核辐射试验方法3

第三章核辐射测量的统计误差和数据处理核辐射测量方法3.1基本概念主要介绍以下几个方面的内容：3.1.1二项式分布3.1.2泊松分布3.1.3正态分布3.1.3合成分布核辐射测量方法3.1基本概念3.1.1二项式分布

设某试验C的试验结果只有s及两种可能，则称C为伯努利(Bernoulli)试验。设出现s的概率为P(s)=p；则出现的概率为，其中p∈(0,1)。在相同试验条件下，独立地将试验C重复n次，则称该n次重复的独立试验为n重伯努利试验。核辐射测量方法3.1基本概念3.1.1二项式分布

在该伯努利试验中，若事件s在x次试验中出现了，而在n-x次试验中没有发生，而发生事件，则x取值为正整数0,1,2,3,…,n，即x是一个离散型随机变量。由于各次试验条件都相同且相互独立，所以在n次试验中，事件s发生x次的概率可用二项式分布表示：核辐射测量方法3.1基本概念3.1.2泊松分布二项式分布含有两个相互独立的参数n和p，使用并不方便。但当概率p(或q)为一个很小值、且n为一个很大值时，可对上述各项进行如下简化：则有：核辐射测量方法3.1基本概念3.1.2泊松分布在观察次数n相当大，出现事件s的平均次数（为定值）相当小时，出现事件s的次数符合泊松分布。核辐射测量方法3.1基本概念3.1.3正态分布正态分布(normaldistribution)又称为高斯分布，它是连续型变量的理论分布。当n≥30，p不靠近0，且np≥5和nq≥5均时，二项式分布将趋近于参数和的正态分布核辐射测量方法3.1基本概念3.1.3正态分布正态分布为对称分布，当μ≥20时，泊松分布和正态分布就已经很接近了。核辐射测量方法3.1基本概念3.1.4合成分布

数理统计学已证明了具有泊松分布或正态分布的几个独立的随机变量之和仍服从泊松分布或正态分布。假设：x、x1、x2…为随机变量，E(x)、E(x1)、E(x2)…为期望值，D(x、D(x1)、D(x2)…为方差，c为常数，则有：1）常数倍的随机变量的数学期望和方差分别为：核辐射测量方法3.1基本概念3.1.4合成分布2）相互独立的随机变量之和或之积的数学期望是各随机变量的数学期望之和或之积，即：3）相互独立的随机变量之和的方差是各随机变量方差之和：4）数学期望和方差之间的关系为：核辐射测量方法3.2核衰变和核辐射测量的统计分布3.2.1核衰变数的统计分布

根据数理统计原理，放射性衰变这一随机事件必服从一定的统计分布，即N0个原子核中的任意一个，在t时间内只能按概率发生核衰变，或者按概率不发生核衰变，且。即在t时间内，它服从二项式分布，该核衰变出现原子核数目为x的概率可表示为核辐射测量方法3.2核衰变和核辐射测量的统计分布3.2.2脉冲计数的统计分布

假定在某时间间隔内放射源衰变产生的N个粒子全部入射到探测器，其探测效率为η(衰变中放出粒子所引起的计数与放出粒子数之比)，即每个入射粒子引起探测器计数的概率为η，未引起计数的概率为，这相当于伯努利试验。这N个入射粒子引起的计数为随机变量x，当N为一定值时，该事件发生的概率为：

