【解析】2023-2024学年初中数学九年级上册 24.2 比例线段 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

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2023-2024学年初中数学九年级上册24.2比例线段同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

一、选择题

1．（2023·合肥模拟）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若AD：BD=2：1，点G在DE上，DG：GE=1：2，连接BG并延长交AC于点F，则AF：EF等于（）

A．1：1B．4：3C．3：2D．2：3

2．（2023·婺城模拟）下列各组数中，成比例的是（）.

A．1，，，B．1，4，2，

C．5，6，2，3D．，，1，

3．（2023·合肥模拟）若，则的值等于（）

A．B．C．D．

4．（2023·金山模拟）下列各组中的四条线段成比例的是（）

A．B．

C．D．

5．（2022九上·广平期末）已知，下列变形错误的是（）

A．B．C．D．

6．（2022九上·长春期末）若，则（）

A．B．C．D．

7．（2023七上·景德镇期中）已知非负数x，y，z满足..，设，则W的最大值与最小值的和为（）

A．-2B．-4C．-6D．-8

8．（2023七上·景德镇期末）设，且，则（）

A．673B．C．D．674

二、填空题

9．（2023·宝山模拟）已知线段，，如果线段是、的比例中项，那么．

10．（2023·亳州模拟）如图，点P把线段分成两部分，且为与的比例中项．如果，那么．

11．（2023·桂林模拟）若，则.

12．（2023九上·四川期中）若，则的值为．

13．（2023九上·大邑期中）在平面直角坐标系中，关于

的一次函数

，其中常数k满足

，常数b满足b＞0且b是2和8的比例中项，则该一次函数

的解析式为．

14．（2023九上·五常月考）如图，在中，于点D，点E在线段BD上，F为AC边的中点，将线段EF绕点E逆时针旋转得到EG，点G落在AB边上，若，，，则线段EF的长为．

三、解答题

15．（2022九上·怀宁月考）a，b，c为的三边长，且，，求的面积．

16．阅读下列解题过程，然后解题：

题目：已知互不相等)，求的值.

解：设，则，，

，.

依照上述方法解答下列问题：

已知，其中，求的值.

四、综合题

17．已知(ab≠0)，求下列算式的值：

（1）

（2）

18．（2022·安徽模拟）已知，如图1，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为△ABC外一点，且∠ADC＝90°，E为BC中点，AF∥BC，连接EF交AD于点G，且EF⊥ED交AC于点H，AF＝1．

（1）若，求EF的长；

（2）在（1）的条件下，求CD的值；

（3）如图2，连接BD，BG，若BD＝AC，求证：BG⊥AD．

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】比例的性质；比例线段

【解析】【解答】解：

作DH//BF交AC于H

设HF=a，则AH=2a

故答案为C

【分析】作平行线，利用相似三角形等比例关系即可求出答案。

2．【答案】D

【知识点】比例线段

【解析】【解答】解：A.，不符合题意；

B.，不符合题意；

C.，不符合题意；

D.，符合题意；

故答案为：D.

【分析】利用四条线段成比例的性质，对各选项逐一判断.

3．【答案】B

【知识点】比例的性质

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∴，

故答案为：B．

【分析】根据可得，再求出即可。

4．【答案】D

【知识点】比例线段

【解析】【解答】解：A、∵，

∴四条线段不成比例，不符合题意；

B、∵，

∴四条线段不成比例，不符合题意；

C、∵，

∴四条线段成比例，不符合题意；

D、∵，

∴四条线段成比例，符合题意；

故答案为：D．

【分析】利用比例线段的计算方法求解即可。

5．【答案】A

【知识点】比例的性质

【解析】【解答】可得，所以A选项符合题意；

可得，所以B选项不符合题意；

可得，所以C选项不符合题意；

可得，所以D选项不符合题意；

故答案为：A．

【分析】根据比例的性质逐项即可。

6．【答案】C

【知识点】比例的性质

【解析】【解答】解：将等式的两边同时除以3b，得：

故答案为：C．

【分析】利用比例的性质求解即可。

7．【答案】C

【知识点】代数式求值；比例的性质

【解析】【解答】解：设，

则，，，

，，均为非负实数，

，

解得，

于是，

，

即．

的最大值是-2，最小值是-4，

的最大值与最小值的和为-6，

故答案为：C．

【分析】利用设k法，将x、y、z用含k的表示式表示，代入，再根据k的取值范围求解即可。

8．【答案】B

【知识点】代数式求值；比例的性质

【解析】【解答】解：设

则

将x，y，z的值代入可得：

解得：

故答案为：B.

