第二章生命函数与生命表理论-2

第二章生命函数与生命表理论第1页，共27页。寿命的生存函数随机变量X的生存函数假定寿命极限为w，满足：新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率第2页，共27页。例假设某人群的生存函数为求：概率意义为在x点附近极小区间失效的速率；满足属性：第3页，共27页。刚出生婴儿活过60岁的概率；刚出生婴儿在70~80岁间死亡的概率；活到40岁的人活不到70岁的概率；寿命的密度函数第二节

剩余寿命x岁的人（简记(x)），继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x).剩余寿命分布函数第4页，共27页。寿命变量和剩余寿命变量的区别在于前者是无条件概率，后者是条件概率；特别地.第5页，共27页。剩余寿命的生存函数特别地.第6页，共27页。例假设某人群的生存函数为第7页，共27页。求：（1）39岁的人至少还能再活45年的概率；（2）56岁的人能活过71岁但活不过84岁的概率.期望剩余寿命：剩余寿命的期望值(均值),简记剩余寿命的方差：剩余寿命的期望和方差例.已知第8页，共27页。计算：(x)未来存活的完整年数（整值余寿），简记第三节整值剩余寿命整值余寿的分布函数整值余寿的生存函数整值余寿的密度函数第9页，共27页。整值余寿的期望与方差整值剩余寿命的期望值中值余寿(m(x))是余寿T(x)的中值整值剩余寿命的方差均匀分布下第10页，共27页。瞬时死亡率，简记第四节死亡效力死亡效力曲线称为“浴盆曲线”死亡效力与生存函数关系：第11页，共27页。例设死亡力度死亡效力表示剩余寿命的密度函数例.如果40岁以前死亡效力恒定为0.04，40岁之后死亡效力提高到0.06，求25岁的人未来的期望存活时间。在未来25年内的期望存活时间第12页，共27页。第五节有关寿命分布的参数模型De

Moivre模型(1729)第13页，共27页。Gompertze模型(1825)Makeham模型(1860)第14页，共27页。Weibull模型(1939)第六节

生命表Halley生命表起源生命表的理论基础生命表的构造存活到x岁的期望个数；在x与x+t之间死亡的期望人数；特别：t=1时，记作第15页，共27页。在x与x+t之间死亡概率；特别：t=1时，记作在x与x+t之间存活概率；第16页，共27页。x岁的人在x与x+t岁之间生存的总年数；特别：t=1时，有中位死亡率：x岁的人平均每存活一年会发生的死亡数；x岁的人群剩余寿命总和；第17页，共27页。x岁人群的平均余寿；x岁人群的整值余寿；平均生存年数：指在年龄x~x+1岁之间死亡的人，在这一年中的平均生存时间。第18页，共27页。例已知1）该人群在95岁时的期望剩余寿命；2）该人群在95岁时的中位死亡率；第19页，共27页。选择生命表：一组被保险人的死亡率不仅随年龄而变动，而且随已投保年限长短变动.表示x岁加入保险、经过n年在x+n岁的死亡概率.把同一年龄上相邻已投保年数死亡率差异明显的时期称为选择效果明显期.编制的生命表称为选择生命表.若选择期为r年，投保期超过r年的同一年龄上的死亡概率相等.终极表：依据选择效果已经消失后的死亡率资料编制的生命表.第20页，共27页。第七节

选择-终极生命表选择和终极表：选择效果和终极表合在一起.第21页，共27页。表2-3例.假定两位老人今年都是65岁，甲老人是今年刚刚体检合格购买的保险，乙老人是10年前购买的保险，至今仍在保障范围内。使用表2-3的选择-终极生命表估计两位老人分别活到73岁的概率。第八节有关分数年龄的假设第22页，共27页。基本原理:插值法均匀分布假定(线性插值)常数死亡力假定(几何插值)Balducci假定(调和插值)均匀分布假定(线性插值)第23页，共27页。常数死亡力假定(几何插值)Balducci假定(调和插值)三种假定下的生命表函数函数均匀分布常数死亡力Ballducci第24页，共27页。例.已知第25页，共27页。分别在三种非整数年龄假定下，计算下面各值：（补充练习）某人头上仅剩3根头发，并且他不再长任何头发。每根头发(x)未来的死亡服从：头发(x)脱落在每年内服从Balducci假设；三根头发寿命独立。求此人在x+2.5岁成为光头的可能性。第26页，共27页。（补充作业）某先生今年25岁，死亡服从De

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