2022-2023学年广东省揭阳市榕城区七年级下期末数学试卷含解析

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列图形中，是轴对称图形的是()

A.B.C.D.

2.以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是()

A.、、B.、、C.、、D.、、

3.下列说法正确的是()

A.两点之间，直线最短

B.不相交的两条直线叫做平行线

C.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

D.直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离

4.盒子里有个球，它们只有颜色不同，其中红球有个，黄球有个，黑球有个幸幸从中任意摸一个球，下面说法正确的是()

A.一定是红球B.摸出红球的可能性最大

C.不可能是黑球D.摸出黄球的可能性最小

5.等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长等于()

A.B.C.D.或

6.如图，在中，直线为的垂直平分线，并交于点，连接若，，则的长为()

A.

B.

C.

D.

7.下列运算正确的是()

A.B.

C.D.

8.如图，已知，，增加下列条件：不能使≌的条件()

A.

B.

C.

D.

9.已知，，，那么，，之间满足的等量关系是()

A.B.C.D.

10.如图，点、分别是边、上一点，，，连接、交于点，若的面积为，则与的面积之差等于()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.数据用科学记数法可表示为______．

12.计算的结果是______．

13.某地高山上温度从山脚起每升高米降低，已知山脚下温度是，则温度与上升高度米之间关系式为______．

14.已知，，是三角形的三边长，化简：______．

15.如图，在，，，，是的中线，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，当点运动______时，的面积等于．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分

如图，在中，是边上的一点，．

尺规作图：作平分，交于点，连接不写作法，保留作图痕迹；

求证：．

17.本小题分

先化简再求值：，其中．

18.本小题分

如图，在长方形中，，，点为边上一动点，连接，随着点的运动，的面积也发生变化．

写出的面积与的长之间的关系式；

当时，求的值．

19.本小题分

在一个不透明的袋子中装有个红球和个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球．

摸出的球是红球的概率是多少？摸出的球是黄球的概率是多少？

为了使摸出红球和黄球的概率相同，再放进去个球，那么这个球中红球和黄球的数量分别应是多少？

20.本小题分

如图，中，，，，垂足为．

若，求的度数；

若，求证：≌．

21.本小题分

定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

若是“准互余三角形”，，，则的度数是______；

若是直角三角形，．

如图，若是的平分线，请判断是否为“准互余三角形”？并说明理由．

点是边上一点，是“准互余三角形”，若，则的度数是______．

22.本小题分

定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题．

求的值；

，，，求的值；

若运算的结果为，则的值是多少？

23.本小题分

如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿的路径以的速度运动；点从点出发，沿的方向以的速度运动、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为．

求证：；

用含的式子表示线段的长；

连接，当线段经过点时如图，求的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：选项B能找到这样一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；

选项A、、不能找到这样一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

故选：．

依据轴对称图形的定义进行判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

本题主要考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2.【答案】

【解析】解：、，不能构成三角形，不符合题意；

B、，不能构成三角形，不符合题意；

C、，能构成三角形，符合题意；

D、，不能构成三角形，不符合题意；

故选：．

根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．

本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．

3.【答案】

【解析】解：两点之间，线段最短，故A不符合题意．

B.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故B不符合题意．

C.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故C符合题意．

D.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故D不符合题意．

故选：．

分别根据线段的性质，平行线的定义，垂线、点到直线的距离的定义判断即可．

本题主要考查了线段的性质，平行线的定义，垂线、点到直线的距离的定义，能熟记知识点是解此题的关键．

4.【答案】

【解析】解：从中任意摸出一个球，有可能是红球，有可能是黄球，有可能是黑球，由红球有个，黄球有个，黑球有个，所以摸出红球的概率最大，摸出黑球的概率最小；

故A、、选项说法错误；

故选：．

根据概率的相关概念可进行排除选项．

本题主要考查概率，熟练掌握概率是解题的关键．

5.【答案】

【解析】解：当是腰时，则，不能组成三角形，应舍去；

当是腰时，则三角形的周长是．

故选：．

分两种情况讨论：当是腰时或当是腰时．根据三角形的三边关系，知，，不能组成三角形，应舍去．

本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．此类题不要漏掉一种情况，同时注意看是否符合三角形的三边关系．

