟交点K为两馋条直酸线所呆共有络，根谊据从紫属性才不变亏的性疑质，同两直插线的热同面昨投影病必定尤相交便，且郊交点罚符合夏点的枯投影遥规律坦，即kk少′⊥OX(k′味k″⊥OZ)，如些图3.耽14铲(b降)所示怨。因跑此，弹对于疼一对我一般钻位置麻直线筋，要德判别雾它们煌是否许相交住，只寒需检敏查任叹意两辞面投银影的将交点柴的投刷影连膜线是检否垂挂直于误投影椒轴即迹可。午否则家，要团同时惧从3组同佣面投知影、铃或者玻从交质点的寄从属弹性及木交点俯分割引线段陵的等裹比性虫来判盼断。3.限2空间木直线把的投娘影分烤析(a俗)(b青)图3.街14相交驶两直挣线3.贱2空间患直线秩的投魄影分币析如图3.袍15恭(a嘱)所示需的两伟直线AB和EF，虽霜然其呼两面慕投影省均相雹交，悉其实爸在空便间并射不相袄交。厕因为垮从图3.圾15雅(b雀)的判律别可疗看出编：e′裂k′∶k′信f′宿ek∶kf，所秆以点K不在EF上，摇即两瞎直线色不相国交。印同样肿，还航可通相过作膜出其仁侧面过投影巾来判耍断。(a诉)然(台b)图3.李15两直贡线是满否相薪交的服判断3.花2空间册直线眨的投劝影分卸析3.交叉涨两直吗线在空锋间既樱不平枝行又择不相逼交的足两直苗线称岩为交俯叉两庄直线惭。如归图3.丑13和图3.笛15所示撤的两手直线谷均为坝交叉绒两直否线。迎交叉翻两直长线的3组同董面投察影不吵一定密都相柴交，苹即使丸都相由交，裂其交渠点也灰不符斥合点勿的投盖影规买律。倚我们吃在交栽叉两训直线算的同映面投哑影上宿看到讲的交屿点，厦实际按上是屑分别拼在两毒直线兽上的增两点咬在该薄投影坝面上犯的重顾影点需。利伸用重守影点咏的投份影特援性，哑可判愿断两烫直线俭的相扰对位轧置。如图3.硬16所示伪，交着叉两霉直线AB，CD上分露别有深两个妇点Ⅲ、Ⅳ(点Ⅲ∈A崖B，点Ⅳ∈C慎D)，它活们在H面的符重影抵点为(3路)4，由3.录16傲(b军)中的扣投影附可知ZⅣ>ZⅢ，故Ⅳ点在Ⅲ点的不正上投方，Ⅲ点的戏水平判投影3为不醋可见狐，用(3鞭)表示疏。同返理，回在V面上步另一钞对重霸影点I、II中，吗点II的正赖面投麻影2′不可搂见，暴用(2′)表示瘦。3.兵2空间杏直线齿的投蛇影分舅析(a不)滴(选b)图3.仓16交叉塑两直娱线的波重影灿点3.傍2空间喷直线蜻的投垫影分缴析【例3.室2】试判洋别已王知直氏线AB，CD，AE两两攻之间卡的相夹对位从置，绳如图3.挖17窝(a修)所示令。分析羊：从图墨中直受接观遥察可象得出脱：AB与AE相交裁，因乡丰为它弦们有脸公共矛点A。对代于AB与CD两直没线，霸由于仅它们岩均为案侧平私线，易虽然午其正虚面投票影和抢水平提投影座均分菌别平哨行，领但不忧能凭肤观察屑直接擦定出割。判泳别方惹法有切两种至，一皇种方营法是亩作出湿它们绸的侧粮面投拿影，货另一洽种方掌法是话通过浴检查A，B，C，D4点是战否共议面。涛即分闲别连辩接AC与BD的正灭面投兔影和驴水平煎投影济，使到它们缩慧形成AC与BD两条危直线汇。由AC与BD两直赌线的休不共体面，贼即可坊推断挡出A，B，C，D4点不稼共面高。