弹性力学课件六

第三章平面问题的直角坐标解答3—1逆解法与半逆解法3—2矩形梁的纯弯曲3—3位移分量的求出3—4简支梁受均布荷载3—5楔形体受重力和液体压力SolutionofPlaneProblemsinRectangularCoordinatesInverseMethodandSemi-InverseMethodPureBendingofaRectangularBeamDeterminationofDisplacmentsBendingofaSimpleBeamUnderUniformLoadsTriangularGravityWall3—1逆解法与半逆解法多项式解答按应力求解平面问题时，如果体力是常量，则归结为由求解应力函数，再求应力分量。关键是求应力函数（x，y）解的方法:逆解法、半逆解法一、逆解法与半逆解法InverseMethodandSemi-InverseMethodSolutionbyPolynomialsInverseMethodandSemi-inverseMethod1、逆解法：先设定各种形式、满足相容方程的应力函数，然后求应力分量，再根据边界条件来考察这些应力分量对应什么样的面力，从而得知所设定的应力函数可以解决什么样的问题2、半逆解法：针对所要求解的问题，根据弹性体的边界条件，先设定一部分或全部应力分量函数，从而导出应力函数，再考察这个应力函数是否满足相容方程，应力分量是否满足边界条件，若满足，这个结果就是正确的，若不满足，还须另作假设，重新考察二、多项式解答（逆解法）1、一次式取（x，y）=a+bx+cy无论a、b、c取何值，均能满足相容方程应力分量：Inthissection,weshallusetheinversemethodtoobtainthesolutionofsomesimpleplaneproblemsbystressfunctionsintheformofpolynomials,assumingthattherearenobodyforcesacting,i.e.,X=Y=0Whenthestressfunctionistakenasapolynomialinlinearform,（x，y）=a+bx+cy,thecompatibilityequationissatisfiedforallvaluesoftheconstantsa,bandc.Thestresscomponentsare根据边界条件考察应力分量所对应的面力结论（1）线性应力函数对应无体力、无面力、无应力的情况（2）在平面问题的应力函数上加上一个线性函数，并不影响应力面力为零无论任何边界Thestressboundaryconditionsalwaysgiveregardlessoftheshapeofthebodyandthecoordinateaxeschosen.Thus,weconcludethatAlinearstressfunctioncorrespondstothecaseofnosurfaceforcesandnostressThesuperpositionofalinearfunctiontothestressfunctionforanyproblemdoesnotaffectthestresses.Whenthestressfunctionistakenasapolynomialoftheseconddegree,（x，y）=ax2+bxy+cy2Thecompatibilityequationisalsosatisfiedforallvaluesoftheconstantsa,bandc.Thestresscomponentsare：Inthecaseof

=ax22、二次式（polynomialoftheseconddegree）

根据边界条件考察应力分量所对应的面力xy板左右两侧无面力上下两侧面力为2aWhensuchstressesexistinarectangularplatewithitsedgesparalleltothecoordinateaxes左右两侧：Leftandright：上下两侧：Upsideandunderside考察岸：

=b飘xy栏（In叶t蓬he闲c烈as蜂e珍of=晒bx帝y）结论根据斯边界健条件罪考察躲应力翠分量厉所对润应的邀面力

=ax2能解决矩形板在y方向受均布拉力（a0）或者受均布压力的问题（a0）Thestressfunction=ax2cansolvetheproblemofuniformtension(a>0)oruniformcompression(a<0)ofarectangularplateinydirection.应力分量：thestresscomponentsareWh火en般s营uc膊h荣st废re皮ss未e泊xi努st携i急n迷a临re魄ct隆an浙gu傻la飞r时pl誓at莫e,猫t窝he并re欠w资il厚l蚀be向u隆ni碗fo伸rm蚊ly遥d拼is稼tr仓ib绢ut清ed处s妖he事ar新in佣g醒fo重rc填es南o货n腥al权l鹿th金e佩fo冒ur痰e缘瑞dg深es炉.xy左右两侧：板右侧受剪力-b作用；板左侧受剪力+b作用上下两侧：板下侧受剪力-b作用；板上侧受剪力+b作用Le梯ft摸a当nd钢r纳ig矩ht：Up态si睛de矛a仁nd腹u缴nd辩er多si举de：结论考察顺最后汁一项垦：

=c至y2

=bxy能解决矩形板受均布剪力的问题Hence,thestressfunction=bxycansolvetheproblemofarectangularplateinpureshear.

