2022-2023学年陕西省咸阳市秦都区咸阳彩虹中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

第第页2022-2023学年陕西省咸阳市秦都区咸阳彩虹中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）2022-2023学年陕西省咸阳市秦都区咸阳彩虹中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图图形中，是中心对称图形的是()

A.B.C.D.

2.若，则下列结论正确的是()

A.B.C.D.

3.用反证法证明，“在中，、对边是、若，则”第一步应假设()

A.B.C.D.

4.下列各式从左到右，是因式分解的是()

A.B.

C.D.

5.如图，在中，，将沿边所在的直线向下平移得到，与交于，下列结论中不一定正确的()

A.

B.

C.

D.

6.近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，，，三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使，，三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到，，三地距离都相等的地方，则高铁站应建在()

A.，两边垂直平分线的交点处B.，两边高线的交点处

C.，两边中线的交点处D.，两内角的平分线的交点处

7.若关于的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是()

A.B.C.D.

8.如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，点、的对应点分别为点、，连接、，延长交于点下列结论：是等边三角形；垂直平分；；其中正确的结论有()

A.个B.个C.个D.个

二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）

9.命题“等腰三角形有两个内角相等”的逆命题是______命题填“真”或“假”

10.多项式中各项的公因式是______．

11.“与的差不小于的倍”用不等式表示为______．

12.如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，若的周长为，，则的周长为______．

13.在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．

14.已知，，求代数式的值______．

15.如图，在中，，，，点是边上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值______．

三、解答题（本大题共14小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分

因式分解：．

17.本小题分

解不等式：．

18.本小题分

如图，已知，请用尺规作图法在边上找一点，使得点到、两点距离相等不写作法，保留作图痕迹

19.本小题分

如图，把绕点按顺时针方向旋转到的位置，若点、、在同一直线上，且，，求的度数和的长．

20.本小题分

如图，在中，，为边上一点，，求证：是等腰三角形．

21.本小题分

解不等式：，并写出该不等式的最小整数解．

22.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，的顶点都位于方格交点处请在图中画出关于坐标原点成中心对称的点、、的对应点分别为、、

23.本小题分

解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

24.本小题分

有名菜农，每人可种甲种蔬菜亩或乙种蔬菜亩，已知甲种蔬菜每亩可收入万元，乙种蔬菜每亩可收入万元，要使总收入不低于万元，则最多只能安排多少人种甲种蔬菜？

25.本小题分

如图，，分别是的高，且．

求证：≌；

若与相交于点，则点在的角平分线上吗？为什么？

26.本小题分

如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点网格线的交点．

以为旋转中心，将逆时针旋转，得到，请画出．

将向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到，请画出．

27.本小题分

甲、乙两家采摘园的草莓品质相同，销售价格都是每千克元，两家均推出了“周末”优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需要购买门票，采摘的草莓超过千克后，超过部分五折优惠优惠期间，设某游客的草莓采摘量为千克，在甲采摘园所需总费用为元，在乙采摘园所需总费用为元

求、关于的函数关系式；

游客如何选择采摘园使所需总费用较少？并说明理由．

28.本小题分

阅读下列材料：常用分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下：这种分解因式的方法叫分组分解法．

利用这种分组的思想方法解决下列问题：

因式分解：______；

已知，，分别是三边的长，且，请判断的形状，并说明理由．

29.本小题分

综合与实践：

问题情境：

在数学课上，老师给出了如下情境：如图，是等边三角形，点是边的中点，点在直线上运动，连接，以为边向右侧作等边三角形，连接，直线与直线交于点试探究线段与的数量关系及的大小．

初步探究：

如图，当点在线段上时，请直接写出：

与的数量关系；

______

深入探究：

如图，当点在线段的延长线上时，中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；

拓展延伸：

如图，当点在线段的延长线上时，若，，求出的长度．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：选项A、、的图形都不能找到某一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；

选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；

故选：．

根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．

2.【答案】

【解析】解：、，则，故本选项错误；

B、，则，故本选项错误；

C、，，故本选项正确；

D、，，故本选项错误．

故选：．

运用等式的基本性质即可作出判断．

主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是注意不等号的方向是否变化．

3.【答案】

【解析】解：根据反证法的步骤，得

第一步应假设不成立，即．

故选：．

熟记反证法的步骤，直接选择即可．

本题主要考查了反证法，反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

4.【答案】

【解析】解：、是多项式乘法，不是因式分解，故本选项错误；

B、结果不是积的形式，故本选项错误；

C、不是对多项式变形，故本选项错误；

D、运用完全平方公式分解，正确．

故选D．

根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．

这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．

5.【答案】

【解析】解：沿直线边所在的直线向下平移得到，

，≌，

，，

，

观察四个选项，不正确，

故选：．

根据平移的性质逐一判断即可．

本题考查了平移的性质，三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键．

6.【答案】

【解析】解：根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可得：将高铁站修建在到，，三地距离都相等的地方，则高铁站应建在，两边垂直平分线的交点处，

故选：．

根据线段垂直平分线的性质，即可解答．

本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．

7.【答案】

【解析】解：不等式组整理得：，

解得：，

由解集中恰好只有个整数解，得到整数解为，，，，

，

解得：，

故选：．

表示出不等式组的解集，由解集恰好只有个整数解，确定出的范围即可．

此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集是解本题的关键．

8.【答案】

【解析】解：将绕点按顺时针方向旋转，得到，

，，，

是等边三角形，

故正确；

由知，

又，

垂直平分，

故正确；

，，

在中，，

在中，，

，，

故错误，正确；

综上，正确的有个；

故选：．

旋转的性质得到，，，可得是等边三角形，判断，，，得到垂直平分，判断，勾股定理求出，的长，判断，即可得出结论．

本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，勾股定理．熟练掌握旋转的性质，是解题的关键．

9.【答案】真

【解析】解：“等腰三角形有两个内角相等”的逆命题是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，则逆命题是真命题．