所络以AB与CD为两嗓交叉震直线沙，如判图3.桑17镇(b溜)所示岩。而AE与CD是一芝对交庸叉直杰线，巡寿其判与别方回法可材用图3.育17亏(c炭)所示瞧的等粮比性树定理陪，读唉者可妄自行盘分析偷判断沿。3.称2空间虹直线借的投此影分串析(a授)挥(b势)图3.深17判别假两直甘线间我的相必对位秩置3.出2空间惕直线辞的投糟影分锁析【例3.秤3】求作凳直线ST，使钱其与改已知改直线AB，CD相交澡且平回行于告已知辽直线EF，如辅图3.慨18靠(a净)所示债。分析朋与作僵图：刃从图3.结18绵(a野)可知赤，直平线CD的水现平投红影积懒聚为爪一点c(d)，故CD为铅屿垂线特。由询于所蛛求直闲线ST与CD相交笨，故激其交徐点T的水腿平投词影也规必积蹄聚于械点c(d)。又谅由于诊所求盟直线ST∥EF，且栽与AB相交妥。故亲可过匙点c(d)作st∥ef交ab于s，由s找到s′，过s′作s′汉t′∥e′洗f′交于t′，则st和s′代t′为所刃求直资线ST的两减面投吗影。洗作图尖步骤傲如图3.枣18弊(b航)所示疑。3.胃2空间绍直线搂的投滤影分警析(a赵)奥(b惯)图3.熔18直线挎平行哗与相膀交的邮综合肚题举皱例3.殿2空间效直线稀的投效影分些析空间各垂直内的两菜直线(相交伶或交验叉)，若阵其中牧的一党直线膏平行疗于某丸投影某面时冈，则励两直筋线在紫该投亿影面愿上的摊投影馆仍为隔直角雄。直葛角的醉这一慌投影雄特性占称为税直角稍投影层定理次。反忙之，婶若两润直线扑在某垒投影屠面上谊的投闹影为却直角舟，且蜓其中枪有一亮直线找平行分于该花投影挺面时墙，则遣该两建直线龙在空燥间必她互相创垂直诱。证明涉如下填：如逮图3.课19炸(a瞒)所示白，设晶相交姻两直愉线AB⊥BC，且AB∥H面。∵AB⊥BC，AB⊥Bb∴AB⊥平面BC税cb。又∵AB∥H面领∴ab∥AB。因此课：ab⊥平面BC霜cb，得ab⊥bc，即∠ab啄c=90袋°，如堂图3.吸19巨(b摧)所示恨。3.菊2.毁6一边叹平行谣于投猎影面绘的直糊角的慨投影(a小)敢(匹b)图3.抬19直角止的投甩影3.蜻2空间杀直线归的投电影分算析应用的直角鹊投影晶定理迎可以薄解决贼许多项空间僵定形辉和定上位的来几何拨问题缝，如睛求作培直角围三角牢形、泉等腰题三角之形、姐长方庭形、掌正方污形、嘴菱形蛙等的炒投影柏作图应问题下，以柱及求现解点功与直物线间舒、两步直线盈间及曲直线异与平盼面间剖的距躺离问印题等肌等。直角妙投影躬定理边同样猜适合蛮于两绸直线辽交叉沸垂直军的情陡况。肌读者屋可自结行证奏明。政如图3.工20所示贵的两凤直线牲就是柴交叉棉垂直洪的情痕况。咱因为剃直线AB是一参条水予平线迈，且AB与CD的水宁平投哥影又植相互浓垂直屠，因泥此由折上述识直角方定理省可知吐，这献两条弟直线仅在空活间垂葵直。旦又因册为两抛直线场的正局面投泄影不幼相交妥，且狐两直晚线的颜两面质投影孕也不围平行详，因杀此它畜们是欧一对脂交叉予直线加。3.捎2空间辱直线致的投代影分崖析【例3.致4】试求浸点A到直袖线BC的距猫离，归如图3.校21锡(a聪)所示截。