弹塑性力学问题的微分提法与基本解法

第四章弹塑性力学问题的微分

提法与基本解法

福州大学结构工程研究所

卓卫东博士2023/8/181002第四章弹塑性力学问题的微分提法与基本解法

引言基本方程弹塑性力学问题的微分提法弹性力学问题的基本解法解的唯一性定理

圣维南原理叠加原理2023/8/182第四章弹塑性力学问题的微分提法与基本解法引言（Introduction）弹塑性力学理论的主要任务是研究可变形固体在外部因素（例如外力、温度变化等）作用下的应力和变形分布规律。求解弹塑性力学问题的目的，也在于求出固体内各点的应力和位移，即固体内的应力场和位移场。

2023/8/183第四章弹塑性力学问题的微分提法与基本解法引言（Introduction）在前面三章里，我们已经建立了一个弹塑性力学问题所满足的全部基本方程，它们包括：平衡（运动）微分方程几何方程和应变协调方程本构方程几何关系平衡关系物理关系（本构关系）线弹性本构方程塑性本构方程增量形式全量形式2023/8/184第四章弹塑性力学问题的微分提法与基本解法引言（Introduction）——本章学习要点弹塑性力学问题的微分提法弹塑性力学问题的两种基本解法：

位移解法

应力解法弹塑性力学问题的几个基本原理：

解的唯一性原理

圣维南原理

线弹性问题的叠加原理2023/8/185第四章弹塑性力学问题的微分提法与基本解法基本方程——平衡（运动）微分方程（Navier方程）

或简写形式：2023/8/186第四章弹塑性力学问题的微分提法与基本解法基本方程——几何方程之Cauchy方程

或简写形式：2023/8/187第四洲章略弹塑哀性力较学问落题的怕微分午提法狸与基泡本解挂法基本兵方程——几何贩方程壳之Sa团in域tVe坑na徒nt方程20毅23吹/7忆/68第四踩章树弹塑棋性力韵学问嫂题的痕微分轿提法岗与基抬本解仆法基本污方程——本构块方程哨之广屯义Ho抖ok稳e定理婆（各决向同光性弹心性体繁）或简委写形庆式：20要23嘴/7他/69第四李章扒弹塑荷性力食学问鬼题的鸟微分禽提法驰与基脆本解绸法基本积方程——本构嚷方程骗之广旋义Ho序ok仁e定理况（各货向同卫性弹驾性体碧）或简沈写形唐式：20温23纷/7廊/610第四纤章叹弹塑追性力杂学问盐题的梨微分受提法协与基用本解硬法基本细方程——本构型方程债之Pr胁an气dt化l-确Re容us摊s流动隔法则或简袜写形崖式：20拦23蚕/7列/611第四洞章贼弹塑黎性力倍学问辨题的凶微分鸭提法冷与基甜本解龟法基本嘴方程——本构市方程慈之Le贤vy谱-Mi摔se孝s流动乳法则或简完写形择式：20韵23千/7堆/612第四师章山弹塑动性力叉学问康题的寇微分慰提法啦与基午本解漆法基本锻方程——本构抵方程笛之依止留申咏本构渠方程或简北写形遗式：20蝴23具/7载/613第四宇章雨弹塑杯性力养学问镇题的军微分骂提法施与基态本解短法基本难方程——小动结概括孕起来吐，对矩一个推具体匆的弹裕塑性瓦力学谁问题讯，当认固体但内的夺所有石质点怒都处上于弹完性阶乞段时呀，它冻需要诞满足海的基万本方划程一草共有15个：3个平败衡微管分方您程，6个几浪何方歪程和6个本匀构方鸟程。扭在这15个方界程中抽，正陪好包年含15个未他知函区数：6个应透力分解量，6个应章变分带量和3个位先移分不量。因胖此，大从数顺学上黑看，逆在给乘定问猛题的嗽边界连条件勿时，凡这些井未知键函数家是可扩以求讯解的贤。20腔23究/7皇/614第四渔章名弹塑冲性力筋学问兼题的讲微分茶提法植与基每本解党法基本阳方程——小门结当固抵体内惹的部欠分或败全部劝质点府处于屿塑性予阶段宗时，婆问题达就相辣对复俱杂多曾了。对固尺体内篇的弹性昆区，它坑需要兰满足胜的基张本方耳程及倾求解塞方法浓都与剑上述邪一样吴。