【分析】令，可将x、z的值用y与a表示，利用求出a的值，然后将所求的式子化简成只含有y与a的式子，再代入求解即可.

9．【答案】

【知识点】比例线段

【解析】【解答】∵线段是、的比例中项，

∴c2=ab=2×8=16，

∴c=±4，

∵c>0，

∴c=4，

故答案为：4.

【分析】利用比例中项的性质可得c2=ab=2×8=16，再求解即可。

10．【答案】

【知识点】比例线段

【解析】【解答】解：∵点P把线段分成两部分，且为与的比例中项，

∴，

∴根据黄金分割的定义可得出：，

∴，

故答案为：．

【分析】根据题意先求出，再根据黄金分割的定义求解即可。

11．【答案】4：3

【知识点】比例的性质

【解析】【解答】解：，

.

，

故答案为：.

【分析】给3a=4b的两边同时除以3b即可得到结果.

12．【答案】-1或2

【知识点】比例的性质

【解析】【解答】解：由,得

b+c=ak①，a+c=bk②，a+b=ck③，

①+②+③，得

2（a+b+c）=k（a+b+c），

移项，得

2（a+b+c）-k（a+b+c）=0，

因式分解，得

（a+b+c）（2-k）=0

a+b+c=0或k=2，

当时，，

，

∴或2．

故答案为：-1或2．

【分析】将进行变形，求出k的值即可。

13．【答案】或

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；比例的性质

【解析】【解答】∵b是2和8的比例中项，

∴2：b=b：8，

解得b=

，

∵b＞0，

∴b=4，

∵，

∴

∴①+②+③，得a+b+c=2k(a+b+c)，

当a+b+c

时，解得k=

，

当a+b+c=0时，k=-1，

∴该一次函数

的解析式为

或

，

故答案为：

或

.

【分析】利用b＞0且b是2和8的比例中项求出b，利用

得到

，解出k的值，即可得到一次函数的解析式.

14．【答案】

【知识点】三角形全等及其性质；比例线段；旋转的性质

【解析】【解答】作FH⊥BC于点H，

，

，

，

设，则，

，

作FH⊥BC，

∴FH是△ACD的中位线，

∵EH=1+3=4

故答案为：．

【分析】先根据已知条件证明，得到，设，则，得到，根据中点的性质得到求出a的值，再作FH⊥BC，求出FH，再得到EF的值．

15．【答案】解：设，

∴，

∵，

∴，

解得：，

∴

∴

∴是直角三角形

∴

【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；比例的性质

【解析】【分析】先求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，然后利用三角形的面积公式计算即可.

16．【答案】解：设，

则

①+②+③得2x+2y+2z=k(x+y+z)，

，

，

原式.

【知识点】分式的化简求值；比例的性质

【解析】【分析】按照题干中的例题思路，设，将这一式子变形可得y+y，x+y=kz，再将这三个式子相加，即可求出k的值，从而可以用z表示（x+y）的值，再代入到所求式子中约分化简，即可求解.

17．【答案】（1）解：设=k，则a=3k，b=2k，

（2）解：

【知识点】分式的约分；比例的性质

【解析】【分析】（1）设=k，可表示出a，b的值，然后代入化简求值.

（2）将a，b的值代入分式，然后化简求值即可.