分析熄：求空沃间一衣点到翼直线慈的距购离的电问题警，也挂是过独点向偷直线遍作垂摘线、爬并求辛出该类垂线幅的实恒长的辣问题振。在颂本例绢中，送应从宝已知主点A向直掩线BC图3.拾20两直吩线交缩慧叉垂林直3.骨2空间数直线夸的投枪影分演析作垂亚线AK，得艳垂足勿为K。由楚于所诉给直捆线BC为正皱平线酒，故础由直赔角投聋影定醒理，臂应使辣其正陕面投延影a′袭k′⊥b′绑c′；然对后利岁用直望角三膛角形债法求锁出AK的实奴长，闪即为丝式所求废的距胸离。作图果步骤：(1症)过a′作a′k′⊥b′c′，交b′c′于k′，由k′找出k，连孙接ak，得AK的投暂影(ak，a′k′)；(2向)用直画角三奔角形鞠法求朵出AK的实知长，狸即a′米k0为所棒求，星如图3.原21抛(b樱)所示糠。(a伍)幅(盘b)图3.纤21求点富到直蠢线的沾距离3.磁2空间晨直线嘴的投奸影分萌析【例3.仍5】试作社出交驻叉两邀直线AB、MN的公凉垂线EF，并闲求AB与MN之间仙的最施短距镜离，仰如图3.叠22腰(a衔)所示唤。分析青：如木图3.里22惑(b坟)所示愉，公娘垂线EF是与AB，MN都垂咱直相疾交的抄直线巧，EF的实茅长就胃是所喝求交查叉两伟直线鼠的距剪离。缴由于AB⊥H面(AB为铅黑垂线)，又EF⊥AB，所爪以应挥有EF∥H面，探其垂光足E的水早平投占影e必积俘聚在AB的水匪平投杯影ab处。供又由迷于EF∥H，同广时EF⊥MN，根念据直脂角投迫影定昆理必漠有ef⊥mn。显醋然，迈因为EF为水酒平线糖，其极水平浓投影ef反映嫩公垂早线EF的实赴长，弱这就冰是所剪求AB与MN之间君的距驻离。作图郑步骤绒：［目如图3.漂22扑(c授)所示朱］。(1崖)在水虚平投找影面励上过a(b)点作ef⊥mn。(2似)由ef及水辈平线EF的投守影特肤性，应定出敏其正急面投横影e′牲f′。则e′邪f′和ef即为让所求售公垂服线EF的两餐面投经影，都同时膛，ef也是施所给袍交叉砍两直千线的抓最短折距离则。3.绳2空间辱直线案的投愁影分山析图3.烈22作交贿叉两弟直线销的公鸡垂线稀并求苗其距输离3.蛇2空间宣直线贼的投森影分模析平面届的投卖影概巨念可现建立汽在点市和直冬线投浩影分仁析的冲概念蛙之上轮。3.父3空间璃平面乞的投挤影分酿析1.用几雹何元候素表秤示平摔面由几利何学邮可知秧，空联间平冲面可辽由下叨列几依何元守素确梁定：赏①不义在同孔一条忍直线惹上的3点；首②一恼直线漫及直吃线外绢一点愿；③颠两相霉交直佛线；烈④两姜平行翻直线理；⑤激任意碑的平祝面图奔形，莫如图3.亩23所示景。从图纺中可竿以看荷出，涛以上轻各组衰元素糊可以蜻互相阅转化旬。同挨一平联面无样论采声用何逐种形六式表啊示，蔬其空威间位庸置始粗终不倾变。(a与)不在愈同一寒直线磁上的来三点(b春)直线永及直密线外宏的一螺点(c自)相交疑两直抱线3.高3.阶1平面犬的表然示法3.棉3空间你平面盛的投名影分刘析(d衣)平行那两直唐线(e答)平面唐图形图3.厦23用几苗何元深素表额示平直面2.用平所面的百迹线个表示颜平面在画塘法几闻何中疏，空男间平念面还荒可用逮迹线匪来表亡示。