故答案为：真．

写出命题“等腰三角形有两个内角相等”的逆命题，再进行判断即可．

此题考查了命题和逆命题、等腰三角形的性质和判定，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解题的关键．

10.【答案】

【解析】解：，

故答案为：．

根据公因式是各项中都含有的因式，可得答案．

此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母；相同字母的指数取次数最低的．

11.【答案】

【解析】解：“与的差不小于的倍”用不等式表示为，

故答案为：．

根据与的差不小于的倍，可知与的差大于等于的倍，从而可以用相应的不等式表示出来．

本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式．

12.【答案】

【解析】解：的垂直平分线分别交，于点，，

，，

的周长为，

，

，

，

的周长，

故答案为：．

先根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据的周长为得到，据此求解即可．

本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．

13.【答案】

【解析】解：由图象可知，关于的不等式的解集为，

故答案为：．

根据两个一次函数的图象交点横坐标为，进一步可得不等式的解集．

本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．

14.【答案】

【解析】解：，，

故答案为：．

根据，，应用提取公因式法，以及完全平方公式，求出代数式的值是多少即可．

此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．

15.【答案】

【解析】解：延长到点，使，

，，

垂直平分，，

，

是等边三角形，

，

线段绕点顺时针旋转，得到线段，

，，

，

≌，

，

当时，最小，

，

故答案为：．

延长到点，使，可得是等边三角形，利用证明≌，得，当时，最小，从而解决问题．

本题主要考查了含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形找出点的运动路径是解题的关键．

16.【答案】解：

．

故答案为：．

【解析】先提公因式，再利用平方差公式即可．

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

17.【答案】解：，

移项及合并同类项，得：，

系数化为，得，．

故原不等式的解集为．

【解析】先移项及合并同类项，再系数化为，即可求出不等式的解集，

本题考查的是解一元一次不等式，解答此题时要注意当不等式的两边同时除以一个负数时，不等号的方向要改变．

18.【答案】解：如图所示，点即为所求的点．

【解析】作的垂直平分线交于，则点满足条件．

本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段的垂直平分线的性质．

19.【答案】解：把绕点按顺时针方向旋转到的位置，

，，，，

点、、在同一直线上，

，．

【解析】利用旋转的性质，可得，，，，利用等边对等角，求出的度数，，求出的度数即可得出结果．

本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握旋转的性质，等边对等角，是解题的关键．

20.【答案】证明：，

，

，

，

，

；

，

，

，

，

是等腰三角形．

【解析】由，根据等腰三角形的两底角相等得到，再根据三角形的内角和定理可计算出，而，则，再根据三角形外角性质得到，于是，再根据等腰三角形的判定可得．

本题考查了等腰三角形的性质和判定定理：等腰三角形的两底角相等；有两个角相等的三角形为等腰三角形．也考查了三角形的内角和定理．

21.【答案】解：，

去分母，得：，

移项及合并同类项，得：，

系数化为，得：，

该不等式的最小整数解是．

【解析】根据解一元一次不等式的方法，可以求得该不等式的解集，然后写出最小整数解即可．

本题考查解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．

22.【答案】解：，，，

关于原点对称的点的坐标为：，，，

如图所示：

【解析】根据关于原点对称的点的坐标特征得到、、的坐标即可解答．

本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，理解关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．

23.【答案】解：，

解不等式得：，

解不等式得：，

原不等式组的解集为：，

该不等式组的解集在数轴上表示为：

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．

本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．

24.【答案】解：设安排人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜的人数为．

由每人可种甲种蔬菜亩或乙种蔬菜亩可得：

甲种蔬菜有亩，乙种蔬菜有亩．

由甲种蔬菜每亩可收入万元，乙种蔬菜每亩可收入万元，要使总收入不低于万元得：

，

．

故最多只能安排人种甲种蔬菜．

【解析】设安排人种甲种蔬菜，则由题意知：，解不等式即可．

解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．

25.【答案】证明：，分别是的高，

，

在和中，

，

≌．

连接，

在和中，

，

≌，

，

，，

点在的平分线上

【解析】根据高的定义求出，根据全等三角形的判定定理推出即可；

连接，由、为三角形的两条高，得到一对直角相等，再由一对对顶角相等，以及，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，再由垂直于，垂直于，利用角平分线逆定理即可得证．

此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

26.【答案】解：解：如图，即为所求；

如图，即为所求．

【解析】根据旋转的性质作出即可；

根据平移的性质作出．

此题考查了平移作图，旋转作图，正确掌握平移的性质及旋转的性质是解题的关键．

27.【答案】解：由题意可得：，

，

即关于的函数解析式是，关于的函数解析式是；

当采摘量等于千克时，在甲、乙两采摘园所需费用相同；当采摘量超过千克时，选择乙采摘园，所需费用较少；当采摘量超过千克且少于千克时，选择甲采摘园所需费用较少；理由如下：

当时，即：，解得，即当采摘量等于千克时，在甲、乙两采摘园所需费用相同；

当时，即：，解得，即当采摘量超过千克时，选择乙采摘园；

当时，即：，解得，即当采摘量超过千克且少于千克时，选择甲采摘园；

由上可得，当采摘量等于千克时，在甲、乙两采摘园所需