【解析】2023-2024学年初中数学八年级上册 19.4 线段的垂直平分线 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)

第第页【解析】2023-2024学年初中数学八年级上册19.4线段的垂直平分线同步分层训练基础卷(沪教版五四制)登录二一教育在线组卷平台助您教考全无忧

2023-2024学年初中数学八年级上册19.4线段的垂直平分线同步分层训练基础卷(沪教版五四制)

一、选择题

1．（2023八上·华蓥期末）已知：如图，在ΔABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE，分别交AB、AC于点D、E.若AD=3，BC=5，则ΔBEC的周长为（）

A．8B．10C．11D．13

2．（2023八上·平桂期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q，作直线PQ交AB于点D，连接AD，若△ABC的周长为15，AB＝6，则△ADC的周长为（）

A．6B．7C．8D．9

3．（2023七下·光明期末）如图，在中，分别以A，B为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点P和点O，作直线交于点E，交于点D，若，，则的周长为（）

A．9B．C．13D．18

4．（2023七下·晋中期末）如图，等腰中，是等边三角形，点P是的角平分线上一动点，连按，则的最小值为（）

A．16B．20C．24D．32

5．（2023七下·淄川期末）如图，在中，点F是边，的垂直平分线的交点，连接，，若，则等于（）

A．B．C．D．

6．（2023七下·防城期中）如图，在中，，，面积是10；的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为（）

A．7B．9C．10D．14

7．（2023七下·农安期中）在同一平面内，若与的两边分别垂直，且比的3倍少40°，则的度数为（）．

A．20°B．55°C．20°或125°D．20°或55°

8．（2023八上·南宁期末）如图，中，是高，，则长为（）

A．4B．5C．6D．7

二、填空题

9．（2023八上·平南期末）如图，在中，是的垂直平分线，3cm，的周长为12cm，则的周长是.

10．（2023八上·平南期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长是.

11．（2023七下·晋中期末）已知等腰，，若边上的垂直平分线与直线所夹的锐角为，则等腰底角的度数为．

12．（2023七下·锦江期末）如图，垂直平分，垂直平分．若，，则的周长为．

13．（2023八上·渭滨期末）如图，在中，AB＝AC，BC＝4，面积是10.AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则PBF周长的最小值为.

三、解答题

14．（2023七下·鄠邑期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，.求证：.

15．（2022八上·长春期末）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点E．已知的周长是24，的长是5．求的周长．

四、综合题

16．（2023七下·松江期末）如图，在中，，垂足为D，，垂足为E，，与相交于点F．

（1）请说明的理由．

（2）如果，说明的理由．

17．（2022八上·宝应期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，于，．

（1）求证：为线段的中点．

（2）若，求的度数．

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】线段垂直平分线的性质

【解析】【解答】解：∵DE垂直平分线段AB，

∴AD=BD，AE=BE，

∵AD=3，

∴AB=AC=2AD=6，

∵BC=5，

∴C△BEC=BC+BE+EC=BC+AE+EC=5+6=11；

故答案为：C.

【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等得AD=BD，AE=BE，则AB=AC=6，进而根据线段的和差、三角形周长的计算方法及等量代换可得C△BEC=BC+AC，据此就可以算出答案了.

2．【答案】D

【知识点】线段垂直平分线的性质

【解析】【解答】解：∵根据题意得出PQ是线段AB的垂直平分线，

∴AD＝BD，

∴AD+CD＝BC.

∵△ABC的周长为15，AB＝6，

∴△ADC的周长＝AC+BC＝△ABC的周长﹣AB＝15﹣6＝9.

故答案为：D.

【分析】根据题意得出PQ是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AD=BD，进而根据三角形周长的计算方法等量代换及线段的和差可求出答案.

3．【答案】C

【知识点】线段垂直平分线的性质

【解析】【解答】解：由作图可得DP为线段AB的垂直平分线，

∴AD=BD，

∴△BDC的周长为BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=5+8=13.

故答案为：C.

【分析】由作图可得DP为线段AB的垂直平分线，则AD=BD，进而可将△BDC的周长转化为AC+BC，据此计算.

4．【答案】B

【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质

【解析】【解答】解：连接BP，

∵点P是的角平分线上一点，AB=AC，

∴AP垂直平分BC，

∴BP=PC，

欲求的最小值，即是求出BP+PD的最小值，

∴当B、P、D三点共线时，BP+PD的值最小，即为BD的长，

∵△ABD是等边三角形，AB=20，

∴BD=AB=20，

∴BP+PD的值最小为20；

故答案为：B.

【分析】连接BP，易得AP垂直平分BC，可得BP=PC，欲求的最小值，即是求出BP+PD的最小值，可知当B、P、D三点共线时，BP+PD的值最小，即为BD的长，利用等边三角形的性质即可求解.

