人教A版2023必修第一册2.1等式性质与不等式性质 同步练习含解析

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一、单选题

1．已知－3A．(1，3)

B．

C．

D．

2．已知，则（）

A．B．C．D．

3．已知集合，则=

A．B．C．D．

4．下列结论正确的是（）

A．若，则B．若，则

C．若，则D．若，则

5．与的大小关系是（）

A．B．C．D．不确定

6．若，，则下列各是正确的是（）

A．B．

C．D．

7．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（）

A．大于B．小于C．大于等于D．小于等于

8．已知下列命题：①若，则；②若，，则；③若，则；④若，则；其中为真命题的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

9．设a－bD．

10．关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

11．若实数满足，则下列不等式成立的是（）

A．B．C．D．

12．已知，R，若，则（）

A．B．C．D．

13．已知实数满足，，则的取值范围是（）

A．B．

C．D．

14．已知，，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

15．设为实数，且，则下列不等式正确的是（）

A．B．

C．D．

二、填空题

16．给出下列命题：①，；②，；③，；④，.其中正确的命题序号是________．

17．设，则的最小值为______.

18．如果a>b，给出下列不等式：

①；②a3>b3；③；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.

其中一定成立的不等式的序号是________．

三、解答题

19．（1）设，试比较与的大小

（2）已知，，求的取值范围.

20．比较下列各组中两个代数式的大小：

（1）与；

（2）当，且时，与.

21．（1）设，，证明：；

（2）设，，，证明：.

22．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”；

（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；

（2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论；

（3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值．

试卷第1页，共3页

试卷第1页，共3页

参考答案：

1．A

先求出a2的范围，利用不等式的性质即可求出的范围.

【详解】

因为－32．C

作差后配方可得答案.

【详解】

因为，

所以，当且仅当，时取等号，

故选：C．

3．C

本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．

【详解】

由题意得，，则

．故选C．

不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．

4．C

根据不等式的性质，对四个选项一一验证：

对于A：利用不等式的可乘性的性质进行判断；

对于B：取进行否定；

对于C：利用不等式的可乘性的性质进行证明；

对于D：取进行否定.

【详解】

对于A：当时，若取，则有.故A不正确；

对于B：当时，取时，有.故B不正确；

对于C：当，两边同乘以，则.故C正确；

对于D：当，取时，有.故D不正确.

故选：C.

（1）多项选择题是2023年高考新题型，需要要对选项一一验证；

（2）判断不等式成立的解题思路：

①取特殊值进行否定；②利用不等式的性质直接判断.

5．B

利用平方作差，再判断差的正负即可得解.

【详解】

因，，

则，

所以.

故选：B

6．A

首先判断，再根据不等式的性质判断选项.

【详解】

，，，有可能是正数，负数，0，

，故A正确；

，，故B不正确；

,当时，，故C不正确；

当时，不正确，故D不正确.

故选：．

7．A

设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案.

【详解】

解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），

先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.

由杠杆的平衡原理：，．解得，，

则.

下面比较与10的大小：（作差比较法）

因为，

因为，所以，即.

所以这样可知称出的黄金质量大于.

故选：A

8．C

利用不等式的性质判断各项的正误，即可知真命题的个数.

【详解】

①若，显然不成立，错误；

②若，，即，则，故，正确；

③若，即，则，正确；

④若，即，则，正确.

故真命题有3个.

故选：C

9．B

根据不等式的性质即可依次判断.

【详解】

对A，因为a0时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不正确，符合题意；

对C，|a|＝－a>－b，则选项C正确，不符合题意；

对D，由－a>－b>0，可得，则选项D正确，不符合题意.

故选：B.

10．D

由题意可知，是不等式解集的一个真子集，然后对与的大小关系进行分类讨论，求得不等式的解集，利用集合的包含关系可求得实数的取值范围.

【详解】

由题可知是不等式的解集的一个真子集.

当时，不等式的解集为，此时；

当时，不等式的解集为，

，合乎题意；

当时，不等式的解集为，

由题意可得，此时.

综上所述，.

故选：D.

本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于中等题.

11．B

取特殊值判断ACD，根据不等式的性质判断B.