衫空间逢平面起与投垄影面片的交泽线称悲为投穴影面乖的迹溉线。抱如图3.嗽24展(a塑)所示落。平民面P与H、V、W面的箭交线俩分别惑称为辞水平释迹线(用PH表示)、正准面迹奸线(用PV表示)和侧贸面迹纳线(用PW表示)。PH、PV、PW与投吐影轴X、Y、Z的交科点PX、PY、PZ称为择迹线借集合暴点。3.浴3空间伤平面凶的投狡影分虹析由于辨迹线瞎是投与影面婚上的乒直线散，所泛以它争的一旋个投柏影与静迹线猜本身附重合趋，另测一个淡投影屑则落篮在投价影轴暂上。案在投夫影图融中，PH、PV、PW直接距表示述迹线部本身吵在空烤间的艘位置里，而渣处在括投影严轴上古的那描个投绘影则悼省略蜘不画池，如讲图3.酱24缘瑞(b碗)所示安。(a惕)私(b爪)图3.浑24用迹份线表拖示平贱面3.蜜3空间折平面慌的投倡影分汉析显然保，用衫迹线企表示箱的平时面，任其直忘观性失强，痰它形闷象地汁表明抽了平脑面在宁空间料的位富置。载用迹醉线表共示的损平面皂称为擦迹线蒸平面捕。3.晓3空间陆平面指的投尿影分溪析3.必3.航2平面乐相对功于投罢影面件的位治置及懂其投倡影特绿性在3面体住系中,平面位对投恳影面流的位率置有3种：躬一般评位置信平面雄、投梁影面尖垂直莲面和剧投影伸面平刻行面凝。后锋两种范称为示特殊子位置苍平面贺。平面酷分别革与H、V、W面所屑构成续的两卵面角土称为短该平亦面对H、V、W面的塌倾角唯，，饿。显往然，垂当平渠面平莫行于筹投影贪面时桌，其预倾角咬为0°；垂殃直于变投影亚面时叹，其姓倾角轧为90渐°；倾轮斜于疗投影怎面时僚，其掏倾角专在0°<，，<90斜°。1.一般吸位置劈燕平面既不磁平行钓也不持垂直蓬于投乐影面汪的平仗面称椅为一庆般位值置平茂面。忘如图3.孙25所示离可直物接观敏察分光析得结到一压般位劈燕置平果面的东投影梢特性搅：由掌于平滔面倾拔斜于葵投影键面，沫所以漆它的比三面奇投影郊的形扮状均胁为空序间平赴面的次类似姨形线糕框，渗其面逮积均素小于珍空间丽平面冠的实贼形面佣积，翁不反爷映实察形的举真实贿大小透；3个投篇影均借不能久反映阔平面烤与3个投坏影面竭的倾届角的割真实猫大小雨。3.疫3空间夺平面混的投蛮影分誓析(a络)医(b圣)图3.泉25一般哄位置斑平面专的投季影3.勇3空间模平面每的投坟影分凑析2.投影漆面垂跪直面在三让面体惰系中鞠垂直胞于任缘瑞意投检影面慨，而急与另休两投饰影面鼓倾斜未的平赞面，旷称为辣投影演面的区垂直宽面。投影副面垂持直面吹可分逃为3种：(1廊)垂直咐于V面、丙且倾族斜于郑另两群投影聋面的紧平面命称为沿正垂敏面。(2卖)垂直刊于H面、研且倾唇斜于羽另两亭投影盐面的匀平面捏称为羽铅垂梯面。(3注)垂直愿于W面、循且倾爽斜于便另两痰投影戏面的衣平面站称为拐侧垂庸面。3种投阻影面拿垂直上面的套投影截及投碰影特晕性见误表3-绝3。由备此可坝得出捞投影很面垂融直面胳的投至影特菊性：率在所全垂直呜的投捎影面启上的限投影葵积聚间为一参条斜柜线，脑该斜羽线与谅相应摄投影慕轴的情夹角织反映打出该群平面粒与其详他两跟个投完影面架的倾睛角的彻真实传大小数；其蚀他两绳个投们影面跪互为垒类似追形线阳框。3.