2023年江苏省南京市鼓楼区树人中学中考数学三模试卷含解析

第第页2023年江苏省南京市鼓楼区树人中学中考数学三模试卷（含解析）2023年江苏省南京市鼓楼区树人中学中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.化简()

A.B.C.D.

2.截止月中旬，某公司产品订单已经排到了年底，预计年开票收入亿元，用科学记数法表示数据亿是()

A.B.C.D.

3.下面由个完全相同的小正方体组成的几何体的主视图是()

A.

B.

C.

D.

4.用配方法将方程变形，结果正确的是()

A.B.

C.D.

5.如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若恰好过圆心，则的长是()

A.

B.

C.

D.

6.某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：

由于粗心，他算错了其中的一个值，那么这个错误的数值是()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7.若分式的值为，则______．

8.计算的结果是______．

9.如图，已知直线，如果，，那么线段的长是______．

10.已知扇形的半径为，面积为，则该扇形的弧长为______．

11.一元二次方程的两个实数根是，，且，则______．

12.数据，，，，的方差是______．

13.分解因式：．

14.如图，、是的切线，、为切点，点、在上若，则的度数______

15.以下对一次函数的图象进行变化的方案中正确的是______只填序号．

向下平移个单位长度得到一次函数的图象；

向左平移个单位长度得到一次函数的图象；

绕原点旋转得到一次函数的图象；

先沿轴对称，再沿轴对称得到一次函数的图象．

16.在中，，斜边，动点在边上，动点在边上，且，则线段长的最小值______．

三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）

17.解不等式组：．

18.解方程：．

四、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分

计算：

．

．

20.本小题分

如图，为正方形对角线上一点不与、重合，于，于，连接．

求证：；

．

21.本小题分

某运动会期间，甲、乙、丙三位同学参加乒乓球单打比赛，用抽签的方式确定第一场比赛的人选．

若已确定甲参加第一次比赛，求另一位选手恰好是乙同学的概率；

求选中乙、丙两位同学参加第一场比赛的概率．

22.本小题分

市为弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，鼓励学生积极参加志愿活动为了解九年级未入团学生参加志愿活动的情况，从、两所学校九年级未入团学生中，各随机抽取名学生，他们参加志愿活动的时长部分数据如下：

两校志愿活动时长小时如下：

校：

校：

两校志愿活动时长频数分布直方图数据分成组：，，，，；

两校志愿活动时长的平均数、众数、中位数如下：

学校平均数众数中位数

校

校

根据以上信息，回答下列问题：

补全校志愿活动时长频数分布直方图；

直接写出表中，的值；

根据市共青团团委要求，参加志愿活动时长不够小时不能提出入团申请，若校九年级未入团学生有人，从志愿活动时长的角度看，估计校有资格提出入团申请的人数．

23.本小题分

已知二次函数的图象顶点坐标是．

______，______；

点，点在函数图象上，且，比较与的大小；

若该二次函数的图象与一次函数的图象有个公共点，结合图象，直接写出的取值范围．

24.本小题分

如图，公园内有一个垂直于地面的立柱，其旁边有一个坡面，坡角在阳光下，小明观察到在地面上的影长为，在坡面上的影长为同一时刻，小明测得直立于地面长的木杆的影长为其影子完全落在地面上求立柱的高度．

25.本小题分

如图，为的直径，，为上两点，，连接，，，，过点作交的延长线于点．

求证：直线是的切线；

若，，求，的长．

26.本小题分

已知：如图，、是内两点，求作：的直径，使．

已知：如图，、是的半径，求作：弦，使其与、的交点是的三等分点要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明

27.本小题分

课本呈现：

直觉的误差

有一张的正方形纸片，面积是把这张纸片按图所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是四边形，把剪出的个小块按图所示重新拼合，这样就得到了一个的长方形，面积是，面积多了，这是为什么？

小明给出如下证明：如图，可知，，，

，

．

，

，

．

因此、、三点不共线同理、、三点不共线，所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了．

问题探究：

小红给出的证明思路为：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线请你帮小红完成证明；

如图，将正方形沿图中虚线剪成四块图形其中，用这四块图形恰能拼成一个矩形非正方形，求的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：是的算术平方根，则．

