人教版高中数学选择性必修第三册7.3.2离散型随机变量的方差 A组基础同步训练含解析

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人教版高中数学选择性必修第三册

7.3.2离散型随机变量的方差A组基础同步训练（原卷版）

一、选择题

1．（2023·全国高二课时练）甲、乙两台自动机床各生产同种标准产品件，表示甲机床生产件产品中的次品数，表示乙机床生产件产品中的次品数，经过一段时间的考察，，的分布列分别如表一，表二所示．据此判断（）

表一

表二

A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好

C．甲与乙质量相同D．无法判定

2．（2023·云南昆明高二月考）已知随机变量X的分布列如下：

013

若随机变量Y满足，则Y的方差（）

A．B．C．D．

3．（2023·浙江高二期末）设，，随机变量X的分布列是（）

a

则方差（）

A．既与有关，也与有关B．与有关，但与无关

C．与有关，但与无关D．既与无关，也与无关

4．（2023·浙江丽水市高二月考）已知随机变量的分布列如下：

12

Pnm

则的最大值（）

A．B．C．D．

5．（多选题）（2023·全国高二课时练）已知X的分布列为

X－101

Pa

则下列说法正确的有（）

A．P(X＝0)＝B．E(X)＝－

C．D(X)＝D．P(X＞－1)＝

6．（多选题）（2023·浙江杭州市高二月考）已知，随机变量的分布列如下表所示，若，则下列结论中可能成立的是（）

A．B．C．D．

二、填空题

7．（2023·福建莆田一中高二期末）随机变量的分布列如下表：

01

Pab

且，则______.

8．（2023·广东高二期末）已知离散型随机变量的取值为0，1，2，且，，；若，则___________.

9．（2023·山西朔州市·应县一中高二）随机变量的分布列如下表：

012

其中，，成等差数列，若，则的值是________.

10．（2023·江苏常州市高二期中）设随机变量的概率分布列如下表所示：

123

其中，，成等差数列，若随机变量的均值为，则的方差为_________．

三、解答题

11．（2023·全国高二单元测）甲乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别如下，试评定这两个保护区的管理水平.

甲保护区：

X0123

P0.30.30.20.2

乙保护区：

Y012

12．（2023·北京大兴高二期末）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量（单位：）对工期的影响如下表：历年气象资料表明，该工程施工期间降水量小于、、的概率分别为、、．求：

降水量

工期延误天数

（1）工期延误天数的均值与方差；

（2）在降水量至少是的条件下，工期延误不超过天的概率．

人教版高中数学选择性必修第三册

7.3.2离散型随机变量的方差A组基础同步训练（解析版）

一、选择题

1．（2023·全国高二课时练）甲、乙两台自动机床各生产同种标准产品件，表示甲机床生产件产品中的次品数，表示乙机床生产件产品中的次品数，经过一段时间的考察，，的分布列分别如表一，表二所示．据此判断（）

表一

表二

A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好

C．甲与乙质量相同D．无法判定

【答案】B

【详解】由分布列可求甲的次品数期望为，乙的次品数期望为，

，

，

，，乙比甲质量好.

2．（2023·云南昆明高二月考）已知随机变量X的分布列如下：

013

若随机变量Y满足，则Y的方差（）

A．B．C．D．

【答案】D

【详解】由题意可知，，则，

则，又，所以．

3．（2023·浙江高二期末）设，，随机变量X的分布列是（）

a

则方差（）

A．既与有关，也与有关B．与有关，但与无关

C．与有关，但与无关D．既与无关，也与无关

【答案】B

【详解】由分布列可得，

故.故选：B

4．（2023·浙江丽水市高二月考）已知随机变量的分布列如下：

12

Pnm

则的最大值（）

A．B．C．D．

【答案】C

【详解】解:有题得，即，所以，

故，

因为，故，

所以由二次函数性质得，当，的最大值.

5．（多选题）（2023·全国高二课时练）已知X的分布列为

X－101

Pa

则下列说法正确的有（）

A．P(X＝0)＝B．E(X)＝－

C．D(X)＝D．P(X＞－1)＝

【答案】ABD

【详解】由分布列的性质可知＝1，即a＝.∴P(X＝0)＝，故A正确；

E(X)＝，故B正确；

D(X)＝，故C错误；

P(X＞－1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝，故D正确．故选：ABD.

6．（多选题）（2023·浙江杭州市高二月考）已知，随机变量的分布列如下表所示，若，则下列结论中可能成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】ABC

【详解】由题意得，

．

因为，所以，

所以，又，所以，

故不可能成立，而选项A，B，C均有可能成立.

二、填空题

7．（2023·福建莆田一中高二期末）随机变量的分布列如下表：

01

Pab

且，则______.

【答案】

【详解】因为，又，

所以，.

8．（2023·广东高二期末）已知离散型随机变量的取值为0，1，2，且，，；若，则___________.

【答案】

【详解】由题意知：，解得，

所以.

9．（2023·山西朔州市·应县一中高二）随机变量的分布列如下表：

012

其中，，成等差数列，若，则的值是________.

【答案】

【详解】因为，又因为，，成等差数列，所以

所以,又因为，所以

所以.

10．（2023·江苏常州市高二期中）设随机变量的概率分布列如下表所示：

123

其中，，成等差数列，若随机变量的均值为，则的方差为_________．

【答案】

【详解】因为，，成等差数列，则，其在分布列中，

所以，又因为机变量的均值，

且,故

所以的方差为

三、解答题

11．（2023·全国高二单元测）甲乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别如下，试评定这两个保护区的管理水平.

甲保护区：

X0123

P0.30.30.20.2

乙保护区：

Y012

P0.10.50.4

【详解】解：甲保护区违规次数X的数学期望和方差为

E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3，

D(X)=(01.3)2×0.3+(11.3)2×0.3+(21.3)2×0.2+(31.3)2×0.2=1.21.

乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差为

E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3，

D(Y)=(01.3)2×0.1+(11.3)2×0.5+(21.3)2×0.4=0.41.

因为E(X)=E(Y)，D(X)>D(Y)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定，所以乙保护区的管理水平比甲高.

12．（2023·北京大兴高二期末））根据以往的经验，某工程施工期间的降水量（单位：）对工期的影响如下表：历年气象资料表明，该工程施工期间降水量小于、、的概率分别为、、．求：

降水量

工期延误天数

（1）工期延误天数的均值与方差；

（2）在降水量至少是的条件下，工期延误不超过天的概率．

【答案】（1）的均值为，方差为；