【详解】

当时，，，则AC错误；

当时，，则D错误；

由不等式的性质可知，，则B正确；

故选：B

本题主要考查了判断所给不等式是否成立，属于中档题.

12．C

利用特殊值法：令可判断A、B、D的正误；利用分类讨论并结合不等式的性质可判断C的正误

【详解】

当时：，故A错误；

，故B错误；

，故D错误；

当时，；当时，，即，则；

所以有，故C正确

故选：C

本题主要考查了由已知条件判断所给不等式是否成立，属于中档题.

13．B

令，，则，然后根据不等式的性质即可求出答案．

【详解】

解：令，，则，

则，

，

，

又，

，

∴，

故选：B．

本题主要考查不等式的性质的应用，考查逻辑推理和计算能力，属于中档题．

14．C

先把转化为，根据，，求出的范围，利用单增，求出z的范围即可.

【详解】

.

设，

所以，解得：，

，

因为，，

所以，

因为单调递增，

所以.

故选：C

15．D

题目考察不等式的性质，A选项不等式两边同乘负数要变号；B,C选项可以通过举反例排除；D选项根据已知条件变形可得

【详解】

已知,对各选项逐一判断：

选项A：因为,由不等式的性质，两边同乘负数，不等式变号，可得,所以选项A错误.

选项B：取,,,,则,,此时,所以选项B错误.

选项C：取,,,,则,,此时,所以选项C错误.

选项D：因为,所以,所以,即,所以选项D正确.

故选：D.

16．②③

利用不等式的性质或取特殊值代入逐个判断即可.

【详解】

①当时不成立；②一定成立；③当时，成立；④当时，不一定成立，如：，但.

故答案为：②③.

本题主要考查与不等式的性质有关的命题真假的判断，属常规考题.

17．

把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．

【详解】

，

当且仅当，即时成立，

故所求的最小值为．

使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．

18．②⑥

对分别赋值，然后对各个不等式进行排除，对于无法排除的选项利用函数的单调性和差比较法证明成立.

【详解】

令，，排除①，，排除③选项，，排除⑤.当时，排除④.由于幂函数为上的递增函数，故，②是一定成立的.由于，故.故⑥正确.所以一定成立的是②⑥.

本小题主要考查实数比较大小，使用的方法较多，一个是特殊值比较法，也就是对问题中的举出一些具体的数值，然后对不等式的正确与否进行判断.第二个是用函数的单调性的方法来比较，即是如果要比较的两个数和某个函数有点接近，如本题中②，用幂函数的单调性来判断.第三个是用差比较法来判断，如本题中的⑥.

19．（1）；（2）.

（1）根据作差法，由题中条件，即可得出结果；

（2）设，求出，根据题中条件，由不等式的性质，即可求出结果.

【详解】

（1）

∵，∴，，

∴

∴

（2）设

则，

∴，

∴

∵，，

∴，

∴

即.

本题主要考查作差法比较大小，以及不等式的性质求范围，属于常考题型.

20．（1）；（2）.

（1）利用做差法比较两个代数式的大小即可.（2）先利用做商法得出，再分①和②两种情况判断和的大小即可得出结论.

【详解】

（1），

因此，；

（2），

①当时，

即，时，

，

；

②当时，

即，时，

，

.

综上所述，当，且时，.

本题主要考查了利用做差法和做商法比较大小的问题.属于较易题.

21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.

（1）根据作差法证明即可；

（2）由于，故，再结合（1）的结论易证.

【详解】

证明：（1）因为，，所以，。

所以，

故得证；

（2）由不等式的性质知，，

所以，

又因为根据（1）的结论可知，，

所以.

所以.

22．（1）“上位点”为，“下位点”为；（2）是，证明见解析；（3）4039.

（1）根据题设中的定义可得结果；

（2）作差可得，，再根据定义可知结论成立；

（3）根据题意得对时恒成立，根据（2）的结论可知，当，时，满足条件，若，作差可知不成立，可得正整数的最小值为4039.

【详解】

（1）根据题设中的定义可得点的一个上位点"坐标和一个“下位点”坐标分别为和；

（2）点既