5．【答案】A

【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：连接AF并延长至点D，如图所示：

∵点F是边，的垂直平分线的交点，

∴BF=AF，CF=AF，

∴∠ACF=∠CAF，∠ABF=∠BAF，

∵∠BFD、∠CFD分别为△ABF、△ACF的外角，

∴∠BFD=∠DBA+∠DAB，∠DFC=∠ACF+∠DAC，

∴，

∴，

故答案为：A

【分析】连接AF并延长至点D，根据垂直平分线的性质结合等腰三角形的性质即可得到∠ACF=∠CAF，∠ABF=∠BAF，进而根据三角形外角的性质即可得到∠BFD=∠DBA+∠DAB，∠DFC=∠ACF+∠DAC，进而结合题意即可运用即可求解。

6．【答案】A

【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：连接，

，点为的中点，，

，，

，

的面积为10，

，

是的垂直平分线，

，

，

，

周长的最小值为7，

故答案为：A.

【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质求出AF、BF的长，在根据两点之间线段最短得到三角形周长的最小值.

7．【答案】C

【知识点】线段垂直平分线的性质

【解析】【解答】设∠B是x度，根据题意，得

①两个角相等时，如图1：

∠B＝∠A＝x，

x＝3x﹣40

解得，x＝20，

故∠A＝20°，

②两个角互补时，如图2：

x+3x﹣40＝180，

所以x＝55，

3×55°﹣40°＝125°

故∠A的度数为：20°或125°．

【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，可设∠B是x度，利用方程即可解决问题

8．【答案】B

【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：如图所示，在上取一点E使得，连接，则，

∵是的高，

∴是的垂直平分线，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

故答案为：B.

【分析】在上取一点E使得，连接，利用线段垂直平分线的性质可得AE=AB，利用等边对等角可得，由三角形外角的性质可得∠AEB=∠C+∠CAE，结合∠B=2∠C可得，利用等角对等边可得，即得.

9．【答案】18cm

【知识点】线段垂直平分线的性质

【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，

∴，

∵3cm，的周长为12cm，

∴cm，cm，

∴△ABC的周长是.

故答案为：18cm.

【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AD=CD，AE=CE，进而根据三角形周长的计算方法、等量代换及线段的和差可得AB+BC=12cm，据此就不难求出△ABC的周长了.

10．【答案】18cm

【知识点】线段垂直平分线的性质

【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，

∴AD＝CD，AE＝CE，

∵AE＝3cm，△ABD的周长为12cm，

∴AC＝2AE＝6cm，AB+B+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝12cm，

∴△ABC的周长是：AB+BC+AC＝12+6＝18（cm）.

故答案为：18cm.

【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得AD＝CD，AE＝CE，进而根据三角形周长的计算方法、等量代换及线段的和差即可得出答案.

11．【答案】65°或25°

【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：①当点F在AC上时，如图，则∠AFD=40°，

∵DF⊥AB，

∴∠ADF=90°，

∵∠AFD=40°，

∴∠A=90°-40°=50°，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C=（180°-∠A）=65°；

②当点F在CA的延长线上时，如图，则∠AFD=40°，

同理可得∠FAD=50°，

∴∠FAD=∠B+∠C=50°，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C==25°，

∴等腰底角的度数为65°或25°.

故答案为：65°或25°.

【分析】分两种情况：①当点F在AC上时，②当点F在CA的延长线上时，根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质及三角形内角和分别求解即可.

12．【答案】7

【知识点】线段垂直平分线的性质

【解析】【解答】解：∵垂直平分，垂直平分，

∴AB=AD，CD=BD，

∴的周长为AB+AD+BD=3+2+2=7，

故答案为：7

【分析】先根据垂直平分线的性质即可得到AB=AD，CD=BD，进而根据三角形的周长即可求解。

13．【答案】7

【知识点】垂线段最短；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：如图，连接AF，AP

，

，

，

，

垂直平分线段AB，

的周长，

，

的最小值为5，

的周长的最小值为7.

故答案为：7.

【分析】连接AF、AP，由等腰三角形的性质可得AF⊥BC，由三角形的面积公式可得AF的值，根据垂直平分线的性质可得PA=PB，则△PBF的周长可转化为PA+PF+2，故当点A、P、F共线时，PA+PF最小，为AF的值，据此求解.

14．【答案】解：连接AE，

∵EF垂直平分AB，∴

∵∴

∵D是EC的中点∴

【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质

【解析】【分析】连接AE，利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可证得AE=BE，可推出AE=AC，利用点D是EC的中点，可证得结论.

