弹性力学课件一三

第四章平面问题的极坐标解答4—1DifferentialEquationsofEquilibriuminPolarCoordinates4—2GeometricalEquationsandPhysicalEquationsinPolarCoordinates4—3StressFunctionandCompatibilityEquationsinPolarCoordinates4—9Effectofcircularholesonstressdistribution4.SolutionofPlaneProblemsinPolarCoordinates4—4CoordinatesTransformationofStressComponents4—5AxisymmetricalStressesandCoorespondingDisplacements

4—6HollowCylinderSubjectedtoUniformPressures4—11ConcentratedNormalLoadonaStraightBoundary4—1极坐标中的平衡微分方程求解平面问题时，对于圆形、楔形、扁形等物体，用极坐标求解比用直角坐标方便得多，平面内任一点的位置，用径向坐标r及环向坐标

来表示如何建立极坐标中的平衡微分方程？从物体（薄板或长柱体）中取出一微单元PABC，如图所示，其厚度为1

drPABCxyoKrK

应力的正负号规定与直角坐标中一致建立平衡方程：整理简化后得：（2）建立平衡方程：整理简化后得：（2）极坐标下平面问题的平衡微分方程：基本宰未知惊应力朗分量庆：

r、

、r=债

r4—弄2意极坐华标中侵的几定何方扮程和锣物理货方程一、倡几何赠方程在极宴坐标闹中，

r代表韵径向匪应变量，

代表蔑环向玩应变章，r代表匀剪应惠变，ur代表梢径向进位移丛，u

代表正环向降位移要确虏定几万何方踏程，柱过P点取眉图示扬隔离馋体PA照B，如图外所示其总俩变形浇可由禽两种较变形方相叠订加：（1罩）假镰定只折有径书向位植移，霞无环施向位怎移PABxyo

drP`B`A`径向扮正应仇变：环向肠正应世变：PABxyo

dP’B’A’rPA的转角：PB的转角：xAPByo

dr（2）假定只有环向位移，无径向位移A”P”B”剪应变：径向正应变：环向正应变：PA的转角：PB的转角：剪应变：当径榴向和术环向税都有刃位移钢时，溜总应咐变为隶：这就貌是极倾坐标冶中的跑几何锋方程二、蹄物理专方程由于开极坐萝标和怠直角灿坐标归都是倦正交弹坐标铺，所虾以极皇坐标桑中物碑理方箭程与使直角忍坐标蛾中的惠物理酸方程高具有着相同泻的形牌式：附（平似面应俩力情避况）平面感应变绕情况涛下的滥物理挡方程勤：4—序3村极坐踏标中拳的应叼力函迎数和烤相容瞎方程可利用坐标变换，将直角坐标下的相容方程变换成极坐标下的相容方程极坐标与直角坐标的关系：xyo（x，y）xyr

由此得：是x、拔y的函秃数，典也是r、斑

的函俘数，毁所以重复皱上述蒙运算种：同理劫：将上策式相序加得别：直角互坐标催下的持相容兔方程趣为：所以孩，极勺直角络坐标掀下的妥相容愁方程纲为：是光极坐习标下饺的应岂力函启数，宣是r、病

的函油数根据应力函数求应力分量：xyo（x，y）xyr

将x轴转泪到与r重合魄，可清得极坐视标下趁得应射力分左量（佣忽略渣体力慢）：归纳蔬：求解极坐标下得平面问题时，只须要由相容方程求解应力函数，然后按公式：求应力分量即