土木工程制图讲义换面法篇

王雷第四章换面法§4.1换面法一、换面法的概念★如何求一般位置直线的实长？★如何求一般位置平面的真实大小？解决方法：更换投影面。物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置，然后将物体向新投影面进行投射。VHABa

b

abV1a

1b

1二、新投影面的选择原则1．有利于解题

如：新投影面∥或

几何元素(应熟练掌握特殊位置几何元素的特性)2．新投影面须垂直某一原投影面

以构成一个相互垂直的两投影面的新体系VHABa

b

abV1a

1b

1VHAa

aaxX

⒈更换一次投影面

旧投影体系X—VH

新投影体系V1HX1—A点的两个投影：a，a

A点的两个投影：a，a1'

VHXV1HX1a

aa'1

axax1.三、点的投影变换规律新投影体系的建立V1H

X1V1a'1ax1

VHAa

aaxX

VHXV1HX1a

aa'1

axax1.投影规律①点的新投影和与保留投影的连线，必垂直于新投影轴。aa

1

X1②点的新投影到新投影轴的距离等于被代换投影到旧投影轴的距离。a

1ax1=a

axV1H

X1V1a'1ax1

XVHaa

ax

VHXV1HX1aa

X1H1V

a1axax1ax1●a'1

..作图步骤更换V面①

由点的不变投影向新投影轴作垂线，②

在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。更换H面⒉更换两次投影面先把V→V1，V1H，得到中间新投影体系:V1HX1—V1再把H→H1，H1

V1，得到新投影体系:X2—H1按次序更换AaVHa

axXX1V1a'1ax1

H1X2

ax2a1

新投影体系的建立Oax2a

aXVH

a1X1HV1X2V1H1a'1

axax1

..作图耀方法

作图塌规律a1a'1

挥X2轴a1ax2=阔aax1VHABa

b

ab四、榨换面驾法的饰四个抖基本厘作图愚问题1.把一粥般位炭置直洲线变迁换成柳投影扮面平捎行线用V1面代汗替V面，伙在V1/H投影扩体系不中，AB谅//焦V1。X1HV1V1a'1b'1空间棉分析梅：

换H面行吗？不行浮！作图喜：例：求直线AB的实长及与H面的夹角。a

b

abXVH新投科影轴叨的位谱置？b'1●与ab平行致。

.a'1●X1a'1●b'1●VHa

aXBb

bA2.把一糟般位姑置直窝线变僚换成峰投影旷面垂稳直线空间惯分析举：a

b

abXVHX1HV1V1H1X2作图利：X1V1a'1b'1X2H1二次漠换面第把投冶影面兴平行科线变凭成投黄影面丧垂直鞋线。X2轴的辆位置扰？a1b1

.与a'1b'1垂直一次进换面咬把直谦线变代成投弱影面赞平行亦线；

a1b1一般落位置峡直线方变换慰成投串影面晕垂直美线，煎需经伍几次惑变换醋？3.把一俯般位巾置平魄面变普换成阵投影凉面垂练直面空间萌分析稠：在平哭面内窜取一条赛投影挠面平抢行线，经伤一次连换面撕后变熄换成桐新投双影面膝的垂厉直线舌，则誓该平射面变犁成新伯投影耻面的悦垂直犬面。作图风方法祥：两平面垂直需满足什么条件？能否蜂只进夸行一集次变才换？若变共换H面，需敞在面企内取祖什么解位置绸直线装？正平刑线！如果抵把平豆面内辉的一讯条直悼线变还换成帖新投幅影面的垂硬直线将，那章么该潮平面惕则变门换成礼新投眼影面的垂经直面驶。VH

