专题3 二次函数与一元二次方程不等式

专题3二次函数与一元二次方程不等式知识点一一元二次不等式的概念解析只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式.ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数.思考a2b＋2ab2＋8>0(ab≠0)可看作一元二次不等式吗？可以，把b看作常数，则是关于a的一元二次不等式；把a看作常数，则是关于b的一元二次不等式．知识点二二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅意味着中部分，意味着中部分，，求出两个根，；根据图像可知：开口向上时，大于取两边，小于取中间，反之亦然．【例1】解关于的不等式．【例2】解关于的不等式．【例3】已知关于的不等式的解集为或．（1）求，；（2）解关于的不等式．知识点三一元二次不等式与韦达定理=1\*GB3①已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．=2\*GB3②已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．=3\*GB3③已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．=4\*GB3④已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．【例4】不等式的解集为，则不等式的解集为（）A．或 B． C． D．知识点四二次项系数含参的一元二次不等式问题（1）分析当时的情况．（2）十字相乘得到，求出两个根，，若不能十字相乘，则要讨论的情况．（3）比较两个根的大小，；；，并分别进行讨论．（4）其中一种情况涉及到以及，再分开口方向讨论．【例5】解关于的不等式：．知识点五乘除的等价原理和穿根法若，则与异号，．若，则异号，，且．若，则同号，．若，则同号，，且．数轴穿根法或者口诀：移项调号，分解排序，奇穿偶回，分母非零，参数讨论，小心等号．【例6】解关于的不等式：（）．【例7】解关于的不等式：．【例8】解关于的不等式：知识点六对勾函数解决恒成立和实根分布问题对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如当同为正数时，的图象是由直线与双曲线构成，形状酷似双勾．故称“对勾函数”，也称“耐克函数”．耐克函数的顶点：和【例9】已知函数对于一切成立，求的取值范围．【例10】方程在区间内有解，求的取值范围．知识点七二次函数轴动区间定和轴定区间动口诀：轴在区间内，顶点定；轴在区间外，单调定．【例11】若函数在上为单调函数，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．【例12】已知函数在闭区间上有最大值，最小值，则的取值范围是（）A． B． C． D．【例13】若函数，若对任意不等式恒成立，则实数的最大值为．归纳总结：在关于二次函数轴动区间定的题型时，若只考查单调性，显然直接法更简单，遇到恒成立或者零点分布类型题目时，显然参变分离更简单．轴定区间动显然还是直接讨论并卡根更加直截了当．关于零点分布，进行区间端点和对称轴一起来“卡根”，端点值往往形成一种“定海神针”感觉，接下来我们通过题目分析这类方法．【例14】（2022•长沙月考）设函数．（1）已知函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）已知方程有两个实数根，，且，，求实数的取值范围．归纳总结此题明显参变分离解题更为简单，下面我们将系统分析参变分离和定海神针方法各自的适用范围．【例15】（2022•湖北月考）已知函数．（1）若函数有唯一的零点，求的值；（2）设，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．知识点八二次函数零点分布之两零点分布在同一区间型二次函数的两个零点位于同一区间或者在某个区间存在零点时，参变分离转化为区间的值域或者交点问题，显然事半功倍．【例16】（2022•安徽月考）已知．（1）若且，求的单调区间；（2）当为何值时，有个零点，且均比大．【例17】（2022•襄阳月考）若关于的一元二次方程至少有一个正根，求的取值范围．知识点九二次函数单零点分布之卡根法第一类恒成立（能成立）的异号类二次函数开口方向和不等号方向反向，即恒成立，或者恒成立．【例18】不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．第二类零点问题的分散或者范围内单个零点如果两个零点在不同区间或者某个区间只有一个零点时，端点值的正负号将决定参数的取值范围．【例19】若方程的一个根在内，另一个根在内，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【例20】已知关于的方程的两个实数根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是．第三类综合问题的处理策略在轴动区间定的情况下，若参变分离出现正负号不确定时也需要分类讨论，不等号方向涉及改变，此时只需分两类，而常规的定海神针卡根法需要分三类．【例21】已知函数，若时，恒成立，求的取值范围．【例22】（2007•广东）已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围．1.（2015•广东）不等式的解集为．（用区间表示）2.（2015•上海）函数，，的值域为，．3.（2017•北京）已知，，且，则的取值范围是，．4.（2022•雨花区开学）一条抛物线的顶点为，且与轴的两个交点的横坐标为一正一负，则、、中为正数的A．只有 B．只有 C．只有 D．只有和5.（2015•四川）如果函数，在区间上单调递减，那么的最大值为A．16 B．18 C．25 D．6.（2022•龙凤区期末）已知函数的值域为，，若关于的不等式的解集为，则实数的值为A．6 B．7 C．9 D．107．（2022•浙江开学）已知实数，，函数，满足（2）（3），则的最大值为A． B． C． D．8．（2022•连云区开学）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是A． B． C． D．或9.（2022•榆林期末）若关于的不等式的解集为，则函数在区间，上的最小值为A． B．0 C．2 D．310.（2022•双鸭山期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是A．或B． C．或 D．11.（2022•兴化市模拟）若正实数，满足，则函数的零点的最大值为A． B． C．2 D．312.下列结论错误的是A．若函数对应的方程没有根，则不等式的解集为 B．不等式在上恒成立的条件是且△ C．若关于的不等式的解集为，则 D．不等式的解为13.（2022•义乌期末）已知二次函数，若，，（1），则的根的分布情况可能为A．可能无解 B．有两相等解，且 C．有两个不同解， D．有两个都不在内的不同解，14.（2022•雨花区开学）二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④若方程有两个根和，且，则；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有个．15.（2022•长沙月考）已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是．16.（2022•嘉兴期末）已知函数．（1）当时，解不等式；（2）当时，恒成立，求的取值范围．17.（2022•定州期中）已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．18（2022•佛山期末）设二次函数为．（1）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．19.若函数在区间内有零点，求的取