幂级数展开课件

第三章幂级数展开(4)

函数有精确表示和近似表示：精确表示（解析表示）表示为初等函数通过四则运算；近似表示（逼近）：将简单/复杂的问题，用通用的方法来表示。简化计算，节省时间。级数表示–研究如何用幂级数不断的逼近原函数。1第三章幂级数展开(4)函数有精确表示和近似表示：12函数级数表示的意义：利用级数计算函数的近似值；级数法求解微分方程；以级数作为函数的定义；奇点附近函数的性态。2函数级数表示的意义：§3.1复数项级数（一）复数项级数的概念3级数是无穷项的和,复无穷级数原级数成为这样复级数归结为两个实级数与

，实级数的一些性质可移用于复级数。§3.1复数项级数（一）复数项级数的概念3级数是无穷项的4（二）收敛性问题1、收敛定义：2、柯西收敛判据（级数收敛的充分必要条件）：

对于任给的小正数ε

必有N存在，使得n>N时，式中p为任意正整数。前n+1项和当n→∞，有确定的极限，

便称级数收敛，

S称为级数和；若极限不存在，则称级数发散。4（二）收敛性问题1、收敛定义：2、柯西收敛判据（级数53、绝对收敛级数若收敛，则绝对收敛.绝对收敛级数改变各项先后次序，和不变.两个绝对收敛级数逐项相乘，得到的级数也是绝对收敛的，级数的和为两级数和之积.53、绝对收敛级数绝对收敛级数改变各项先后次序，和不变.6(三)复变函数项级数的每一项都是复变函数。实际上，对于z

的一个确定值，复变项级数变成一个复数项级数。复变函数项级数有一个定义域B

。收敛-复变函数项级数在其定义域B

中每一点都收敛，则称在B

中收敛。6(三)复变函数项级数的每一项都是复变函数。实际上，对于7柯西收敛判据(复变项级数收敛的充分必要条件)：对B内每点z，任给小正数ε>0，必有N(ε,z)存在，使得当n>N(ε,z)时，式中p为任意正整数。N一般随z不同而不同。但如果对任给小正数ε>0，存在与z无关的N(ε)

,

使得n>N(ε)时，上式成立，便说

在B内一致收敛。7柯西收敛判据(复变项级数收敛的充分必要条件)：对B内每8（四）一致收敛级数的性质记级数和为w

(z)。在B内一致收敛的级数，如果级数的每一项wk(z)

都是B内的连续函数，则级数的和w

(z)也是B内的连续函数。逐项求积分—在曲线l上一致收敛的级数，如果级数的每一项wk(z)都是l上的连续函数，则级数的和w

(z)也是l上的连续函数，而且级数可沿l逐项求积分。8（四）一致收敛级数的性质记级数和为w(z)。逐项求积分9逐项求导数—设级数在中一致收敛，wk(z)

(k=0,1,2,…

)在中单值解析，则级数的和w

(z)也是

中的单值解析函数,

w

(z)的各阶导数可由逐项求导数得到，即：且最后的级数在内的任意一个闭区域中一致收敛。

9逐项求导数—设级数在10（五）级数一致收敛的外氏（Weierstrass）判别法（p34）如果对于某个区域B(或曲线l)上所有各点z,复变项级数各项的模（mk是与z无关的正常数)，而正的常数项级数

收敛，则

在区域B(或曲线l)上绝对且一致收敛。10（五）级数一致收敛的外氏（Weierstrass）判别法11§3.2幂级数（一）定义(3.2.1)

最简单的解析函数项级数是幂级数，其各项均为幂函数其中z0,a0,a1,a2,

…为复常数。这样的级数叫作以z0为中心的幂级数。11§3.2幂级数(3.2.1)最简单的解析12(3.2.3)(3.2.4)引入记号若则实幂级数(3.2.2)收敛，复幂级数(3.2.1)绝对收敛若

则(3.2.2)发散（二）幂级数敛散性

1、比值判别法（达朗贝尔判别法）(3.2.2)12(3.2.3)(3.2.4)引入记号则实幂级数(3.213R收敛发散故当，绝对收敛当，发散R：收敛半径CR:

