【解析】2023-2024学年初中数学九年级上册 24.7 向量的线性运算 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)

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2023-2024学年初中数学九年级上册24.7向量的线性运算同步分层训练基础卷(沪教版五四制)

一、选择题

1．（2023八下·普陀期中）如图，在中，对角线相交于点O，下列结论中错误的是（）

A．与是相等的向量B．与是相等的向量

C．与是相反的向量D．与是平行的向量

【答案】B

【知识点】向量的加法法则；平行向量定理；向量的线性运算

【解析】【解答】解：

A、与是相等的向量，A不符合题意；

B、与不是相等的向量，B符合题意；

C、与是相反的向量，C不符合题意；

D、与是平行的向量，D不符合题意；

故答案为：B

【分析】根据平面向量及其表示结合题意即可求解。

2．（2023八下·嘉定期末）已知四边形是矩形，点是对角线与的交点.下列四种说法：①向量与向量是相等的向量；②向量与向量是互为相反的向量；③向量与向量是相等的向量；④向量与向量是平行向量．其中正确的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【知识点】平面向量及其表示；向量的线性运算

【解析】【解答】解：如图：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，

∴①向量与向量是相等的向量，符合题意．

②向量与向量是互为相反的向量，符合题意．

③向量与向量是相等的向量；不符合题意．

④向量与向量是平行向量．符合题意．

故答案为：C．

【分析】利用矩形的性质，相等向量，平行向量的定义一一判断即可．

3．（2023九下·金山月考）已知在△ABC中，AD是中线，设，那么向量用向量表示为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】平面向量及其表示；向量的线性运算

【解析】【解答】∵，

∴，

∵AD是△ABC中线，

∴，

故答案为：C.

【分析】根据向量的三角形法则求出，即可得到.

4．（2023·青浦模拟）如图，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC边于点D．设，，那么向量用向量、表示为（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知识点】向量的线性运算

【解析】【解答】解：∵G是△ABC的重心，

∴AG＝2DG，∴AD＝3DG，∴＝3＝3，

∵＝+＝﹣+3，DB＝BD，

∴＝2＝6﹣2，

故答案为：C．

【分析】G是△ABC的重心，推出AG＝2DG，推出AD＝3DG，利用三角形法则求出即可解决问题．

5．（2023·谯城模拟）已知：点C在线段AB上，且AC=2BC，那么下列等式一定正确的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【知识点】向量的线性运算

【解析】【解答】解：

∵AC＝2BC，

∴BC＝AB，AC＝AB，

∴，

∴，选项A不符合题意；

，选项B不符合题意；

，选项C一定符合题意；

．选项D不符合题意；ABD等式不成成立,选项C等式符合题意.

故答案为：C．

【分析】由已知点C在线段AB上，AC＝2BC，故可以知道C点是线段AB的一个三等分点，且靠近B点，所以有BC＝AB．

6．（2023九上·上海月考）已知，，那么等于（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】向量的线性运算

【解析】【解答】解：∵，，

∴=．

故答案为：A．

【分析】根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心．

7．（2023八下·长宁期末）在四边形中，若，则等于（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知识点】向量的线性运算

【解析】【解答】如图，连接BD．

∵，

∴．

又，

∴，即．

故答案为：B．

【分析】如图，连接BD．利用三角形法则解题即可．

8．（2023·徐汇模拟）若＝2，向量和向量方向相反，且||＝2||，则下列结论中错误的是（）

A．||＝2B．||＝4

C．＝4D．＝

【答案】C

【知识点】平面向量及其表示；向量的线性运算

【解析】【解答】A、由＝2推知||＝2，故本选项不符合题意．

B、由＝-4推知||＝4，故本选项不符合题意．

C、依题意得：＝﹣4，故本选项符合题意．

D、依题意得：＝-，故本选项不符合题意．

故答案为：C．

【分析】由题意得向量b与向量a是方向相反且不为零的平行向量。为两个，所以||＝2。||

||为正数，即||=4.所以=-4。=-2的关系不变。

二、填空题

9．（2022·长宁模拟）如图，在△ABC中，点D在边AB上，且＝，点E是AC的中点，＝，＝，试用向量，表示向量，那么＝．

【答案】

【知识点】向量的线性运算

【解析】【解答】解：∵在△ABC中，点D在边AB上，且＝，点E是AC的中点，＝，＝，

∴，

∴

故答案为：

【分析】根据向量的线性运算求解即可。

10．（2022·宝山模拟）如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，如果，那么＝（用表示）．

【答案】

【知识点】含30°角的直角三角形；向量的线性运算

【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，

∴∠ABC＝60°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD＝30°，

∴∠A＝∠ABD，

∴AD＝BD，DB＝2DC，

∴AD＝2DC，

∴CD＝AC，

∴＝，

故答案为．

【分析】先证明AD＝2DC，推出CD＝AC，即可得出结论。

11．（2023八下·温州期中）如图，大坝横截面迎水坡AB的坡比为2：1，若坝高AC为12（m），则迎水坡AB的长为（m）．

【答案】

【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题

【解析】【解答】解：∵大坝横截面迎水坡AB的坡比为2：1，若坝高AC为12m，

∴BC=6，

∴迎水坡AB的长为（m）.