伤3空间梅平面新的投乒影分少析表3-晓3投影午面垂吨直面扒的三画面投因影及党其投摇影特锻性3.引3空间辞平面戏的投松影分恒析3.投影估面平浑行面平行贡于一痒个投扩影面访且必罪垂直源于另浅两个团投影缝面的平平面触称为挺投影贞面平挠行面乖。投影讲面平洽行面丧又可软分为3种：(1走)平行秀于H面的拳平面盟称为快水平煤面。(2汪)平行映于V面的蝇平面堆称为地正平渴面。(3涛)平行桶于W面的华平面死称为菠侧平服面。投影英面平之行面仔的投伸影及片投影邪特性绩见表3-踢4。由班此可沾得出淹投影坏面平慎行面欲的投逆影特醋性为桐：在故所平捏行的拉投影老面上魔的投敲影反样映实呆形，享其他冷两个千投影脉都积恐聚为抵直线凑且平描行于勺相应展的投员影轴栽。三疼个倾屋角分劣别为0°或90钢°。3.劝3空间虫平面拼的投娱影分描析表3-哲4投影曲面平影行面葛的三黄面投狮影及司其投欢影特宋性3.勤3空间散平面夺的投染影分壤析由此像，我敬们可浊以得涂出这离样的俭结论浙：从疼投影盆面垂夫直面繁的3个投俊影，脊可直催接获昆得该下平面码对投脊影面羡的倾烈角的能真实吩大小(其中果一个陷倾角腹为已满知，诵即90宗°)，但纤不能劳直接路得到泥其实冠形；沙而从齿投影脸面平告行面罩的投脚影，鹿则可棍直接列获得昆平面薪的实泛形(对投耗影面限的倾从角为碌已知)。对继于一绿般位踩置平删面，忽则要劫通过读图解萌方法蕉求解帆其实碍形和拢对投永影面诞倾角洞的真间实大塞小。3.浩3空间很平面买的投航影分脖析由初秩等几搬何可母知：①捷点在躁平面乔上，杀则该拘点必怨在此套平面台的一早条直鬼线上槽。②我直线杆在平你面上跨，则轿该直冠线必匪通过稍平面负上的夫两点粘、或餐通过此平面孙内的息一点贴且平幻玉行于贝平面症上的印另一曲直线盖。将上脆述两盐个条饺件应丸用于斑投影匙法，推即可侮解决梢在平洪面上队的取扣点、愉取直姥线的昆问题促。如图3.堪26所示士，点K、直冶线KT和KM均位旷于由蓄相交艘两直弹线AB、BC所确泽定的斩平面浙上。3.细3.半3平面体上的绣点和躁直线3.丙3空间疤平面裳的投顷影分杰析【例3.蹦6】(1腐)在△AB疤C平面挨上过侍点C作正药平线CD；(2赵)并在摄此面恒上取铸一点S，使嗽之在H面之能上15亚mm，在V面之陷前25夜mm，如宵图3.认27梯(a芹)所示喊。分析螺：(1甲)由正册平线CD的投零影特里性可看知：携其水累平投察影cd平行锡于OX轴，包正面呈投影辱倾斜维于X轴。碧利用伙这一巾投影紧特性岸，应包用平趣面上腊取直视线的灵几何嘉原理众即可担求解钳出所享求的摊正平敲线CD。(2案)在平车面上赶取定烘点S：平陡面上忧的投示影面们平行秩线是明一条连与所拉平行万的投棍影面是等距轿的直真线。刃据题框意，话所求俘点S应位膜于平拢面上幼距H面为15独mm的一鞋条水硬平线EF上，奔同时慢，它齐也应疼位于银距V面25淋mm的一址条正韵平线MN上，亚因此史，所蛾求点S应为旁平面调上这仙两条柜直线隐的交摸点。作图恐步骤：3.瞧3空间件平面咬的投嘉影分勺析(a)点k在平面abc上(点k过平面上一直线)(b)直线kf在平面abc上(直线过平面上两已知点)(c)直线km在平面abc上(直线过平面上一点且平行平面上另一直线)图3.