15．【答案】解：∵是的垂直平分线，

∴，，

∵，

∴，

∵的周长为24，

∴，

∵

∴的周长为14．

【知识点】线段垂直平分线的性质

【解析】【分析】根据垂直平分线的性质可得，，再的周长公式及等量代换可得。

16．【答案】（1）证明：∵，，

∴，

又，，

∴；

（2）解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

又，

∴垂直平分，

∴．

【知识点】垂线；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】（1）由余角的性质可得，根据AAS证明；

（2）由（1），可得AF=BC，结合AF=2BD，可得BD=CD，由AD⊥BC可得AD垂直平分BC，利用线段垂直平分线的性质即得结论.

17．【答案】（1）证明：连接AE，如图所示，

∵EF垂直平分AB，

，

，

，

△ACE是等腰三角形，

，

∴D是EC的中点，

（2）解：设；

，

，

，

，

，

在三角形ABC中，，

解得，

．

【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）连接AE，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=BE，结合已知可得AE=AC，进而根据等腰三角形的三线合一可得ED=CD，即点D为CE的中点；

（2）设∠B=x°，由等边对等角得∠BAE=∠B=x°，由三角形外角性质得∠AEC=∠B+∠BAE=2x°，再由等边对等角得∠C=∠AEC=2x°，在△ABC中，根据三角形的内角和定理建立方程，可求出x的值，从而得到答案.

二一教育在线组卷平台（）自动生成1/1登录二一教育在线组卷平台助您教考全无忧

2023-2024学年初中数学八年级上册19.4线段的垂直平分线同步分层训练基础卷(沪教版五四制)

一、选择题

1．（2023八上·华蓥期末）已知：如图，在ΔABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE，分别交AB、AC于点D、E.若AD=3，BC=5，则ΔBEC的周长为（）

A．8B．10C．11D．13

【答案】C

【知识点】线段垂直平分线的性质

【解析】【解答】解：∵DE垂直平分线段AB，

∴AD=BD，AE=BE，

∵AD=3，

∴AB=AC=2AD=6，

∵BC=5，

∴C△BEC=BC+BE+EC=BC+AE+EC=5+6=11；

故答案为：C.

【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等得AD=BD，AE=BE，则AB=AC=6，进而根据线段的和差、三角形周长的计算方法及等量代换可得C△BEC=BC+AC，据此就可以算出答案了.

2．（2023八上·平桂期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q，作直线PQ交AB于点D，连接AD，若△ABC的周长为15，AB＝6，则△ADC的周长为（）

A．6B．7C．8D．9

【答案】D

【知识点】线段垂直平分线的性质

【解析】【解答】解：∵根据题意得出PQ是线段AB的垂直平分线，

∴AD＝BD，

∴AD+CD＝BC.

∵△ABC的周长为15，AB＝6，

∴△ADC的周长＝AC+BC＝△ABC的周长﹣AB＝15﹣6＝9.

故答案为：D.

【分析】根据题意得出PQ是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AD=BD，进而根据三角形周长的计算方法等量代换及线段的和差可求出答案.

3．（2023七下·光明期末）如图，在中，分别以A，B为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点P和点O，作直线交于点E，交于点D，若，，则的周长为（）

A．9B．C．13D．18

【答案】C

【知识点】线段垂直平分线的性质

【解析】【解答】解：由作图可得DP为线段AB的垂直平分线，

∴AD=BD，

∴△BDC的周长为BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=5+8=13.

故答案为：C.

【分析】由作图可得DP为线段AB的垂直平分线，则AD=BD，进而可将△BDC的周长转化为AC+BC，据此计算.

4．（2023七下·晋中期末）如图，等腰中，是等边三角形，点P是的角平分线上一动点，连按，则的最小值为（）

A．16B．20C．24D．32

【答案】B

【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质

【解析】【解答】解：连接BP，

∵点P是的角平分线上一点，AB=AC，

∴AP垂直平分BC，

∴BP=PC，

欲求的最小值，即是求出BP+PD的最小值，

∴当B、P、D三点共线时，BP+PD的值最小，即为BD的长，

∵△ABD是等边三角形，AB=20，

∴BD=AB=20，

∴BP+PD的值最小为20；

故答案为：B.

【分析】连接BP，易得AP垂直平分BC，可得BP=PC，欲求的最小值，即是求出BP+PD的最小值，可知当B、P、D三点共线时，BP+PD的值最小，即为BD的长，利用等边三角形的性质即可求解.