故答案为：.

【分析】根据坡比的定义得出BC的长为6m，然后根据勾股定理即可求解。

12．（2023·青岛模拟）计算：．

【答案】

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值

【解析】【解答】解：，

故答案为：.

【分析】利用特殊角的锐角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂计算求解即可。

13．（2023·官渡模拟）如图，在平面直角坐标中，抛物线和直线交于点和点，则不等式的解集为．

【答案】

【知识点】一次函数的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的图象

【解析】【解答】解：由题意得当，，

故答案为：.

【分析】直接根据一次函数和二次函数的图象即可求解。

14．（2023·杨浦模拟）如果抛物线在对称轴左侧呈上升趋势，那么a的取值范围是．

【答案】a＜0

【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质

【解析】【解答】解：∵抛物线在对称轴左侧呈上升趋势，

∴函数开口向下，

∴a＜0，

故答案为：a＜0

【分析】根据二次函数开口方向与系数的关系，结合题意即可求解。

三、解答题

15．（2023九上·金山期末）如图，已知：四边形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，，设，．

求向量关于、的分解式．

【答案】解：连接BD．

∵，

∴，，

∴，

∵，，

∴，

∴．

【知识点】向量的线性运算

【解析】【分析】连接BD．根据，得出，再根据，，得出，即可得出结果。

16．（2023九上·奉贤期中）如图，AD是△ABC中BC边上的中线，点E、F分别是AD、AC的中点，设＝，＝，用、的线性组合表示向量．

【答案】解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，

∴．

∵点E、F分别是AD、AC的中点，

∴，

∴．

【知识点】向量的线性运算

【解析】【分析】根据平面向量的线性计算及三角形法则求解即可。

四、作图题

17．（2022九上·闵行期中）如图，已知两个不平行的向量、先化简，再求作：．不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量

【答案】解：．

如图，即为所求．

【知识点】向量的线性运算

【解析】【分析】利用平面向量的计算方法求解即可。

五、综合题

18．（2023·杨浦模拟）如图，已知中，点D、E分别在边和上，，且DE经过的重心G．

（1）设，（用向量表示）

（2）如果，，求边的长．

【答案】（1）

（2）解：∵，，

∴．

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴．

【知识点】相似三角形的判定与性质；向量的线性运算

【解析】【解答】解：（1）连接并延长交于点F．

∵，

∴，，

∴，，

∴．

∵G是的重心，

∴，

∴，

∵，

．

故答案为：．

【分析】（1）连接并延长交于点F．由G是的重心可得，由平行线可证，利用相似三角形的性质可得，由，即得；

（2）证明，可得，据此即可求解.

19．（2022九上·黄浦月考）如图，已知在中，点分别在边上，且，过点作交于点．

（1）求证：；

（2）若，，，请用、表示、（直接写出答案）．

【答案】（1）证明：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（2）解：=；=

【知识点】平行线分线段成比例；向量的线性运算

【解析】【解答】（2）解：∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴．

【分析】（1）利用平行线分线段成比例的性质可得，再化简可得；

（2）利用平面向量的计算方法求解即可。

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2023-2024学年初中数学九年级上册24.7向量的线性运算同步分层训练基础卷(沪教版五四制)

一、选择题

1．（2023八下·普陀期中）如图，在中，对角线相交于点O，下列结论中错误的是（）

A．与是相等的向量B．与是相等的向量

C．与是相反的向量D．与是平行的向量

2．（2023八下·嘉定期末）已知四边形是矩形，点是对角线与的交点.下列四种说法：①向量与向量是相等的向量；②向量与向量是互为相反的向量；③向量与向量是相等的向量；④向量与向量是平行向量．其中正确的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

3．（2023九下·金山月考）已知在△ABC中，AD是中线，设，那么向量用向量表示为（）

A．B．C．D．

4．（2023·青浦模拟）如图，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC边于点D．设，，那么向量用向量、表示为（）

A．B．

C．D．

5．（2023·谯城模拟）已知：点C在线段AB上，且AC=2BC，那么下列等式一定正确的是（）

A．

B．

C．

D．

6．（2023九上·上海月考）已知，，那么等于（）

A．B．C．D．

7．（2023八下·长宁期末）在四边形中，若，则等于（）

A．B．

C．D．

8．（2023·徐汇模拟）若＝2，向量和向量方向相反，且||＝2||，则下列结论中错误的是（）

A．||＝2B．||＝4

C．＝4D．＝

二、填空题

9．（2022·长宁模拟）如图，在△ABC中，点D在边AB上，且＝，点E是AC的中点，＝，＝，试用向量，表示向量，那么＝．

10．（2022·宝山模拟）如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，如果，那么＝（用表示）．