故选：．

是的算术平方根，据此即可求解．

本题考查了二次根式的化简，理解算术平方根的意义是关键．

2.【答案】

【解析】解：亿．

故选：．

科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

3.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．根据主视图的定义，找到几何体从正面看所得到的图形即可．

【解答】

解：从正面可看到从左往右列小正方形的个数依次为：，，．

故选：．

4.【答案】

【解析】解：，

，

则，

，即，

故选：．

先将常数项移到方程右边，再将二次项系数化为，最后两边配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方公式即可．

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

5.【答案】

【解析】解：过点作于，交半圆于点，连接，如图，

半圆沿所在的直线折叠，圆弧恰好过圆心，

，

，

，

，即，

为直径，

，

．

故选：．

过点作于，交半圆于点，连接，根据折叠的性质得到，则，则可根据含度的直角三角形三边的关系得，即，根据圆周角定理得，根据含度的直角三角形三边的关系得．

本题考查了垂径定理，折叠的性质和圆周角定理，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

6.【答案】

【解析】解：假设三点，，在函数图象上，

把，，代入函数解析式得：

，

解得，

函数解析式为，

当时，，

当时，，

故选：．

方法二：

解：假设函数经过，，则对称轴为直线，

此时，函数值最小，

函数开口向上，

当时，随的增大而减小，

而表格中，时，，由题意不符，

故选：．

假设三点，，在函数图象上，利用待定系数法求得解析式，然后判断其他两点可得答案．

本题考查了二次函数图象，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，求是二次函数的解析式解题关键．

7.【答案】

【解析】解：由分式的值为零的条件得，，

即且．

故答案是．

根据分式的值为零的条件可以求出的值．

若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．

8.【答案】

【解析】解：

．

故答案为：．

利用二次根式的加法的法则进行运算即可．

本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

9.【答案】

【解析】解：，

，

，

，

，

故答案为：．

根据平行线分线段成比例解答即可．

本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．

10.【答案】

【解析】解：，即，

，

故答案为：．

根据扇形的面积公式进行计算即可．

本题考查扇形面积的计算，掌握是正确解答的前提．

11.【答案】

【解析】解：一元二次方程的两个实数根是，，

，，

，

．

故答案为：．

利用一元二次方程根于系数的关系可得，，再利用即可求解．

本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系时解题关键．常用根与系数的关系解决以下问题：不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．不解方程求关于根的式子的值．如求，等等．判断两根的符号．求作新方程．由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑，这两个前提条件．

