人教A版2023选修二5.1.1变化率问题含解析

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（共19题）

一、选择题（共10题）

某司机看见前方处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车的过程中，汽车的速度是关于刹车时间的函数，其图象可能是

A．B．

C．D．

设是可导函数，当时，，则

A．B．C．D．

如图，函数的图象在点处的切线方程是，若点的横坐标是，则

A．B．C．D．

汽车行驶的路程和时间之间的函数图象如图，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为

A．B．C．D．

已知某质点的运动方程为，其中的单位是，的单位是，则该质点在末的瞬时速度为

A．B．C．D．

已知函数，则的值为

A．B．C．D．

已知，则在处的瞬时变化率是

A．B．C．D．

某物体的运动规律是，则该物体在到这段时间内的平均速度

A．B．

C．D．

函数在区间上的平均变化率为

A．B．C．D．

设函数，当自变量由变到时，函数的平均变化率是

A．B．C．D．

二、填空题（共5题）

一质点按运动方程做直线运动（表示位移大小，单位：；表示时间，单位：）．若质点在时的瞬时速度大小为，则常数为．

函数与在区间上增长较快的是．

在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度（单位：）是，则运动员的速度，加速度．

已知曲线在点处的瞬时变化率为，则的值为，点的坐标为．

已知，则的导函数．

三、解答题（共4题）

已知气球的体积（单位：）与半径（单位：）之间的函数关系是．

(1)求半径关于体积的函数；

(2)比较体积从增加到和从增加到时半径的平均变化率，哪段半径变化较快（精确到）？此结论可说明什么意义？

蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为，其中，其中为体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位：）．

(1)从到，蜥蜴的体温下降了多少？

(2)从到，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？

已知曲线在点处的切线与轴，直线围成的三角形的面积为，求的值．

已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且，求直线的方程．

答案

一、选择题（共10题）

1.【答案】A

【解析】在刹车过程中，汽车速度呈下降趋势，排除选项C，D；

由于是紧急刹车，所以汽车开始时速度下降非常快，图象较陡，排除选项B．

2.【答案】C

【解析】当时，由，可得，则．

3.【答案】C

【解析】因为函数的图象在处的切线方程是，

所以，又，所以．故选C．

4.【答案】C

【解析】由题意得，，，，

由题图易知，

所以．

5.【答案】C

【解析】，

所以该质点在末的瞬时速度为．

6.【答案】C

【解析】因为，

所以，

所以，

所以

7.【答案】B

【解析】因为，

所以．

8.【答案】A

【解析】由平均速度的定义可知，物体在到这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比，所以．

9.【答案】D

【解析】因为，

所以，，

所以该函数在区间上的平均变化率为．

10.【答案】A

【解析】，

，

所以函数的平均变化率为．

二、填空题（共5题）

11.【答案】

【解析】因为，

所以，当时，瞬时速度大小为，可得，

所以．

12.【答案】

【解析】在上取，，，

因为，

所以，

，

所以，

所以函数在区间上的增长速度慢于函数的增长速度，

故增长较快的为．

13.【答案】；

【解析】，．

14.【答案】；

【解析】因为，

所以，

所以在点处的瞬时变化率为，得，

所以，因此点的坐标为．

15.【答案】

【解析】

故．

三、解答题（共4题）

16.【答案】

(1)因为，

所以，，

所以；

(2)函数在区间上的平均变化率约为．

函数在区间上的平均变化率约为．

显然体积从增加到时，半径变化快，这说明随着体积的增加，气球的半径增加的越来越慢．

17.【答案】

(1)在和时，蜥蜴的体温分别为，，故从到，蜥蜴的体温下降了．

(2)平均变化率为．

它表示从到，蜥蜴的体温平均每分钟下降．

18.【答案】因为，

所以曲线在点处的切线斜率为，

所以切线方程为，即．

令，得切线与轴的交点为，

令