11．（2023八下·温州期中）如图，大坝横截面迎水坡AB的坡比为2：1，若坝高AC为12（m），则迎水坡AB的长为（m）．

12．（2023·青岛模拟）计算：．

13．（2023·官渡模拟）如图，在平面直角坐标中，抛物线和直线交于点和点，则不等式的解集为．

14．（2023·杨浦模拟）如果抛物线在对称轴左侧呈上升趋势，那么a的取值范围是．

三、解答题

15．（2023九上·金山期末）如图，已知：四边形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，，设，．

求向量关于、的分解式．

16．（2023九上·奉贤期中）如图，AD是△ABC中BC边上的中线，点E、F分别是AD、AC的中点，设＝，＝，用、的线性组合表示向量．

四、作图题

17．（2022九上·闵行期中）如图，已知两个不平行的向量、先化简，再求作：．不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量

五、综合题

18．（2023·杨浦模拟）如图，已知中，点D、E分别在边和上，，且DE经过的重心G．

（1）设，（用向量表示）

（2）如果，，求边的长．

19．（2022九上·黄浦月考）如图，已知在中，点分别在边上，且，过点作交于点．

（1）求证：；

（2）若，，，请用、表示、（直接写出答案）．

答案解析部分

1．【答案】B

【知识点】向量的加法法则；平行向量定理；向量的线性运算

【解析】【解答】解：

A、与是相等的向量，A不符合题意；

B、与不是相等的向量，B符合题意；

C、与是相反的向量，C不符合题意；

D、与是平行的向量，D不符合题意；

故答案为：B

【分析】根据平面向量及其表示结合题意即可求解。

2．【答案】C

【知识点】平面向量及其表示；向量的线性运算

【解析】【解答】解：如图：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，

∴①向量与向量是相等的向量，符合题意．

②向量与向量是互为相反的向量，符合题意．

③向量与向量是相等的向量；不符合题意．

④向量与向量是平行向量．符合题意．

故答案为：C．

【分析】利用矩形的性质，相等向量，平行向量的定义一一判断即可．

3．【答案】C

【知识点】平面向量及其表示；向量的线性运算

【解析】【解答】∵，

∴，

∵AD是△ABC中线，

∴，

故答案为：C.

【分析】根据向量的三角形法则求出，即可得到.

4．【答案】C

【知识点】向量的线性运算

【解析】【解答】解：∵G是△ABC的重心，

∴AG＝2DG，∴AD＝3DG，∴＝3＝3，

∵＝+＝﹣+3，DB＝BD，

∴＝2＝6﹣2，

故答案为：C．

【分析】G是△ABC的重心，推出AG＝2DG，推出AD＝3DG，利用三角形法则求出即可解决问题．

5．【答案】C

【知识点】向量的线性运算

【解析】【解答】解：

∵AC＝2BC，

∴BC＝AB，AC＝AB，

∴，

∴，选项A不符合题意；

，选项B不符合题意；

，选项C一定符合题意；

．选项D不符合题意；ABD等式不成成立,选项C等式符合题意.

故答案为：C．

【分析】由已知点C在线段AB上，AC＝2BC，故可以知道C点是线段AB的一个三等分点，且靠近B点，所以有BC＝AB．

6．【答案】A

【知识点】向量的线性运算

【解析】【解答】解：∵，，

∴=．

故答案为：A．

【分析】根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心．

7．【答案】B

【知识点】向量的线性运算

【解析】【解答】如图，连接BD．

∵，

∴．

又，

∴，即．

故答案为：B．

【分析】如图，连接BD．利用三角形法则解题即可．

8．【答案】C

【知识点】平面向量及其表示；向量的线性运算

【解析】【解答】A、由＝2推知||＝2，故本选项不符合题意．

B、由＝-4推知||＝4，故本选项不符合题意．

C、依题意得：＝﹣4，故本选项符合题意．

D、依题意得：＝-，故本选项不符合题意．

故答案为：C．

【分析】由题意得向量b与向量a是方向相反且不为零的平行向量。为两个，所以||＝2。||

||为正数，即||=4.所以=-4。=-2的关系不变。

9．【答案】

【知识点】向量的线性运算

【解析】【解答】解：∵在△ABC中，点D在边AB上，且＝，点E是AC的中点，＝，＝，

∴，

∴

故答案为：

【分析】根据向量的线性运算求解即可。

10．【答案】

【知识点】含30°角的直角三角形；向量的线性运算

【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，

∴∠ABC＝60°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD＝30°，

∴∠A＝∠ABD，

∴AD＝BD，DB＝2DC，

∴AD＝2DC，

∴CD＝AC，

∴＝，

故答案为．

【分析】先证明AD＝2DC，推出CD＝AC，即可得出结论。

11．【答案】

【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题

【解析】【解答】解：∵大坝横截面迎水坡AB的坡比为2：1，若坝高AC为12m，

∴BC=6，

∴迎水坡AB的长为（m）.

故答案为：.

【分析】根据坡比的定义得出BC的长为6m，然后根据勾股定理即可求解。

12．【答案】

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值

【解析】【解答】解：，

故答案为：.

【分析】利用特殊角的锐角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂计算求解即可。

13．【答案】

【知识点】一次函数的图象