5．（2023七下·淄川期末）如图，在中，点F是边，的垂直平分线的交点，连接，，若，则等于（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：连接AF并延长至点D，如图所示：

∵点F是边，的垂直平分线的交点，

∴BF=AF，CF=AF，

∴∠ACF=∠CAF，∠ABF=∠BAF，

∵∠BFD、∠CFD分别为△ABF、△ACF的外角，

∴∠BFD=∠DBA+∠DAB，∠DFC=∠ACF+∠DAC，

∴，

∴，

故答案为：A

【分析】连接AF并延长至点D，根据垂直平分线的性质结合等腰三角形的性质即可得到∠ACF=∠CAF，∠ABF=∠BAF，进而根据三角形外角的性质即可得到∠BFD=∠DBA+∠DAB，∠DFC=∠ACF+∠DAC，进而结合题意即可运用即可求解。

6．（2023七下·防城期中）如图，在中，，，面积是10；的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为（）

A．7B．9C．10D．14

【答案】A

【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：连接，

，点为的中点，，

，，

，

的面积为10，

，

是的垂直平分线，

，

，

，

周长的最小值为7，

故答案为：A.

【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质求出AF、BF的长，在根据两点之间线段最短得到三角形周长的最小值.

7．（2023七下·农安期中）在同一平面内，若与的两边分别垂直，且比的3倍少40°，则的度数为（）．

A．20°B．55°C．20°或125°D．20°或55°

【答案】C

【知识点】线段垂直平分线的性质

【解析】【解答】设∠B是x度，根据题意，得

①两个角相等时，如图1：

∠B＝∠A＝x，

x＝3x﹣40

解得，x＝20，

故∠A＝20°，

②两个角互补时，如图2：

x+3x﹣40＝180，

所以x＝55，

3×55°﹣40°＝125°

故∠A的度数为：20°或125°．

【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，可设∠B是x度，利用方程即可解决问题

8．（2023八上·南宁期末）如图，中，是高，，则长为（）

A．4B．5C．6D．7

【答案】B

【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：如图所示，在上取一点E使得，连接，则，

∵是的高，

∴是的垂直平分线，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

故答案为：B.

【分析】在上取一点E使得，连接，利用线段垂直平分线的性质可得AE=AB，利用等边对等角可得，由三角形外角的性质可得∠AEB=∠C+∠CAE，结合∠B=2∠C可得，利用等角对等边可得，即得.

二、填空题

9．（2023八上·平南期末）如图，在中，是的垂直平分线，3cm，的周长为12cm，则的周长是.

【答案】18cm

【知识点】线段垂直平分线的性质

【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，

∴，

∵3cm，的周长为12cm，

∴cm，cm，

∴△ABC的周长是.

故答案为：18cm.

【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AD=CD，AE=CE，进而根据三角形周长的计算方法、等量代换及线段的和差可得AB+BC=12cm，据此就不难求出△ABC的周长了.

10．（2023八上·平南期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长是.

【答案】18cm

【知识点】线段垂直平分线的性质

【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，

∴AD＝CD，AE＝CE，

∵AE＝3cm，△ABD的周长为12cm，

∴AC＝2AE＝6cm，AB+B+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝12cm，

∴△ABC的周长是：AB+BC+AC＝12+6＝18（cm）.

故答案为：18cm.

【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得AD＝CD，AE＝CE，进而根据三角形周长的计算方法、等量代换及线段的和差即可得出答案.

11．（2023七下·晋中期末）已知等腰，，若边上的垂直平分线与直线所夹的锐角为，则等腰底角的度数为．

【答案】65°或25°

【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：①当点F在AC上时，如图，则∠AFD=40°，

∵DF⊥AB，

∴∠ADF=90°，

∵∠AFD=40°，

∴∠A=90°-40°=50°，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C=（180°-∠A）=65°；

②当点F在CA的延长线上时，如图，则∠AFD=40°，

同理可得∠FAD=50°，

∴∠FAD=∠B+∠C=50°，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C==25°，

∴等腰底角的度数为65°或25°.

故答案为：65°或25°.

【分析】分两种情况：①当点F在AC上时，②当点F在CA的延长线上时，根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质及三角形内角和分别求解即可.

12．（2023七下·锦江期末）如图，垂直平分，垂直平分．若，，则的周长为．

【答案】7

【知识点】线段垂直平分线的性质

【解析】【解答】解：∵垂直平分，垂直平分，

∴AB=AD，CD=BD，

∴的周长为AB+AD+BD=3+2+2=7，

故答案为：7

【分析】先根据垂直平分线的性质即可得到AB=AD，CD=BD，进而根据三角形的周长即可求解。

13．（2023八上·渭滨期末）如图，在中，AB＝AC，BC＝4，面积是10.AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则PBF周长的最小值为.

【答案】7

【知识点】垂线段最短；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：如图，连接AF，AP

，

，

，

，

垂直平分线段AB，

的周长，

，

的最小值为5，

的周长的最小值为7.

故答案为：7.

【分析】连接AF、AP，由等腰三角形的性质可得AF⊥BC，由三角形的面积公式可得AF的值，根据垂直平分线的性质可得PA=PB，则△PBF的周长可转化为PA+PF+2，故当点A、P、F共线时，PA+PF最小，为AF的值，据此求解.