6.【答案】

【解析】解：，，

，

垂直平分，

，

故选：．

先求出的长，根据线段垂直平分线的性质可得，即可求出的长．

本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．

7.【答案】

【解析】解：、，计算错误，不符合题意；

B、，计算正确，符合题意；

C、，计算错误，不符合题意；

D、，计算错误，不符合题意；

故选：．

根据积的乘方，负整数指数幂，完全平方公式和平方差公式求解判断即可．

本题主要考查了积的乘方，负整数指数幂，完全平方公式和平方差公式，正确计算是解题的关键．

8.【答案】

【解析】解：，

，

即，

A、加上条件不能证明≌；

B、加上条件可利用定理证明≌；

C、加上条件可利用证明≌；

D、加上条件可利用证明≌；

故选：．

由结合等式的性质可得，再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可．

此题主要考查了三角形全等的判定方法，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，但、，无法证明三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

9.【答案】

【解析】解：，，，

，

，

，

，

，

即

故选：．

利用幂的乘方与积的乘方的法则进行运算即可．

本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

10.【答案】

【解析】解：，

，

，，，

，

即，

同理：，，

，，

，

即，

得：，

故选：．

由的面积为，根据三角形的面积公式和等积代换即可求得．

本题主要考查三角形的面积，掌握等积变换是解答此题的关键．

11.【答案】

【解析】解：数据用科学记数法可表示为：，

故答案为：．

根据用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，即可得到答案．

本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．

12.【答案】

【解析】解：．

故答案为：．

根据积的乘方以及同底数幂的乘法运算法则计算即可．

本题考查了积的乘方以及同底数幂的乘法的运算，熟练掌握相应运算法则是解题的关键．

13.【答案】

【解析】解：每升高降低，则每上升，降低，

则关系式为：；

故答案为：．

每升高降低，则每上升，降低，则上升的高度，下降，据此即可求得函数解析式．

本题考查了列函数解析式，理解每升高降低，则每上升，降低是关键．

14.【答案】

【解析】解：、、是三角形的三边长，

，，，

，，，

．

故答案为：．

此题的关键是根据三角形三边之间的关系得出、、之间的大小关系，再根据绝对值的性质求值．

本题考查了三角形的三边关系以及绝对值的化简，三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边．

15.【答案】或

【解析】解：在，，，，

；

设点运动的时间为，

当时，，，

根据题意得，

解得；

当时，，

根据题意得，

解得，

综上所述，当点运动的时间为或时，的面积等于．

故答案为：或．

设点运动的时间为，当时，，，利用三角形面积公式得到；当时，，根据三角形面积公式得到，然后分别解关于的方程即可．

本题考查了三角形的面积：熟练掌握三角形的面积公式是解答本题的关键：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．

16.【答案】解：如图，即为所求．

证明：平分，

，

，，

≌，

．

【解析】根据角平分线的作图方法作图即可．

根据全等三角形的判定证明≌，即可得．

本题考查作图基本作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及角平分线的作图方法是解答本题的关键．

17.【答案】解：

，

当时，原式

．

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．

本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．

18.【答案】解：由三角形的面积公式得，

，

答：的面积与的长之间的关系式为；

当时，，

答：当时，．

【解析】根据三角形的面积公式即可得出答案；

将代入中的函数关系式进行计算即可．

本题考查函数关系式，掌握三角形面积的计算方法是正确解答的前提．

19.【答案】解：袋子中装有个红球和个黄球，这些球除颜色外都相同，

摸出每一球的可能性相同，

摸出红球的概率是，摸出黄球的概率是；

设放入红球个，则黄球为个，

由题意得：，

解得：，

则，

放进去的这个球中红球个，黄球个．

【解析】直接由概率公式求解即可；

设放入红球个，则黄球为个，由题意：摸出两种球的概率相同，列出方程，解方程即可．

本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

20.【答案】解：，

；

证明：在和中，

，

≌．

【解析】首先根据平行线的性质得到，然后利用直角三角形两锐角互余即可求出的度数；

直接利用证明即可．

此题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点．

21.【答案】或

【解析】解：是“准互余三角形”，，，

，

，

故答案为：；

是“准互余三角形”，

理由：是的平分线，

，

，

，

，

是“准互余三角形”，

是“准互余三角形”

或，

，

或，

当，时，，

当，时，，

的度数为：或．

根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是；

由题意可得，所以只要证明与满足，即可解答，

由题意可得，所以分两种情况，，．

本题考查了三角形内角和定理，余角和补角，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．

22.【答案】解：

；

当，，时，

；

，

，

，

，

，

，

．

【解析】根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可；

结合幂的乘方的法则进行运算即可；

根据新定义的运算，结合幂的乘方与积的乘方的法则进行运算即可．

本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算的法则的掌握．

23.【答案】证明：在和中，

，

≌，

，

；

解：当时，

，

当时，

，

则．

综上所述，线段的长为或；

解：由得：，，

在和中，

，

≌，

，

当时，

，