浙教版数学八年级上册 2.5逆命题和逆定理 课件(共26张PPT)

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第2章特殊三角形

2.5逆命题和逆定理

学习目标

了解逆命题、逆定理的概念.

会识别两个命题是不是互逆命题，并能写出简单命题的逆命题.

了解原命题成立，其逆命题不一定成立.

理解线段垂直平分线性质定理的逆定理.

情景导入

考虑两个命题：

“飞机是会飞的交通工具”

“会飞的交通工具是飞机”

这两个命题有什么不同？它们都是真命题吗？

温习旧识

1.命题的概念：

一般地，判断某一件事情的句子叫做命题.

2.命题一般由_____和_____两部分组成，即它的一般形式是___________________.

3.下列句子是命题的是（）

A.画∠AOB=45°B.小于直角的角是锐角吗？

C.连结CDD.鸟是动物

条件

结论

“如果…，那么…”

D

探究新知

命题条件结论命题真假

(1)两直线平行，同位角相等

(2)同位角相等，两直线平行

(3)如果a=b，那么a2=b2

(4)如果a2=b2，那么a=b

观察表，命题(1)与命题(2)有什么关系？命题(3)与命题(4)呢？

填一填：

两直线平行

同位角相等

同位角相等

两直线平行

a=b

a=b

a2=b2

a2=b2

概括

互逆命题

在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.

原命题与逆命题

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题.

探究新知

命题条件结论命题真假

(1)两直线平行，同位角相等

(2)同位角相等，两直线平行

(3)如果a=b，那么a2=b2

(4)如果a2=b2，那么a=b

命题(1)与命题(2)，命题(3)与命题(4)都是互逆命题.

填一填：

两直线平行

同位角相等

同位角相等

两直线平行

a=b

a=b

a2=b2

a2=b2

探究新知

命题条件结论命题真假

(1)两直线平行，同位角相等

(2)同位角相等，两直线平行

(3)如果a=b，那么a2=b2

(4)如果a2=b2，那么a=b

填一填：

两直线平行

同位角相等

同位角相等

两直线平行

a=b

a=b

a2=b2

a2=b2

真命题

真命题

真命题

假命题

原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.

做一做：

说出下列命题的逆命题，并判定命题的真假：

(1)两直线平行，内错角相等.

(3)磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具.

探究新知

内错角相等，两直线平行.

高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列车.

真命题

真命题

真命题

假命题

归纳总结

每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题，同样，每个假命题的逆命题也不一定是假命题.

写出一个命题的逆命题的关键是分清它的条件和结论，然后将条件和结论互换.

探究新知

想一想：

你能根据已经学过的定理和逆命题的定义类比出逆定理的定义吗？

（一个命题经证明是真命题，就可称为定理.）

原定理和逆定理

如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.

探究新知

做一做：

说出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.

解：这个定理的逆命题是:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．下面给出证明.

已知：如图，AB是一条线段，

P是一点，且PA=PB.

求证：点P在线段AB的垂直平分线上.

A

P

B

探究新知

已知：如图，AB是一条线段，P是一点，且PA=PB.

求证：点P在线段AB的垂直平分线上.

分析：要证明点P在线段AB的垂直平分线上，可以过点P

作AB的垂线，然后证明它恰好平分线段AB.

A

P

B

已知：如图，AB是一条线段，P是一点，且PA=PB.

求证：点P在线段AB的垂直平分线上.

A

P

B

证明：（1）当点P在线段AB上，结论显然成立；

（2）当点P不在线段AB上时，作PO⊥AB于点O.

∵PA=PB，PO⊥AB，

∴OA=OB（等腰三角形三线合一）.

∴PO是AB的垂直平分线.

∴点P在线段AB的垂直平分线上.

O

概括

线段垂直平分线性质定理的逆定理

①文字语言：

到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.

②几何语言：

∵PA=PB，

∴点P在AB的垂直平分线上．

P

A

B

C

典例精讲

例1说出下列命题的逆命题，并判定是真命题还是假命题：

(1)同位角相等；

(2)长方形有两条对称轴.

解：

(1)的逆命题为：相等的两个角为同位角，是假命题.

(2)的逆命题为：有两条对称轴的图形为长方形，是假命题.

典例精讲

例2下列定理中哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理.

(1)同旁内角互补，两直线平行；

(2)对顶角相等；

(3)三角形的两边之和大于第三边.

解：(2)(3)没有逆定理，(1)有逆定理.

(1)的逆定理为：两直线平行，同旁内角互补.

典例精讲

例3说出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题，判断这个命题的真假，并给出证明.

解：逆命题是“如果两个三角形的面积相等，那么这两

个三角形全等”.

分析：说明一个命题是真命题需经过证明，而说明一个命

题是假命题只需举一个反例即可.

典例精讲

解：逆命题是“如果两个三角形的面积相等，那么这两

个三角形全等”.

如图，在△ABC和△ABE中，

CD、EF分别是△ABC和△ABE的AB边上的高线，

且CD=EF，

则△ABC和△ABE的面积相等，

但显然它们不全等.

所以这个逆命题是假命题.

这个命题是假命题.举反例如下：

D

A

F

B

C

E

1.判断下列说法是否正确？如果不正确，请说明理由.

(1)每个定理都有逆定理；

(2)每个命题都有逆命题；

(3)互逆命题同真同假；

(4)对顶角相等没有逆定理.

每个定理不一定有逆定理，

只有定理的逆命题是真命题时才称它为原定理的逆定理.

随堂练习

每个真命题的逆命题不一定

是真命题，每个假命题的逆命题也不一定是假命题.

2.写出下列各命题的逆命题，并判断逆命题的真假：

(1)如果|a|=|b|，那么a=b；

(2)等边三角形的三个角都是60°；

(3)互为相反数的两个数的和为0.

随堂练习

逆命题：如果a=b，那么|a|=|b|.真命题

逆命题：三个角都是60°的三角形是等边三角形.

真命题

逆命题：如果两数和为0，那么这两个数互为相反数.

假命题

3.判断下面两个定理是否有逆定理，若有，请写出它的逆定理，若没有，说明理由．

(1)在一个三角形中，等角对等边；

(2)四边形的内角和等于360°.

随堂练习

解：

(1)有逆定理，逆定理为：在一个三角形中，等边对等角．

(2)有逆定理，逆定理为：内角和等于360°的多边形是四

边形．

3.求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点.

随堂练习

已知：在△ABC中，PD，PE分别是AB，AC的垂直平分线，相交于点P.

求证：点P也在BC的垂直平分线上.

P

D

E

A

C

B

P

D

E

A

C

证明：

连结PA，PB，PC.

∵PD，PE分别是AB，AC的垂直平分线，

∴PA=PB，PA=PC

（线段垂直平分线上