a

b

c

abcABCXdD

d

V1X1c1b1

a1

d1

a

c

b

abcXVH例：把三角润形AB没C变换成投圣影面扩垂直银面。HV1X1作恐图：1.在平疤面内岛取一塘条水京平线AD。d

d2.将AD变换砍成新上投影影面的垂直炉线。c'1●a'1d'1●b'1●反映卷平面爱对哪泥个投名影面粉的夹泰角？.αV1X1H1一次席换面,把一录般位稼置平群面变头换成青投影记面垂馆直面辱；二次陆换面冈，把徐投影泡面垂还直面抚变换保成投策影面齿平行毒面。空间蠢分析拉：一次变换能否实现？为什么？作图繁方法讯：经一桑次变扛换把△AB港C变换座成辅锅助投她影面薄的垂掩直面吓后，生再选取烤一个翼新投脊影面瓣，使教其既配垂直赛于辅助平面屋，又斯平行售于△AB盖C，这样俘，△AB肤C在新侮投影宵面体薪系中酬就成晋为辅河助投盲影面P2的平兽行面趣了。4.把一弯般位林置平兰面变值换成有投影认面平相行面a'1

b'1●X2V1H1aba

c

b

XVHc作委图：AB是水顿平线a1●c1●b1●c'1●X2轴的位渣置？平面冰的实房诚形.X1HV1.与其孙平行例：横把△AB岁C变换成投扶影面贝平行捉面。

b'1X1V1H五、赏换面两法的课应用作图:c'1a'1例1：试伏过点A作直线退与已主知直湖线BC垂直趁相交。Hcc

b

a

bXVHcc

b

abXVd'1dd

空间脸及投而影分以析：当直毁线BC平行点于某福投影肺面时葱，由嘱直角糖投影阵定理忍可知,与BC垂直斩的直倒线在途该投冻影面耀上的间投影火反映获其垂鸭直关棍系。1.将直溉线BC转换召成V1面的樱平行桂线;2.求出货点A在V1面的输投影a1′;3.过a1′作BC投影劫垂线弟，AD即为弦所求扑。

讨论筋：有否其它变换方法？将点A及直颗线BC看成国同一遭平面，将击平面AB拳C换成掀新投例影面津平行皱面，滥则在付该面循上作古出点A到BC距离议。例1：试组过点A作直线咏与已肝知直倍线BC垂直误相交。求点A到已知轨直线BC距离舍。b'1X1V1Hc'1a'1Hcb

a

bXVHcc

b

abXVd'1dd

Hcc

b

a

bXVHcc

b

abXV此方阻法可求解决粗同一弯平面势内的你定位枕、度牺量问算题，泊如平轮行两者直线贤距离棵、夹盲角，磁作角扔平分慢线等镰。空间展及投尿影分乘析只有AB与CD都平食行于烟投影闷面即AB与C点构逃成的殊平面甘平行尤于投纷影面肌时，秒其投溜影的不夹角爽才反界映真饮实大黄小（60劝°）因求此,需将AB与C点所谜确定骄的平腥面变骆换成过投影舞面平肥行面拆。例2:过C点作乌直线CD与AB相交炎成60扁º角。aba

c

b

XVHc●●60°ABDCabdc例2:过C点作村直线CD与AB相交背成60班º角。

d

X1HV1X2V1H1aba

c

b

XVHc作图魄：c1●●●c'1●a'1

b'1●a1●b1●几个币解？两个穿解！60°D点的王投影号如何老返回咐？..1.将面AB陷C变换派成V1面的虽垂面;2.将面AB垄C变换恐成H1面的敞平行初面;d'●如何麻选择X2轴？3.过c1作c1d1与a1b成60壳°角,得d1;4.将d1投影储返回找。d●d1dd1

d1●60°ABDCabdc空间碎及投舌影分粒析若平摘面P是投坚影面则垂直梅面，领则垂管线KL就是何该投脑影面仰的平最行线义，距幕离可听直接肾求出芹。a'VXHk'kpbacdb'c'd'V1Kk1'PLl1'例3：求点K到平害面P（΢AB和CD）的距糖离。例3：求点K到平哈面P（΢AB变CD）的距橡离。V1X1HVXHp'1k1'l1'll'k'k

作图淋：a'bacdb'c'd'1.将P面换辰成V1面的信垂直挡面P1′;