18．【答案】（1）解：如图1，连接AE，∵AF∥BC，

∴△AHF∽△CHE，

∴，

∴AF=1，＝，

∴＝，

∴CE=3，

在Rt△ABC中，AB=AC，点E是BC的中点，

∴AE=BC=CE=3，AE⊥BC，

∵AF∥BC，

∴AE⊥AF，

∴∠EAF=90°，

根据勾股定理得，EF=

（2）解：由（1）知，EF=，CE=3，

∴BC=2CE=6，

∴AC=，

∵∠EAC=45°-∠CAD，∠ECD=90°-45°-∠CAD=45°-∠CAD，

∴∠EAG=∠ECD，

∵∠AEG=∠CED，AE=CE，

∴△AEG≌△CED（ASA），

∴EG=ED，

∴∠EDG=45°=∠ACE，

∵∠APC=∠EPD，

∴∠PED=∠CAP，

∴∠FEA=∠CAD，

∴△AEF∽△DAC，

∴，

∴，

∴CD=．

（3）证明：如图2，在Rt△ABC中，AB=AC，

∴，，

连接AE，

∵，，

∴，

∵∠EBD=∠DBC，

∴△BED∽△BDC，

∴，

∴CD=DE=GD，

∵CD=AG，

∴AG=GD，

∵BD=AB，

∴BG⊥AD．

【知识点】平行线的性质；勾股定理；推理与论证；比例的性质

【解析】【分析】（1）判断出相似，得出比例式，求出CE，CE和AE相等且垂直，再根据勾股定理求EF。

（2）由（1）的条件，先求出AC，再判断△AEG≌△CED（ASA），得出EG=ED，再判断△AEF∽△DAC，得出比例关系，就可以得出结论

（3）利用AB=AC=BD，判断出△BED∽△BDC，利用相似比例求出CD和DE的关系，根据（2）中的条件，可以判断出AG=GD，最终得出结论

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2023-2024学年初中数学九年级上册24.2比例线段同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

一、选择题

1．（2023·合肥模拟）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若AD：BD=2：1，点G在DE上，DG：GE=1：2，连接BG并延长交AC于点F，则AF：EF等于（）

A．1：1B．4：3C．3：2D．2：3

【答案】C

【知识点】比例的性质；比例线段

【解析】【解答】解：

作DH//BF交AC于H

设HF=a，则AH=2a

故答案为C

【分析】作平行线，利用相似三角形等比例关系即可求出答案。

2．（2023·婺城模拟）下列各组数中，成比例的是（）.

A．1，，，B．1，4，2，

C．5，6，2，3D．，，1，

【答案】D

【知识点】比例线段

【解析】【解答】解：A.，不符合题意；

B.，不符合题意；

C.，不符合题意；

D.，符合题意；

故答案为：D.

【分析】利用四条线段成比例的性质，对各选项逐一判断.

3．（2023·合肥模拟）若，则的值等于（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】比例的性质

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∴，

故答案为：B．

【分析】根据可得，再求出即可。

4．（2023·金山模拟）下列各组中的四条线段成比例的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知识点】比例线段

【解析】【解答】解：A、∵，

∴四条线段不成比例，不符合题意；

B、∵，

∴四条线段不成比例，不符合题意；

C、∵，

∴四条线段成比例，不符合题意；

D、∵，

∴四条线段成比例，符合题意；

故答案为：D．

【分析】利用比例线段的计算方法求解即可。

5．（2022九上·广平期末）已知，下列变形错误的是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】比例的性质

【解析】【解答】可得，所以A选项符合题意；

可得，所以B选项不符合题意；

可得，所以C选项不符合题意；

可得，所以D选项不符合题意；

故答案为：A．

【分析】根据比例的性质逐项即可。

6．（2022九上·长春期末）若，则（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】比例的性质

【解析】【解答】解：将等式的两边同时除以3b，得：

故答案为：C．

【分析】利用比例的性质求解即可。

7．（2023七上·景德镇期中）已知非负数x，y，z满足..，设，则W的最大值与最小值的和为（）

A．-2B．-4C．-6D．-8

【答案】C

【知识点】代数式求值；比例的性质

【解析】【解答】解：设，

则，，，

，，均为非负实数，

，

解得，

于是，

，

即．

的最大值是-2，最小值是-4，

的最大值与最小值的和为-6，

故答案为：C．

【分析】利用设k法，将x、y、z用含k的表示式表示，代入，再根据k的取值范围求解即可。

8．（2023七上·景德镇期末）设，且，则（）

A．673B．C．D．674

【答案】B

【知识点】代数式求值；比例的性质

【解析】【解答】解：设

则

将x，y，z的值代入可得：

解得：

故答案为：B.

【分析】令，可将x、z的值用y与a表示，利用求出a的值，然后将所求的式子化简成只含有y与a的式子，再代入求解即可.