核辐射测量方法3.2核衰变和核辐射测量的统计分布3.2.2脉冲计数的统计分布

由于进入探测器的粒子数N不是一个常数，而是一个随机变量。N服从泊松分布为：

被探测的粒子数x的条件概率服从二项式分布：

核辐射测量方法3.2核衰变和核辐射测量的统计分布3.2.2脉冲计数的统计分布

因入射粒子数N也是一个随机变量，则可根据全概率公式，推得x的概率密度分布为：

核辐射测量方法3.2核衰变和核辐射测量的统计分布3.2.2脉冲计数的统计分布令，并考虑x较大时，得到泊松分布和正态分布分别如下：探测器的入射粒子数N服从平均值和方差均为M的泊松分布，所产生的仪器计数x将服从平均值和方差均为Mη的泊松分布和正态分布。核辐射测量方法3.2核衰变和核辐射测量的统计分布3.2.3脉冲幅度的统计分布带电粒子入射到物质后，与核外电子发生非弹性碰撞而使介质电离和激发，因能量损失而产生电子和离子对(气体介质)或电子/空穴对(半导体介质)，这些过程是随机事件，服从一定的概率分布。若粒子在介质中损失的能量为E0，则所产生电子和离子的平均对数为：核辐射测量方法3.2核衰变和核辐射测量的统计分布3.2.3脉冲幅度的统计分布电离是入射的带电粒子与介质中的轨道电子碰撞的结果，假设发生了N次碰撞，平均产生对电子和离子，则每次碰撞能够产生一对电子和离子的概率为，不产生的概率为。在该N次碰撞中，产生x对电子和离子的概率应服从二项式分布：核辐射测量方法3.2核衰变和核辐射测量的统计分布3.2.4脉冲时间间隔的统计分布当探测器工作于脉冲状态时，入射射线与输出信号的脉冲幅度(或频率等)存在对应的关系。在某个时间间隔内，入射射线的数目服从泊松分布；同样地，在相同探测效率条件下，产生的脉冲数也遵循泊松分布。假设两个相邻脉冲的时间间隔为t，并满足：①时间t内没有脉冲发生；②时间t内有一个脉冲发生。根据泊松分布，平均计数率为m的脉冲在t时间内出现n个脉冲的概率为：

核辐射测量方法3.2核衰变和核辐射测量的统计分布3.2.4脉冲时间间隔的统计分布按概率乘法定理，第一个脉冲出现后，t～t+dt时间间隔内出现第二个脉冲的概率为：核辐射测量方法3.3核辐射测量中的统计误差与数据检验3.3.1测量数据的统计误差若y=f(x1,x2,…,xn)是相互独立的随机变量x1,x2,…,xn的多元函数，则其统计误差(标准误差和相对误差)采用标准差和相对标准差表示，并可由误差传播公式求出：

核辐射测量方法3.3核辐射测量中的统计误差与数据检验3.3.1测量数据的统计误差计数率的统计误差设在t时间内记录了N个计数，则计数率为，根据误差传播公式式，计数率n的标准误差和相对误差分别为：

核辐射测量方法3.3核辐射测量中的统计误差与数据检验3.3.1测量数据的统计误差2.多次测量结果的统计误差若对某放射性核素(或样品)进行k次测量，各次测量的时间段为ti，相应时间段的计数为Ni，i=1,2,…,k。那么各次测量中的计数率及方差分别为：定义：

Wi为权系数，λ2为一任意常数，为第i时间段的方差核辐射测量方法3.3核辐射测量中的统计误差与数据检验3.3.1测量数据的统计误差2.多次测量结果的统计误差权系数Wi等于时间段ti时，计数率的加权平均值的方差达到最小，此时为最佳Wi值。则计数率的加权平均值为：

核辐射测量方法3.3核辐射测量中的统计误差与数据检验3.3.1测量数据的统计误差2.多次测量结果的统计误差多次测量的结果可表示为：假如k次测量的时间相同，则其多次测量的结果为：

核辐射测量方法3.3核辐射测量中的统计误差与数据检验3.3.1测量数据的统计误差3.存在本底时样品净计数率的统计误差

为求得净计数率需要进行两次测量：第一次在时间tb内测得本底计数为Nb，第二次再测样品，即在时间tS内测得包括本底的样品计数为NS。这时样品净计数率n0为：

测量结果可写成：nS和nb为样品计数率(含本底)和本底计数率核辐射测量方法3.3核辐射测量中的统计误差与数据检验3.3.1测量数据的统计误差4.测量时间与测量条件的选择

1）不考虑本底的影响

2）有本底存在在得到在最佳时间分配下，给定了总的测量时间T后，和的表达式分别为：当给定了式中三个量中的任意两个，就可以利用此式求得第三个量核辐射测量方法3.3核辐射测量中的统计误差与数据检验3.3.2测量数据的检验两次测量计数值差异的检验

在同样条件下，同一放射性样品的两次测量计数分别为N1与N2，其差异服从正态分布，相应方差。假设在显著度α(或显著水平α)下，概率P(≥KασΔ)