与X1轴平行2.作出K点在V1面上珠的投统影K1′;3.过K1′点向P1面作刘垂线KL即为警所求衰距离驴。4.作出轨垂线KL的投辟影。请注咐意L点的惰投影剑如何压返回额？pV1Kk1'PLl1'水平煌线c

d

b

a

dacbVHXθ例4：求平次面AB温C和AB线D的两投面角时。由几秘何定誉理知物：两箭面角脖为两冰平面骡同时蚕与第勿三平阀面垂躲直相价交时低所得晨两交除线之愈间的削夹角在。空间班及投爹影分凡析：在投黄影图魔中,两平茧面的盒交线挂垂直狗于投珍影面光时，稳则两便平面辈垂直止于该蜘投影笼面，到它们秀的投养影积技聚成昼直线镇，直虽线间耍的夹湿角为赵所求斧。H1V1X2HV1X1c

d

b

a

dacb●d'1●c'1●a'1●b'1θVHXθ作图察：..1.将交随线AB换成V1面的味平行仆线;2.将交王线AB换成H1面的廉垂直祸线;d1●3.角∠c1a1(b1)d1即为表所求懂。例4：求平禽面AB筹C和AB蒜D的两唇面角恐。●a1≡

b1c1●空间威及投搬影分跳析交叉残二直匹线间雷的距植离即洲是它馒们之音间公贞垂线瞧的实检长。周若两通交叉廉直线躁之一桐变换予成新鸡投影耐面垂僻直线隶时，才公垂讲线必蚕为该岂投影乡丰面的夸平行润线，垒反映启实长六，且要与另赔一直液线投裳影垂勿直，楚据此叛可确页定公欧垂线筐位置漫。例5:求交妨叉二码直线AB、CD之间诞的距奋离及盗公垂蹦线的支投影抬。aba

c

b

XVHdd

cAMBCDNa1m1b1c1（d1）（n1）H1

例5:求交返叉二忍直线AB、CD之间翅的距煤离及爆公垂希线的扩投影期。X1HV1aba

c

b

XVH作图尸：c'1n1c1

d1a1db1m1X2H1

V1d

ca'1b'1d'1m'1n'1mnm

n

1.将直餐线CD经过供两次驱换面题变成H1面的垫垂直择线，姓得n1;2.作另寄一直到线AB在H1面上那的投影a1b1;3.过n1作a1b1垂线m1n1，即俯为公垂炊线实磨长；4.逆变瓣换返持回，兔求出糠公垂柄线的投腰影；讨论挂：如何次求出续点到辩直线情的距谷离，如何膀求出浪两平扔行直志线间博距离跪？AMBCDNa1m1b1c1（d1）（n1）H1b

a

abcd例6：已知谷两交轰叉直棚线AB和CD的公蝇垂线雪的长留度为MN，且AB为水堡平线连，求CD及MN的投遵影。MN●m

●d

●nVHXHV1X1m1n1⊥c1d1●n

●m空间本及投感影分核析当直获线AB垂直拘于投叔影面匠时MN平行排于投堂影面巨，这古时它偶的投产影m1n1=M禁N,且m1n1⊥c1d1。作图尖：请注间意各焦点的趣投影棵如何会返回对？求m点是拼难点。.MN●c

V1ACDNMc1d1a1m1b1n1B●

●d1

●c1

●n1.

●a1≡b1≡m1

一、街换抹面法凉就是改变佣投影工面的逃位置，使烂它与廊所给躲物体或鹿其几纪何元驳素处杆于解题愿所需渠的特闸殊位侮置。二、丙换惰面法幅的关索键是蛾要注早意新投燥影面笨的选纵择条启件，即必旁须使新投挤影面位与某伴一原搂投影板面保脚持垂向直关除系，同时辜又有遮利于垮解题桑需要，这凑样才惨能使辱正投术影规律继润续有斥效。三、点的遗变换扶规律牺是换贯面法遇的作斤图基霉础，四个川基本睛问猜题是绿解题伏的基旁本作碧图方搭法必需屯熟练供掌握嗽。

小芝结

换面蹈法的哗四个继基