12.【答案】

【解析】解：这组数据的平均数为，

这组数据的方差是：．

故答案为：．

先根据计算出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可求出这组数据的方差．

本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、中位数和方差的定义．

13.【答案】

【解析】

【分析】

考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．要求灵活运用各种方法进行因式分解．

观察原式，找到公因式，提出公因式后发现符合平方差公式，所以利用平方差公式继续分解可得．

【解答】

解：．

故答案为：．

14.【答案】

【解析】解：四边形是圆内接四边形，

，

，

，

，

、是的切线，、为切点，

，

，

．

故答案为：．

由圆内接四边形的性质得到，又，得到，由切线长定理得到，因此，故．

本题考查切线长定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是由圆内接四边形的性质求出．

15.【答案】

【解析】解：一次函数的图象向下平移个单位长度得到一次函数，即的图象，

方案正确；

一次函数的图象向左平移个单位长度得到一次函数，即的图象，

方案正确；

一次函数的图象绕原点旋转得到一次函数的图象，

方案正确；

一次函数的图象沿轴对称得到，再沿轴对称得到一次函数，即的图象，

方案正确；

故答案为：．

根据平移规律，旋转的性质，轴对称的性质判断即可．

本题考查了一次函数图象与几何变换，坐标与图形的变化平移，坐标与图形的变化对称，熟练掌握平移的规律是解题的关键．

16.【答案】

【解析】解：以为直径作，当与边相切动点时，最短，

，

，，

，

，

为等边三角形，

，

，

设，，

，

的最小值为．

故答案为．

以为直径作，当与边相切动点时，最短，根据切线的性质求得，进而根据已知求得为等边三角形，得出，设，，从而求得的最小值为．

本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形函数等，熟练掌握性质定理是解题的关键．

17.【答案】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

则不等式组的解集为．

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

18.【答案】解：去分母得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，

原方程的解为：．

【解析】根据解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论解答即可．

此题考查的是解分式方程，掌握其解答步骤是解决此题关键．

19.【答案】解：原式

；

原式

．

【解析】先算零指数幂，负整数指数幂，去绝对值，把特殊角三角函数值代入，再算乘法，最后算加减；

先通分算括号内的，把除化为乘，再分解因式约分．

本题考查分式的化简及实数的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质和实数相关的运算法则．

20.【答案】证明：连接，，

四边形是正方形，

垂直平分，，

，

，，

，

四边形是矩形，

，

；

过点作，垂足为点，延长，交于点，

四边形是正方形，

，

为等腰直角三角形，

，

又，

，

又，，

四边形是正方形，

，

又，

四边形为矩形，

，

，

在与中，

，

则≌，

，

与中，

，，

，

．

【解析】首先连接，，由四边形是正方形，可得垂直平分，即可证得，又由，，证得四边形是矩形，可判定，继而证得结论；

过点作，垂足为点，延长，交于点，利用全等三角形的判定定理可得≌，在与中，根据三角形的内角和定理可得结论．

此题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．

21.【答案】解：根据题意，甲参加第一场比赛时，有甲，乙、甲，丙两种可能，

另一位选手恰好是乙同学的概率；

画树状图如下：

由树状图知共有种等可能结果，其中乙、丙两位同学参加第一场比赛的情况有种，

选中乙、丙两位同学参加第一场比赛的概率为．

【解析】根据概率公式求解可得；

此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单，求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

22.【答案】解：校活动时长频数在组的有人，活动时长频数在组的有人，

补全校志愿活动时长频数分布直方图如图所示，

由表格可知，，，

，；

人，

答：估计校有资格提出入团申请的人数为人．

【解析】根据题意求得在组，在组的人数，补全校志愿活动时长频数分布直方图即可；

根据众数和中位数的定义即可得到结论；

根据活动时长够小时的人数占总人数的百分比乘以，即可得到结论．

本题考查频数分布直方图、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

23.【答案】

【解析】解：二次函数的图象顶点坐标是，

，

，，

故答案为：，；

，

，

，

，，

，，

当时，即；

当时，即；

由题意得，，即，

整理得，，

该二次函数的图象与一次函数的图象有个公共点，

，

解得且．

根据二次函数的顶点坐标求解即可；

利用作差法求解即可．

将二次函数和一次函数联立得到一元二次方程，然后令判别式大于零求解即可．

本题考查了二次函数解析式的图象和性质，二次函数与一次函数的关系，一元二次方程根的判别式，熟练掌握知识点是解题的关键．

24.【答案】解：延长交于点，过点作于点，

在中，，，

则，，

由题意得：，即，解得：，

又，

，

则，

解得：，

答：立柱的高度为．

【解析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题、平行投影的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．

延长交于点，过点作于点，根据直角三角形的性质求出，根据余弦的定义求出，根据题意求出，再根据题意列出比例式，计算即可．

25.【答案】证明：连接，

，

，

，

，

是的半径，

直线是的切线；

解：连接，

为的直径，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

四边形是圆内接四边形，

，

，

，

∽，

，

，

，

的长为，的长为．

【解析】连接，根据已知易得，从而利用平行线的性质可求出，即可解答；

连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而求出，，然后再利用等腰直角三角形的性质，平行线的性质，以及同弧所对的圆周角相等证明，再利用圆内接四边形对角互补可得，从而证明∽，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．

本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

26.【答案】解：作法：连接并延长，以为圆心，的长为半径，画弧，与的延长线交于点；

连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，分别交于点，，

连接，在的右侧与交于点；

连接并延长，与交于点如图：

即为所求．

理由：连接，，，如图，根据作法可知，点与点关于点