收敛圆2、根式判别法：13R收敛发散故当，143、幂级数在收敛圆内部绝对且一致收敛幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛！作

，在

收敛发散R有对正的常数项级数应用比值判别法，有143、幂级数在收敛圆内部绝对且一致收敛幂级数在收敛圆内绝对15（三）例题例1

求的收敛圆。t

为复数收敛圆内部为解：收敛圆半径其实，对于15（三）例题收敛圆内部为解：收敛圆半径其实，对于16例2求的收敛圆，z

为复数。解：z平面收敛圆t平面收敛圆16例2求17（四）幂级数在收敛圆内的性质1、幂级数每一项均是z的解析函数，而且在收敛圆内任一闭区域中一致收敛，所以级数的和w(z)是收敛圆内的一个解析函数。2、幂级数在收敛圆内可逐项积分3、幂级数在收敛圆内可逐项求导且幂级数逐项求导或积分后收敛半径不变。17（四）幂级数在收敛圆内的性质且幂级数逐项求导或积分后收敛184.幂级数的积分表示在一个比收敛圆CR

内稍小的圆CR1中幂级数绝对且一致收敛，故可沿CR1这个圆逐项积分。记CR1上点为ζ，而CR1内任一点为z，则圆上的幂级数为利用柯西公式得用(有界)乘后仍一致收敛，收敛发散Rζz此页内容不讲！184.幂级数的积分表示在一个比收敛圆CR内稍小的圆19本节作业：第37页第3题（1，3，4）。19本节作业：第37页20（一）泰勒定理：设

f(z)在以z0

为圆心的圆CR

内解析，则对圆内的任意

z点,f(z)可展为幂级数，

其中展开系数为

为圆CR

内包含z且与CR

同心的圆。ζ为

上的点，z0称为该级数的展开中心。§3.3泰勒（Taylor）级数展开20（一）泰勒定理：设f(z)在以z0为圆心的圆C21其中证明：作 ,因为f(z)在单闭区域

上解析，由柯西公式(2.4.3)

展开（注意

）(3.3.1)21其中证明：作 ,因为f(z)在单闭区域 上解22将（3.3.3）代入（3.3.1）逐项积分

即——以z0为中心的泰勒级数。(3.3.3)可以证明（p39），以z0为中心的泰勒级数是唯一的。泰勒级数的收敛半径R等于展开中心

z0至被展开函数的最近奇点b的距离，即R=

b-z0

22将（3.3.3）代入（3.3.1）逐项积分即——以z023例在z0=0的邻域上将ez展开。解因为故收敛半径（二）将解析函数展成泰勒级数的方法1、直接求导计算——最普通的办法23例在z0=0的邻域上将ez展开。故收敛半径24例

在z0=1的邻域上将ez

展开。解故收敛半径24例在z0=1的邻域上将ez展开。故收敛半径例

在z0=0邻域的上将f1(z)=sinz

和

f2(z)=cosz展开.解25例在z0=0邻域的上将f1(z)=sinz和26类似收敛半径收敛半径26类似收敛半径收敛半径27例

在z0=1邻域的上将展开。解lnz是多值函数，各分支在支点0,∞相连。但z0=1不是支点，在其

z-z0

<1的邻域各分支相互独立。多值函数在确定了单值分支后，可象单值函数那样在各单值分支上作泰勒展开。oyx●127例在z0=1邻域的上将28收敛半径R=1。n=0的那一支为主值分支。例

在z0=0的邻域上将展开(m不是整数).解28收敛半径R=1。n=0的那一支为主值分支。例在z29于是收敛半径R=1。式中n=0为主值分支。(3.3.11)非整数二项式定理。(3.3.11)29于是收敛半径R=1。式中(3.3.11)30于是收敛半径R=1。式中n=0为主值分支。非整数二项式定理。若m为整数30于是收敛半径R=1。式中若m为整数31若存在R,使f(z)在以z=0为圆心，R为半径的圆外（包括∞）解析，2*、无穷远点邻域内的泰勒展开有作变换31若存在R,使f(z)在以z=0为圆心，R为半径的圆3、利用初等函数的泰勒级数进行展开★基本公式★对于其他函数，总是尽量利用这些基本公式323、利用初等函数的泰勒级数进行展开★基本公式★对于其他函数，33例(1)例(2)以z=0为中心，将有理函数 Taylor展开有理函数先化为部分分式后再利用公式解：例(3)以z=0为中心，将函数