对塑性岭区，由胞于材金料的针变形硬规律盗与加据载历炒史有炒关，率所以混，本间构方君程一陕般都库应采表用增嚼量的叠形式趴，这宁样就斤增加苏了一胡个未视知的冷比例卫系数刃，不筒过与晓此同贿时也另增加舟了一属个屈服盾条件，因胞此，画问题磁仍然波是可轿以求助解的险；在围整个获固体红都是腥处于亚比例努加载低的情登况下旦，本浴构方据程则呈可以宋采用旦全量牢的形俭式，裳此时塘，它春需要乘满足袄的基房诚本方元程和酱求解僵方法显就与揉弹性误区的徒情形火相类罗似，场但由胶于本吧构方孩程是非线茂性的，盘所以哀在求节解时借会遇潮到数丢学上蹈的困始难。20富23瓦/7肺/615第四扑章驼弹塑看性力贺学问冷题的朴微分指提法先与基岛本解溪法基本包方程——边界垦条件或简乖写形喘式：静力蚁边界滋条件诱：位移思边界名条件康：或简钩写形主式：20折23应/7奖/616弹塑沫性力秀学问菊题的眼微分附提法——三类六偏微挎分边面值问灿题工程丽实践炎中，机一个仔实际握的弹多塑性膝力学厘问题覆是如侵何提节出的婆呢？粱这里严给出德一个雅具体泻的表南述：设在秆固体斜内给亿定体她力Xi，在波应力魄边界柄上给折定面邀力Xi，在惩位移奴边界挑上给满定位钳移ui，要餐求确旷定固址体内能各点范的应熄力、洽应变终和位膝移。乓按照新上一尝节的小讨论编，这猜些未躬知量移满足狼一组倚偏微绸分方这程和蛋边界寒条件仆。因斜此，声从数索学的支观点码来看仗，一骄个实征际的液弹塑胆性力饿学问译题总暑是可昏以归织结为家一个盗偏微根分方西程组唱的边历值问驼题。单这就水是所唐谓的微分违提法。根据诸具体体问题静边界它条件跌的不恰同，巡寿可以像有以路下三类嫁边值问题狡。第四杏章陡弹塑怨性力讨学问声题的拒微分乱提法浸与基且本解秆法20森23考/7梨/617弹塑窑性力灶学问寺题的蛇微分货提法——第一转类边诱值问端题给定兽作用朵在固旷体内抄的体府力Xi以及酬表面岁处的景面力Xi，求馋固体鸣在平亦衡状她态下脆的应肢力场伙和位踪蝶移场神。此庙时，残边界略条件洪全部烂取为稠如下潜的形况式：第四卵章树弹塑乘性力哥学问受题的蔽微分在提法导与基遗本解列法20稠23饿/7焰/618弹塑其性力质学问棋题的凯微分近提法——第二糟类边床值问柔题给定连作用莲在固见体内胖的体秆力Xi以及添表面潜处的跨位移ui，求戏固体栋在平揭衡状棒态下响的应竹力场拒和位买移场返。此屑时，句边界亚条件熄全部舱取为昆如下系的形封式：第四艳章都弹塑卫性力贷学问谣题的径微分积提法链与基械本解色法20盛23淹/7赔/619弹塑欠性力莲学问响题的馆微分疏提法——第三寺类边从值问凭题给定委作用循在固刮体内靠的体液力Xi，同牢时在辞固体功部分垮边界每上给罩定面睡力，汪在其那余边宋界上扇给定惕位移另，求爹固体所在平顿衡状透态下稳的应猎力场便和位房诚移场，求物固体协在平赵衡状开态下势的应啦力场顿和位衰移场允。此抓时，浑边界均条件盒取为贡如下匙的形拍式：第四诞章题弹塑妹性力差学问委题的典微分油提法柿与基罪本解艳法以及给定面力边界给定位移边界20淋23酸/7理/620第四纹章侧弹塑纯性力壶学问档题的忧微分跟提法雪与基巴本解胳法弹性论力学本问题匙的基臭本解驴法——基本际思想从几尤何方刚程和肺本构碑方程绘中可轧以发呈现，6个应赤力分更量、6个应眼变分钩量和3个位午移分爷量之愧间不是榨彼此高无关的。疲比如碑说，滴只要划知道梯了位默移分饶量，买通过Ca彼uc卸hy方程谈，就群可得肾到应兔变分董量，爷再通克过本辅构方洞程，隙就可摊确定巷应力格分量裁；反叫之，针如果笼知道座了应确力分群量，旦则可铸通过喜本构愈方程茅求得佣应变彼分量词，不撤过这急时求低得的忧应变升分量宣必须勇满足臣一组烧补充稀方程坑，即抽应变梨协调贸方程寒，以络保证森固体去在变赏形后移的连结续性精，然战后再旦通过帮对Ca锻uc昆hy方程笨的积脏分求爱位移养分量箭。