湖南省长沙市浏阳泮春初级中学2022年高三数学理下学期期末试题含解析

湖南省长沙市浏阳泮春初级中学2022年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x、y都小于1的正实数对(x,y)；再统计x、y两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m；最后再根据统计数m估计π的值，假如统计结果是，那么可以估计π的值约为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】依题意，、与1能构成钝角三角形，即，即点落在图中在第一象限正方形内的阴影区域，代入计算即可．【详解】解：依题意，、与1能构成钝角三角形，即，即点落在图中在第一象限正方形内的阴影区域，

所以，

当时，有，

得．

故选：D．【点睛】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是基础题．2.函数y=cos2x的图象的一个对称中心是（

）(A)()

(B)()

(C)(-)

(D)(0,0)参考答案：B3.若一条直线与一个平面成72°角，则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角等于（）A．72° B．90° C．108° D．180°参考答案：B【考点】直线与平面所成的角．【分析】由已知中一条直线与一个平面成72°角，根据线面夹角的性质﹣﹣最小角定理，我们可以求出这条直线与这个平面内不经过斜足的直线所成角的范围，进而求出其最大值．【解答】证明：已知AB是平面a的斜线，A是斜足，BC⊥平面a，C为垂足，则直线AC是斜线AB在平面a内的射影．设AD是平面a内的任一条直线，且BD⊥AD，垂足为D，又设AB与AD所成的角∠BAD，AB与AC所成的角为∠BAC．BC⊥平面amBD⊥AD由三垂线定理可得：DC⊥ACsin∠BAD=，sin∠BAC=在Rt△BCD中，BD＞BC，∠BAC，∠BAD是Rt△内的一个锐角所以∠BAC＜∠BAD．从上面的证明可知最小角定理，斜线和平面所成的角是这条斜线和平面内过斜足的直线所成的一切角，其中最大的角为90°，由已知中一条直线与一个平面成72°角，这条直线和这个平面内经过斜足的直线所成角的范围是：72°≤θ≤90°故选：B4.已知函数的图象关于点对称,且当成立.若,,,则a,b,c的大小关系是（

）A． B． C． D．参考答案：C5.设变量满足约束条件，且目标函数的最小值为-7，则的值为A.-2

B.-4

C.-1

D.1参考答案：A6.已知，，则A．

a>b>c

B．b>a>c

C．a>c>b

D．c>a>b参考答案：D7.如果复数为纯虚数，那么实数的值为（

）A．－2 B．1 C．2 D．1或－2参考答案：

即，故选择答案A8.将函数y=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象沿x轴向右平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，则φ的一个可能的值为()A．

B．

C．

D．参考答案：C9.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a，b，c成等比数列，A=600，则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略10.已知是偶函数，且当x≥2时A．{x|0<x<4}

B．{x|-2<x<2}

C．{x|2<x<6}

D．{x|-4<x<0}参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是边长为4的正方形，正视图和侧视图是边长为4的等边三角形，则该四棱锥的全面积为．参考答案：48【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知，该几何体是正四棱锥，且底面是边长为4的正方形，结合图中数据求出它的全面积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是正四棱锥，且底面是边长为4的正方形，正四棱锥的高即等边三角形的高为4×sin=2，∴斜高为=4；∴该四棱锥的全面积为S=42+4××4×4=48．故答案为：48．【点评】本题考查了利用三视图求几何体全面积的应用问题，是基础题．12.一个正三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的全面积为

参考答案：13.一个几何体的三视图如右下图所示，则它的体积为

．参考答案：14.已知平面，，直线，，给出下列命题：①若，，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，则．其中是真命题的是____．（填写所有真命题的序号）．参考答案：③④对于①，若，，，则或，相交，∴该命题是假命题；对于②，若，，，则，可能平行、相交、异面，∴该命题是假命题；对于③④可以证明是真命题．故答案为③④．15.已知：。若同时满足条件①<0或<0②，则m的取值范围是

参考答案：（-4，-2）略16.已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是________．参考答案：17.已知集合，记和中所有不同值的个数为．如当时，由，，，，，得．对于集合，若实数成等差数列，则=

．

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知，设函数

2,4,6

（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）当时，求的值域.参考答案：解：（1）

∴的最小正周期为

…………4分由得的单调增区间为

…………8分（2）由（1）知又当

故

从而的值域为

………14分本试题主要是考查了三角函数的图像与性质的运用。（1）将函数化简为单一函数，

，然后运用周期公式得到结论。（2）由（1）知，结合定义域求解得到，根据函数图像得到结论。19.（14分）已知函数，，为正的常数．（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）求的单调区间，并指明单调性；（Ⅲ）若，，证明：．

参考答案：解析：（Ⅰ）∵的定义域为，

…………（1分）有意义，则，那么的定义域为．

………………（3分）（Ⅱ），

则，

………………（5分）由，得，解得，由，得，解得，∴在上为增函数，在上为减函数．

…………………（7分）（Ⅲ）要证，只须证．而在（2）中，取，则，

………（9分）则在上为增函数，在上为减函数．∴的最小值为．

…………………（12分）那么，得：，即．

…………（14分20.（本题满分13分）已知函数＝。（1）求的单调区间；（2）若≥在[1，＋∞上恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：参考答案：解：（1）的定义域为，

，-----------------------------1分当时，恒成立，此时，在上是增函数；-----2分当时，令得，列表如下：__增减减增此时，的递增区间是，；递减区间是，。-------4分（2）＝＋，则g（1）=0，g’（x）=a－－==-----6分1）当0<a<时，﹥1。若1<x<，则g’（x）<0，g（x）是减函数，所以g（x）<g（1）=0，即f（x）﹥㏑x,故f（x）≧㏑x在[1，+∞）上不恒成立。----------------------7分2）当a时，若，则g’（x）>0,g(x)是增函数，所以g(x)>g(1)=0,即f(x)>lnx.故当x≧1时，f(x)lnx.综上所述，所求a的取值范围是+∞）。------------------9分（3）

在（2）中，令，可得不等式：（当且仅当时等号成立），进而可得当

（）---------------10分令，代入不等式（）得：故不等式得证。--------------------------------13分21.(12分)随着环保理念的深入，用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行．下图是其中一个抽象派雕塑的设计图。图中表示水平地面,线段表示的钢管固定在上；为了美感，需在焊接时保证：线段表示的钢管垂直于,，且保持与异面。（1）若收集到的余料长度如下：（单位长度），，，按现在手中的材料，求与应成的角；（2）设计师想在，中点处再焊接一根连接管，然后挂一个与，同时平行的平面板装饰物。但他担心此设计不一定能实现。请你替他打消疑虑：无论,多长，焊接角度怎样，一定存在一个过的平面与，同时平行（即证明向量与，共面，写出证明过程）；（3）

如果事先能收集确定的材料只有，请替设计师打消另一个疑虑：即