泰勒展开33例(1)例(2)以z=0为中心，将有理函数 344、在收敛圆内逐项求导或逐项积分例(4)以z=0为中心，将函数

展开解：例(5)以z=1为中心,将函数

在区域

展开级数的形式为,先将f(z)化成宗量为(z-1)的函数解：344、在收敛圆内逐项求导或逐项积分例(4)以z=0为中35例(6)

在z=0的邻域上将多值函数ln(1+z)展开设f(z)=ln(1+z)，则 ，因此在区域解：n=0为主值分支，在主值分支ln1=0。35例(6)在z=0的邻域上将多值函数ln(1+z)36另解：利用公式p40（3.3.10）（3.3.10）有例(6)

在z=0的邻域上将多值函数ln(1+z)展开36另解：利用公式p40（3.3.10）（3.3.1037本节作业：第41页 (1)利用级数逐项积分,取主值arctg0=0；(2)利用（3.3.11）展开；(8)利用cosz

或sinz级数展开。37本节作业：第41页 38§3.4解析延拓这个答案是已知的(1)(2)(1)(2)两式两边在收敛圆内是相同的，但在收敛圆外等式不一定成立。等式的左边仅在收敛圆内有意义，而等式的右边除t=1(1式)或z=±i(2式)

,在整个复平面上解析。因此，问：已知，求在之外的F(t)。38§3.4解析延拓这个答案是已知的(1)(2)(1)39已知f(z)在b

中解析，若F(z)在B(b∈B)中解析，且在b

中F(z)=f(z)。称F(z)

为f(z)在(B-b)中的解析延拓。采用解析延拓的办法可以扩大函数的定义域和解析范围。解析延拓的方法在b

中取点z0，又取z0的一个邻域，将f(z)展开为泰勒级数。如果这个级数的收敛圆的一部分超出区域b

进入区域B

则此函数的解析区域得以扩大。逐步使用这种方法，可以逐渐将函数解析延拓。可以证明，无论采用何种方法，函数f(z)

的解析延拓是唯一的。这样，可以采用某些最方便的方法来进行解析延拓。39已知f(z)在b中解析，若F(z)在B(§3.5洛朗（Laurent）级数展开（一）双边幂级数正幂部分有收敛半径，R1

，引入新变量

负幂部分成为有收敛半径，其在内部收敛,即在的外部收敛。若R2<

R1

,级数在

内绝对且一致收敛，其和为一解析函数，级数可逐项求导。称为级数的收敛环。若R2

>R1级数发散。40§3.5洛朗（Laurent）级数展开正幂部分有收敛半径，41（二）定理设f(z)在环形区域

的内部单值解析，则对环域上任一点z，f(z)可展为幂级数•z•其中路径C

为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。(3.5.3)(3.5.4)41（二）定理设f(z)在环形区域 的内部单值解析，则42证：作 ,f(z)在闭环形区域

上解析，应用复连通区域上的柯西公式•z•沿沿42证：作 ,f(z)在闭环形区域 上解43代入积分第二项中，令k=-(l+1)，l=-(k+1)，则成为顺时针逆时针逆时针43代入积分第二项中，令k=-(l+1)，l=-(k+44

把两部分合并起来有(3.5.3)C

是环区域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。其中洛朗级数44把两部分合并起来有(3.5.3)C是环区域内按逆时针方45

关于洛朗级数展开的特别说明（p45）(1)尽管上式中含有(z-z0)的负幂次项，而这些项在z=z0

点是奇异的，但z0点可以是也可以不是函数f(z)的奇点；(2)尽管求展开系数ak

的公式与Taylor展开系数的积分公式形式一样，但ak≠f(k)(z0)/k!,不论z0是否f(z)的奇点.若z0

为f(z)的奇点,则f(k)(z0)根本不存在;若z0

不是f(z)的奇点,则f(k)(z0)存在,但仍是ak≠f(k)(z0)/k!。因为成立的条件是在以C为边界的区域上f(z)解析，而现在区域上有f(z)的奇点（若无奇点就无需考虑洛朗