可宜见，屿在求笨解一赛个弹波性力锁学问早题时辰，并腾不需氧要同时求出所有逮的未知末函数重。20硬23诊/7谁/621第四弱章加弹塑昆性力围学问渔题的析微分求提法蜂与基咳本解普法弹性包力学层问题港的基谱本解戴法——基本换思想基于浊上述权考虑度，我手们在轮求解朽一个侮弹性馋力学循问题路时，党就可敌以采热取两倦种不胜同的刑策略华：◆一种值是以位移作为基本钞未知孔函数求解营，在裤求出鉴位移都后，尚再求箱得其茶它的白未知命函数笑，这分种解勉法称轧为位移购法。◆另一圾种是环以应力作为基本梨未知食函数求解挣，在跟求出汗应力铃后，杯再求渴得其厚它的乔未知哪函数霉，这锣种解颂法称烟为应力患法。20怜23迈/7胳/622第四羽章痰弹塑解性力关学问从题的始微分乱提法欢与基训本解尖法弹性腔力学挑问题毫的基拘本解就法——位移拘法的蜓定解余方程位移恒法即采沃用三抹个位锈移分锈量u,耐v,晶w作为感基本谣未知展函数肥，为夕此，脱必须命将基温本方筑程改敏用位煎移分倚量来么表示户。具判体地允说，愉就是但要从姿平衡遗微分那方程秀、Ca军uc极hy方程凤和本授构方螺程中消去应力喜分量颠和应港变分庭量，夸以得昌到仅愚包含霸基本晋未知翼函数冒位移浸分量鞋的方抗程。董以下愤即为鸣位移浑法求由解时其需要厘满足岔的基捞本方青程（La榨mé方程）：20刮23隆/7嗓/623第四步章券弹塑灰性力怪学问俗题的割微分膊提法革与基终本解话法弹性胞力学征问题家的基布本解耗法——位移怕法定贡解方毁程的谨导出⑴将Ca捷uc纵hy方程牲代入谎本构运方程线，得⑵将上选式代泽入平绕衡微脑分方昼程，叮可得若注司意到则有20稿23处/7话/624第四漂章冒弹塑菊性力麻学问朴题的弓微分躲提法刚与基扯本解山法弹性碍力学江问题吊的基巷本解种法——位移遍法应抱用◆一个拜特例垦：无体力穴作用冬的情丹形【解】采用企位移妇法求距解，详过程惨如下渗：①列出基本方程②将上触列方蚂程对x求偏匠导数③合并同类项推得20岭23觉/7专/625第四渔章立弹塑极性力克学问朝题的夕微分作提法虑与基殖本解距法弹性直力学钱问题奇的基棍本解蚀法——位移弟法应犯用（窃续）④调和盟运算进一钻步可绵推得20着23顷/7纹/626第四床章把弹塑气性力饲学问辆题的嚼微分竖提法拜与基俊本解奔法弹性讯力学挖问题湖的基眨本解废法——应力俘法的件定解独方程应力溪法即匠采用文六个杠应力啄分量使作为葡基本凭未知芳函数作，以否应力膀作为庭基本贤未知灿函数僵时，撤需要竭满足话的基恋本方记程为平衡梢微分临方程刊、应挖变协稿调方矿程和您本构搁方程。为浸此，鞠必须哀将基王本方而程改侧用应换力分尽量来丸表示乎。具时体地寺说，秋就是质要从午应变伪协调娃方程踏和本饼构方惑程中消去应变娱分量乳，以感得到准仅包竞含基刷本未溉知函馒数应洞力分校量的脆方程雅。以驾下即毯为应窃力法娱的定睡解方芳程：①平衡微分方程②巷B-染M方程20灿23迫/7器/627第四笑章茫弹塑膨性力意学问旅题的首微分指提法派与基必本解待法弹性朋力学来问题妨的基砍本解顿法——应力依法的申定解仍方程(续）②B-M方程20啦23液/7榴/628第四糠章突弹塑估性力纷学问互题的计微分倚提法循与基胀本解素法解的击唯一咳性定额理前已路提及豪，一乏个实炭际的择弹塑躁性力笔学问宅题数表学上刻总是港归结萄为一床个偏励微分叨方程拘组的只边值销问题磨。因蚀此，候求解懒一个游弹塑话性力粱学问番题，柏实际恼上就草是在呈严格佩的边乒界条玻件下戚求解律一个幅复杂飞的偏霸微分部方程瓣组。效在一翠般情侍况下恒，我血们很哑难直纲接得打到数承学上车的解粱析解预或精码确解鱼。这栏自然廉就产犯生一脆个疑荷问：解是场否存逝在和慕是否诸唯一？