二、填空题

9．（2023·宝山模拟）已知线段，，如果线段是、的比例中项，那么．

【答案】

【知识点】比例线段

【解析】【解答】∵线段是、的比例中项，

∴c2=ab=2×8=16，

∴c=±4，

∵c>0，

∴c=4，

故答案为：4.

【分析】利用比例中项的性质可得c2=ab=2×8=16，再求解即可。

10．（2023·亳州模拟）如图，点P把线段分成两部分，且为与的比例中项．如果，那么．

【答案】

【知识点】比例线段

【解析】【解答】解：∵点P把线段分成两部分，且为与的比例中项，

∴，

∴根据黄金分割的定义可得出：，

∴，

故答案为：．

【分析】根据题意先求出，再根据黄金分割的定义求解即可。

11．（2023·桂林模拟）若，则.

【答案】4：3

【知识点】比例的性质

【解析】【解答】解：，

.

，

故答案为：.

【分析】给3a=4b的两边同时除以3b即可得到结果.

12．（2023九上·四川期中）若，则的值为．

【答案】-1或2

【知识点】比例的性质

【解析】【解答】解：由,得

b+c=ak①，a+c=bk②，a+b=ck③，

①+②+③，得

2（a+b+c）=k（a+b+c），

移项，得

2（a+b+c）-k（a+b+c）=0，

因式分解，得

（a+b+c）（2-k）=0

a+b+c=0或k=2，

当时，，

，

∴或2．

故答案为：-1或2．

【分析】将进行变形，求出k的值即可。

13．（2023九上·大邑期中）在平面直角坐标系中，关于

的一次函数

，其中常数k满足

，常数b满足b＞0且b是2和8的比例中项，则该一次函数

的解析式为．

【答案】或

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；比例的性质

【解析】【解答】∵b是2和8的比例中项，

∴2：b=b：8，

解得b=

，

∵b＞0，

∴b=4，

∵，

∴

∴①+②+③，得a+b+c=2k(a+b+c)，

当a+b+c

时，解得k=

，

当a+b+c=0时，k=-1，

∴该一次函数

的解析式为

或

，

故答案为：

或

.

【分析】利用b＞0且b是2和8的比例中项求出b，利用

得到

，解出k的值，即可得到一次函数的解析式.

14．（2023九上·五常月考）如图，在中，于点D，点E在线段BD上，F为AC边的中点，将线段EF绕点E逆时针旋转得到EG，点G落在AB边上，若，，，则线段EF的长为．

【答案】

【知识点】三角形全等及其性质；比例线段；旋转的性质

【解析】【解答】作FH⊥BC于点H，

，

，

，

设，则，

，

作FH⊥BC，

∴FH是△ACD的中位线，

∵EH=1+3=4

故答案为：．

【分析】先根据已知条件证明，得到，设，则，得到，根据中点的性质得到求出a的值，再作FH⊥BC，求出FH，再得到EF的值．

三、解答题

15．（2022九上·怀宁月考）a，b，c为的三边长，且，，求的面积．

【答案】解：设，

∴，

∵，

∴，

解得：，

∴

∴

∴是直角三角形

∴

【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；比例的性质

【解析】【分析】先求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，然后利用三角形的面积公式计算即可.

16．阅读下列解题过程，然后解题：

题目：已知互不相等)，求的值.

解：设，则，，

，.

依照上述方法解答下列问题：

已知，其中，求的值.

【答案】解：设，

则

①+②+③得2x+2y+2z=k(x+y+z)，

，

，

原式.

【知识点】分式的化简求值；比例的性质

【解析】【分析】按照题干中的例题思路，设，将这一式子变形可得y+y，x+y=kz，再将这三个式子相加，即可求出k的值，从而可以用z表示（x+y）的值，再代入到所求式子中约分化简，即可求解.

四、综合题

17．已知(ab≠0)，求下列算式的值：

（1）

（2）

【答案】（1）解：设=k，则a=3k，b=2k，

（2）解：

【知识点】分式的约分；比例的性质

【解析】【分析】（1）设=k，可表示出a，b的值，然后代入化简求值.

（2）将a，b的值代入分式，然后化简求值即可.

18．（2022·安徽模拟）已知，如图1，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为△ABC外一点，且∠