河南省洛阳市新安县实验中学2021年高三数学理下学期期末试题含解析

河南省洛阳市新安县实验中学2021年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B2.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数为(

)A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：A【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．【专题】压轴题；导数的综合应用．【分析】由函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解得个数．【解答】解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，∴△=4a2﹣12b＞0．解得=．∵x1＜x2，∴，．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，∴此方程有两解且f（x）=x1或x2．不妨取0＜x1＜x2，f（x1）＞0．①把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）﹣x1的图象，∵f（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两解．②把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）﹣x2的图象，∵f（x1）=x1，∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解．综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2．只有3个实数解．即关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的只有3不同实根．故选：A．【点评】本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、极值及方程解得个数、平移变换等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．3.若等差数列满足，则的最大值为

A．60

B．50

C．45

D．40参考答案：【知识点】等差数列的性质D2B解析：设等差数列的公差为，因为，所以而，可得，代入整理得由关于d的二次方程有实根可得化简可得，解得，故选择B.【思路点拨】设等差数列的公差为，易得由求和公式可得，代入整理可得关于的方程，由可得S的不等式，解不等式可得．4.已知函数f（x）＝,对任意m∈[－3，3]，不等式f（mx－1）＋f（2x）＜0恒成立，则实数x的取值范围为

（

）A．（－1，）

B．（－2，）

C．（－2，）

D．（－2，）参考答案：A5.已知参考答案：A略6.已知，则

(

)A.1＜n＜m

B.1＜m＜n

C.m＜n＜1

D.n＜m＜1参考答案：A略7.如图21－7所示程序框图，若输出的结果y的值为1，则输入的x的值的集合为()图21－7A．{3}

B．{2,3}C．

D．参考答案：C8.函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则的值为

(

)

A-.

B.

C.

D.参考答案：A略9.在△ABC中，cosA=，则tanA=____A．2

B．2

C．

D．参考答案：B略10.设是直线,a,β是两个不同的平面（）A．若∥a,∥β,则a∥β

B．若∥a,⊥β,则a⊥βC．若a⊥β,⊥a,则⊥β

D．若a⊥β,∥a,则⊥β参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知O是坐标原点，点A（-1,1）若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是

参考答案：12.如图，曲线在点处的切线方程是，则+=

．参考答案：

213.三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为_________.参考答案：取AC的中点，连结BE,DE由主视图可知.且.所以，即。14.现有3本不同的语文书，2本不同的数学书，若从这5本书中一次任取2本，则取出的书都是语文书的概率为_________．参考答案：略15.已知三棱锥A﹣BCD中，AB=CD=2，BC=AD=，AC=BD=，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为

．参考答案：77π【考点】球的体积和表面积．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两相等，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两相等，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，且此长方体的面对角线的长分别为：2，，，体对角线的长为球的直径，d==，∴它的外接球半径是，外接球的表面积是77π，故答案为：77π．16.若复数（为虚数单位），则的值为_____________.参考答案：17.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|=4|OF|，△MFO的面积为，则该抛物线的方程为．参考答案：y2=8x考点：抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．专题：计算题．分析：根据M为抛物线上一点，且|MF|=4|OF|，可确定M的坐标，利用△MFO的面积为，即可求得抛物线的方程．解答：解：由题意，F（，0），准线方程为x=﹣∵|MF|=4|OF|，∴|MF|=2p∴M的横坐标为∴M的纵坐标为∵△MFO的面积为，∴∴p=4∴抛物线的方程为y2=8x故答案为：y2=8x点评：本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，解题的关键是确定M的坐标．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}满足：，，数列{bn}中，，且，，成等比数列.（1）求证：数列{bn}是等差数列；（2）若Sn是数列{bn}的前n项和，求数列的前n项和Tn.参考答案：(1)见解析.(2).【分析】（1）利用定义证明数列是等差数列；（2）先求出，再利用裂项相消法求数列的前项和.【详解】（1），∴数列是公差为1的等差数列；（2）由题意可得，即，所以，∴，∴，.【点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查等差数列的前n项和的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.设函数的定义域是,其中常数.(注:(1)若,求的过原点的切线方程.(2)证明当时,对,恒有.(3)当时,求最大实数,使不等式对恒成立.

参考答案：解.(1).若切点为原点,由知切线方程为;若切点不是原点,设切点为,由于,故由切线过原点知,在内有唯一的根.

又,故切线方程为.

综上所述,所求切线有两条,方程分别为和.(2)当时,令,则,故当时恒有,即在单调递减,故对恒成立.又,故,即,此即(3)令,则,且,显然有,且的导函数为

若,则,易知对恒成立,从而对恒有,即在单调增,从而对恒成立,从而在单调增,对恒成立.

若,则,存在,使得对恒成立,即对恒成立,再由知存在,使得对恒成立,再由便知不能对恒成立.

综上所述,所求的最大值是6.

略20.已知函数f（x）=﹣1．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；（3）证明：?n∈N*，不等式ln（）e＜．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；综合题；分类讨论；转化思想．【分析】（1）利用商的求导法则求出所给函数的导函数是解决本题的关键，利用导函数的正负确定出函数的单调性；（2）利用导数作为工具求出函数在闭区间上的最值问题，注意分类讨论思想的运用；（3）利用导数作为工具完成该不等式的证明，注意应用函数的最值性质．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是：（0，+∞）由已知令f′（x）=0得，1﹣lnx=0，∴x=e∵当0＜x＜e时，，当x＞e时，∴函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减，（2）由（1）知函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减故①当0＜2m≤e即时，f（x）在[m，2m]上单调递增∴，②当m≥e时，f（x）在[m，2m]上单调递减∴，③当m＜e＜2m，即时∴．（3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，，∴在（0，+∞）上恒有，即且当x=e时“=”成立，∴对?x∈（0，+∞）恒有，∵，∴即对?n∈N*，不等式恒成立．【点评】此题是个中档题．本题考查导数在函数中的应用问题，考查函数的定义域思想，考查导数的计算，考查导数与函数单调性的关系，考查函数的最值与导数的关系，体现了等价转化的数学思想和分类讨论的思想，同时考查了学生的计算能力．21.(本小题满分10分)如图，圆O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交圆O于点N,过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：PM2=PA?PC；（Ⅱ）若⊙O的半径为2，OA=OM，求MN的长．.参考答案：22.（本小题满分12分）为了解某地区中学生的身体发育状况，拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽取6个教学班进行调查.已知甲、乙、丙三所中学分别有12，6，18个教学班.（Ⅰ）求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数；（Ⅱ）若从抽取的6个教学班中随机抽取2个进行调查结果的对比，求这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率.参考答案：解：（Ⅰ）由已知可知在甲、乙、丙三所中学共有教学班的比是12:6:18=2:1:3，

……1分所以甲学校抽取教学班数为个，乙学校抽取教学班数为个，丙学校抽取教学班数为个，……4分所以分别抽取的教学班个数为2，1，3.

………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从甲、乙、丙三所中学分别