It霞i战s据ea狸sy据t锯o疫se艘e善th蕉e崭st菜re马ss跟f舒un涨ct染io界n=田cy2ca甩nso悉lv以e辽th架e炼pr干ob拐le觉m播of婆u卷ni俘fo骑rm释t晚en剂si政on恒(职c>服0)混a欲nd络u茫ni喘fo沾rm狗c僵om锻pr唇es彼si篮on塘(剧c<削0)席o阿f筐a混re锁ct舅an元gu蚂la药r菊pl桑at葱e币inxdi智re瓶ct技io呆n.应力分量：Thestresscomponentsare根据锤边界豪条件带考察盏应力众分量堆所对糊应的表面力xy左右两侧：上下两侧：板左右两侧面力为2c上下两侧无面力Le机ft漆a猫nd稻r搁ig科ht：Up舰si创de垒a嗽nd向u兴nd悬er匠si化de：（x，斧y）凉=a投x2+b宾xy倘+c层y2能解布决什振么问岗题？xy能解剖决矩晒形板物既受尚拉又概受剪起的情喊况Th池us简,她th捐e聋pr多ob线le乱m库wh呜ic择h羡th铸e彩st穗re下ss代f饮un茶ct伯io瓶n(江x,邮y)炕=a印x2+b湿xy想+c麻y2ca套n骂so勺lv私e矛is取（x，播y）律=a甲y3无论a取何值，均能满足相容方程3、摊三次魂式Wh疼en材t崖he殖s奇tr灰es渠s准fu效nc洪ti战on神i圾s猜ta饮ke房诚n桌as(x,辅y)班=a蕉y3,(1握)th剃e墨co干mp位at它ib收il辰it拆y比eq皆ua坛ti榴on亡i饥s糕al津so亲s线at丝式is赔fi床ed肚f竖or咏a债ll陪v咸al摆ue敏s介of坏t己he第c脂on召st赖an至ta.应力分量：Thestresscomponentsare(2材)xy根据佳边界鸭条件待考察缴应力唐分量旱所对旁应的俩面力左右两侧：板左盖右两煌侧受匀线性极分布惰的沿y方向扰的面轰力Fo絮r源a枣re殊ct佛an屯gu找la贞r掀pl者at录e,秩w咐it添h释co推or密di娇na翻te闷a个xe蜘s享sh足ow颜n秒in筋F碍ig议.,Le限ft禾a返nd灯r娃ig折ht塘s平id口e上下两侧：上下弊两侧榆无面额力矩形松板左类右两划边的史力合臣成为宴一个绣力偶消，所田以，

=a棋y3能解园决矩拒形板傻的纯取弯曲萌问题筒。xyUp柜si雹de半a捧nd跟u逝nd弦er恭si岁deHe渣nc暴e,饲t拘he苍s效tr闹es缝s雨fu惠nc烘ti税on(x,杜y)腥=a矿y3ca逗n阻so捞lv算e叮th勇e眨pr筋ob么le跳m哲of酷p裹ur详e很be河nd他in增g预of雅a营r黄ec覆ta泉ng激ul丸ar乐b伴ea弃m.Th难e男co恐ns溜ta搅ntaca兵n省be恋d病et理er肤mi次ne幻玉d狱by眨t渔he坚b薯en末di暗ng灶m困om司en竿t.xyh/2h/2MMh1Forconvenience,weconsideronlyaunitwidthofthebeam.LetthebendingmomentontheunitwidthbeM,whichhasadimensionof[force][length]/[length],orsimply[force].Su龙bs猪ti左tu叉ti爽on巨o帐f吴th械e竭ex菌pr士es汗si擦on膊f承or

xin泄E退qs茫.(雀2)随i吧nt稠o麻Eq渴s.书(3闹)患yi稀el蜘dsOneitheroftheverticaledges,thesurfaceforcesmusthavearesultantforceequaltozeroandaresultantmomentequaltoM.Thisrequires(3)Th碍e滋fi纹rs会t叉eq秒ua查ti兆on适i葡s家al最wa赞ys巾s膊at暂is螺fi圆ed婆w死hi致le秧t众he睁s盼ec拾on够d案eq递ua卧ti躺on芽r序eq梯ui伸re待s6a=1驰2M/h3.Since：ThemomentofinertiaofthebeamsectionThus,Eqs.(2)become：(4)Eqs.(4)mayberewrittenas(5兽)Eq惕s(句5)况c乒oi眯nc散id祥e滩co纷mp匙le堪te叛ly降w困it变h免th班e态el别em煌en忧ta暂ry亏s特ol甚ut苍io击n盛gi讽ve跨n黑in谊m撕ec诞ha仔ni齿cs搬o赵f托ma话te驾ri体al士s.No研te：th罚e蹲so风lu创ti承on日(披5)校i疮s花ex驾ac及t钟on清ly冬w冤he支n惑th芽e兔su恶rf过ac久e骨fo块rc呈es寄o腾n班th哪e脾en裂ds甩o呆f碰th钟e怀be稿am道c乒on泊si引st池o丽f丝式no勇rm熊al轨t狗ra悟ct控io再ns肝p漫ro速po明rt擦io耗na趣l关toy.If各t施he抵c奸ou原pl务es牢o烂n麻th续e批en仆ds蜘a撇re臣a帜pp蛾li发ed满i谊n健an都y碎ot巾he趟r恐ma健nn狂er劲,秀th穷is纷s拒ol咬ut功io州n晴is耕n爆o彻lo集ng亚er抹e扁xa糕ct潮,绞be罪ca剩us前e因it咱w标il勾l亿no眠t浴pr规ec别is己el界y王sa声ti思sf削y溪th痛e括bo谣un凳da捞ry规c刑on浆di魂ti俩on但s势on厅t膨he弓e粒nd咸s.Ac丸co距rd山in岗g抓to煤S篇ai乓nt晴-V策en匠an醋t’焰s境pr制in兽ci勿pl尖e,鞋h革ow抖ev刊er筒,仍it麦d对oe属s唉re盟pr元e