回答纳是肯蚊定的，即匪弹塑锋性力传学问钩题的善解是存在的，践而且诸在小滤变形府条件跨下，坊对于累受一晋组平弹衡力紧系作因用的进固体备，其塌内部河各点鼠的应罗力分救量和般应变披分量曲是唯一的；森如果尚在固庸体表政面全款部给选定位示移边腐界条嚼件，册或者纽奉在部该分表陡面给膏定位蛾移边嗓界条挥件而盾另外凝部分哨表面四给定子静力粪边界怜条件岁的情骨况下蔬，则恩位移朽分量鞭也是屯唯一浓的。20驼23警/7咐/629第四蔑章夫弹塑撑性力尊学问妨题的银微分许提法肾与基播本解贩法解的恨唯一遇性定饥理关于钓解的场存在清定理如的数绳学证烂明过我程冗锁长，抛这里消不拟死介绍抛，但次我们侮可以妄从物理迷现象上来错理解梯：可供以想卸象，芹固体忍在载产荷作郑用和中适当丘的约宇束下腰，总猛会有迫一种团相应担的变串形状六态，航因而嚷，从静这个刺角度乱来看启，解储总是饿存在学的。浮在应赵用解腾的存档在定误理时扩，关挽键是议要正闷确地订给出砍物理罚问题紧的数旧学描顺述。20雀23铺/7尸/630第四遮章悦弹塑虚性力元学问沃题的糟微分通提法抵与基季本解照法解的局唯一亩性定狐理——理论帖意义弹塑费性力勇学问喝题解节的唯晓一性沫定理场的重抢要意博义在价于，剃它为逆解胳法、半逆属解法以及刃各种近似虚解法和数值颠解法提供粥了一姑个理剪论依扬据。所谓强逆解乡丰法，份就是请我们猾预先术选取兽一组凑位移莲或应砖力函衬数，量由此城确定糕其它躲的未资知函相数，撕然后咱验证镇是否溪满足足基本籍方程穗和边盛界条岁件，涛如果殃满足关，则他根据透解的抱唯一苹性定延理，陪该组萄位移碍或应跳力函夫数以易及由霸其确饰定的甘其它破未知量函数超的解联，就曲是问毕题的仍正确辞答案细。所企谓半丢逆解疮法，晌就是夫在所负有的僵未知桑量中询，根况据问屋题的钩特点强或已令有研轻究成弃果，劲预先阴假设搂一部莫分未蜘知量耳为已稻知，独然后交利用油基本设方程疑和边例界条食件，披确定尖其余进的未州知量伟，这亦样就离得到灭了全展部未械知量誓的解奋答。20屯23究/7然/631第四侄章替弹塑硬性力泳学问闭题的致微分隙提法矛与基杏本解捆法圣维和南原垒理——局部败影响珍原理再（18曲55年提缴出）由作透用在降固体竖局部父表面煮上的政自平兴衡力禁系（榨即合吴力与表合力泳矩都优为零寒的力哗系）铸所引僻起的树应变毛，在古远离鸟作用丈区（非距离睁远大毙于该筛局部蔬作用臂区的魄线性做尺寸恒）的挨地方重可以载忽略亩不计眉。这学就是圣维盼南原疤理，又瓜称为局部晃影响碧原理。这个傲原理岗的许钟多生援动的恋实例贷，都慈可以枯从我剪们日屯常的球生活伴中发恳现，奇譬如抹用钳食子剪特断一位根铁税丝，豪建筑狭工地梅上用醋钢筋螺钳截何断钢刺筋等雷等。20哈23吧/7释/632第四叼章狗弹塑闲性力株学问祖题的卧微分尼提法盛与基谦本解便法圣维易南原瓦理——静力拣等效闷原理圣维职南原以理的撕另一站种实愤用提谦法是贱：若拜把作面用在烈固体贤局部森表面杏上的登力系舰，用丈另一馆组与槐之静阶力等云效的削力系肺来代演替，床则这珍种等套效替老换只异对离牙该局群部作老用区泻很近淋的地傅方产舰生影欧响，布对远话离该狱局部幻玉作用喘区处汇的影填响则著可忽川略不授计。桑这称启为静力身等效世原理。20络23巡寿/7优/633第四电章退弹塑昂性力与学问谜题的膏微分赴提法无与基解本解别法圣维经南原秧理——应用我们汽已经牵知道驱，一倡个实么际的阀弹塑锋性力泊学问利题在附数学址上总咸是可病以归回结为塘一个载偏微今分方锄程组垂的边画值问狸题。秘因而金，弹吵塑性狼理论院要求在固允体表螺面的栏每个扒边界踏点上验都给发定边绵界条云件。但形实际芦工程图问题继却往兼往只惊知道精在固想体边板界总的荷载适值，压而其踏具体弹分布沃形式悉并不针明确溉；另套一方露面，鸦在求么解时生使未倚知的吓应力彼分量酬、应泻变分灰量和恐位移叫分量感函数终完全管满足牛基本垃方程凭，并卧不困箩难，防但要哥使这惧些函降数同跨时满例足逐点筑给定的精借确边小界条意件，谨却往辫往发能生很滤大的