仿26在平紫面上剩取点衰取线3.堤3空间滨平面盈的投晨影分穗析(1贵)作正眯平线CD：在辽水平逃投影回面上忠，过c作cd∥OX，交ab于d，由d找出d′，连孟接c′奇d′印,则CD(cd,c′融d′)为所绵求，蚁如图3.鸦27希(b踪蝶)所示钥。(2夺)确定S点：砖首先召作一首条平沙面△AB摇C内的姿水平酒线EF的正播面投闷影e′挡f′，使唐其与X轴相监距15辛mm，然沸后再撑作出话其水农平投滩影ef，以添及平悲面内振的正雀平线MN的水积平投辽影mn，使渡其与X轴相样距25梨mm，mn与ef的交称点即通为点S的水谎平投勿影s，由距此再跳定出S点的卵正面驳投影s′，即茅为所统求，横如图3.路27秀(c是)所示早。3.驾3空间讽平面扬的投辛影分垮析(a删)颈(贼b)砌(六c)图3.焦27在平张面上凭作投阴影面酷平行凯线和娱取定默点3.谅3空间唯平面碌的投微影分爷析3.检3.穴4直线脏与平直面、败平面娃与平烈面的快相对加位置直线填与平捡面、己平面绿与平王面之梨间的势相对接位置蛛有两放种情雾况，甚即平郊行和介相交屈。包薯括直找线与优平面闷、平岁面与牺平面抵的平逃行和喘相交高，相键交又健有垂渴直相损交和呼倾斜字相交洲两种看情况走。1.平行几何制条件剂：①寄如果免一直盆线平早行于饮平面芝上的傅一条终直线驼，则蚀直线裤与该伯平面嘴平行接，如什图3.有28所示豪。②袭如果枣一平欲面上辨的两郊相交察直线追平行墓于另肠一平故面上矿的两稻相交踩直线域，则枕该两门平面障平行咳，如只图3.艺29所示坟。据档此，额即可凯解决屯其投劲影作忘图及狸其相捆对位放置的篮判断爽等问无题。3.茂3空间莲平面表的投浆影分无析图3.益28直线渗与平庆面平标行湾图3.左29两平趋面平守行3.给3空间顷平面菠的投撇影分度析【例3.东7】试判归断直心线MN与平绿面△AB证C是否相平行傅，如哲图3.种30勺(a币)所示胞。分析识及作触图：行根据唱上述银几何稼条件闭，如崖果能捧在△AB驳C平面贿内作恳出一踩条平健行于MN的直汽线，抓则直写线MN就与晃平面黎△AB州C平行悄，否补则就拾不平浑行。膛为此刃，在谁平面里上先酱作一倒条辅令助线DB，使届其正父面投净影d′建b′∥m′电n′，再虎由d′b臭′找出DB的水拴平投心影db。因缴为水比平投订影db不平邪行于mn，不秃符合漫直线效与平旺面平舱行的巾几何崭条件沃，故霜知MN不平毕行于幻玉△AB郑C，如蛛图3.骆30材(b摔)所示吸。3.饭3空间薄平面洽的投片影分枕析(a驼)欣(炕b)图3.约30判断讽直线誉与平肿面是佳否平告行3.卡3空间廉平面煮的投除影分终析【例3.冰8】试过珍点S作一雪平面疯平行偏于已伪知平捷面△AB零C，如秤图3.旁31客(a斩)所示絮。分析海与求准解：汤根据铃其几叠何条殿件，桂应过石点S作一心对相打交直奋线，浅使其饭分别辱平行展于已竖知平躲面△AB饲C内的很任意邻两条锋直线太。为编此，疮过点S作一勇条直号线SL1∥AB，按层同法兴过点S再作SL2∥BC，则SL1与SL2所组底成的凯平面题即为国所求复平面冰