展开了）45关于洛朗级数展开的特别说明（p45）是否f(z)的奇46洛朗

级数展开也是唯一的。因此可用各种方法求一个函数的洛朗展开。(3)如果只有环心z0

是f(z)的奇点，则内圆半

径可以无限小，

z

可以无限接近z0,这时称

（3.5.3）为f(z)在它的孤立奇点z0

邻域上的

洛朗展开式。下节用以研究函数在其孤立

奇点附近的性质。46洛朗级数展开也是唯一的。(3)如果只有环心z0是47

例1在z0=0的邻域上将f(z)=sinz/z展开重新定义z0=0时

f(z)无定义，但在挖去原点的环域中无负幂次项47例1在z0=0的邻域上将f(z)=sinz/48例2

在的环域上将f(z)=1/(z2-1)展开解f(z)的奇点不是展开中心z=0，而是z=1,-1。还是利用公式展开无限多负幂次项48例2在的环域上将49例3在z0=1的邻域将f(z)=1/(z2-1)展开解：其中于是f(z)的奇点是z=1,-1，去心邻域

，(z-1)的幂级数出现-1次幂项49例3在z0=1的邻域将f(z)=1/(z2-1)50例4在z0=0的邻域将展开解无限多负幂次项50例4在z0=0的邻域将51（三）求函数洛朗级数展开方法找出函数的奇点；以展开中心为圆心，以奇点到展开中心的距离为半径作圆；这些圆把复平面化分为若干个展开区域，将函数在各个区域上分别展开。（1）直接法：由定义求.太繁杂，一般不用。（2）间接法：借助一些常用函数的级数展开式，以唯一性为依据，运用幂级数的性质、代数运算、求导和积分等得到解析函数的洛朗展开式。具体步骤：51（三）求函数洛朗级数展开方法找出函数的奇点；（1）直接法52例

以z=0为中心将函数展开(1)解在复平面中f(z)

仅有两个奇点：z=1和z=2，故在复平面中以z=0为中心，可以在以下三个区域进行展开。52例以z=0为中心将函数(2)(3)(2)(3)54本节作业：第47页（3，10，14）。54本节作业：第47页55§3.6孤立奇点的分类在不同类型的奇点附近，函数具有不同的性质.

(一)孤立奇点的定义

若函数f(z)在某点z0

不可导。而在z0

的任意小邻域内除z0

外处处可导，便称z0

为f(z)的孤立奇点。若在

z0点的无论多么小的邻域内，总可以找到除z0

以外的不可导的点，便称z0

为f(z)的非孤立奇点。例1

z=0是函数f(z)=[z(z-1)]-1的孤立奇点，因为在以z=0为圆心，R<1的圆内，除

z=0外，无其它不可导点。例2

z=0是函数[sin(1/z)]-1

的非孤立奇点，因为该函数的奇点为zn=1/n,n=0,±1,±2...,只要n

足够大，1/n

可以任意接近于z=0,即在

z=0的无论多么小的邻域内，总可以找到函数的其它奇点。55§3.6孤立奇点的分类例1z=0是函数f(56(二)孤立奇点的分类设z0是单值函数f(z)的孤立奇点，则在z0

的去心邻域0<|z-z0|<R

上,可展成洛朗

级数：正幂部分：解析部分，负幂部分：主要部分若展式不含负幂项：z0为f(z)的可去奇点若展式含有限个负幂项：z0

为f(z)的极点若展式含无限个负幂项：z0

为f(z)的本性奇点（三）函数在孤立奇点邻域的性质1、可去奇点56(二)孤立奇点的分类若展式不含负幂项：z0为f(z)的57有定义则为Taylor展开。例p45（sinz/z）,可去奇点今后将不作为奇点看待.2、极点57有定义则为Taylor展开。例p45（sinz/z）58m：极点的阶，一阶极点称单极点有设z0是f(z)

的极点，则