第11章 三角形 单元综合（练习）（含解析）

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第11章三角形单元综合（练习）

一、单选题

1．用三根木条首尾相接连成一个三角形，现有4cm和8cm的木条，那么第三根木条应选择（）

A．3cmB．4cmC．5cmD．12cm

2．下列四个图形中，线段是中边的高的是（）

A．B．

C．D．

3．下列说法中，正确的是（）

A．三角形的高都在三角形内

B．三角形的三条中线相交于三角形内一点

C．三角形的一个外角大于任何一个内角

D．三角形最大的一个内角的度数可以小于60度

4．正多边形每一个外角都等于，则从此多边形一个顶点出发可引的对角线的条数是（）

A．5条B．6条C．7条D．8条

5．在中，，则为（）三角形．

A．锐角B．直角C．钝角D．等腰

6．将一副三角板按如图所示摆放，点D在直角边BC上，，则∠CDF的度数为（）

A．15°B．30°C．25°D．20°

7．如图，在△ABC中，点D在BA的延长线上，点E在BC边上，连接DE交AC于点F，已知，，则∠BED的度数为（）

A．B．C．D．

8．如图：CDAB，BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，∠BAC=40°，∠1=∠2，则下列结论：①∠ACE=2∠4；②CB⊥CF；③∠1=70°；④∠3=2∠4，其中正确的是（）

A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④

9．如图，在中，，是的外角的平分线，平分，与的反向延长线相交于点，则的度数是（）

A．35°B．40°C．45°D．50°

10．如图，已知长方形，连接，是上的一点，连接，，，，，分别表示，，，的面积，则下列等式不正确的是（）．

A．B．C．D．

二、填空题

11．如图所示，王师傅做完门框为防止变形，在门上钉上AB、CD两条斜拉的木条，其中的数学原理是．

12．三角形的中线把三角形分成了面积相等的两部分，而三条中线交于一点，这一点叫此三角形的心．

13．如果一个多边形的内角和等于其外角和的两倍，则这个多边形是边形．

14．已知三角形三边长分别为2，9，，若为偶数，则这样的三角形有个．

15．如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，EFBC于点F．若，BD4，则EF长为．

16．若AD是△ABC的高，∠BAD=70°，∠CAD=20°，则∠BAC的度数为．

17．如图，在中，点D、E、F分别在三边上，E是的中点，、、交于一点G，，，则的面积是．

18．一块三角形空地ABC，三边长分别为20m、30m、40m，李老伯将这块空地分成甲、乙两个部分，分割线为AD，要使得乙块地的面积不少于整块空地面积的三分之一，但又不超过甲块地的面积的三分之二，则CD长的取值范围是．

三、解答题

19．如图所示，

（1）图中有几个三角形？

（2）说出的边和角．

（3）是哪些三角形的边？是哪些三角形的角？

20．已知，，是的三边长．

(1)若，，满足，试判断的形状；

(2)化简：．

21．如图，中，．

（1）画出边上的中线；

（2）画出边上的高；

（3）中，所对的角是______，边上的高是________；

（4）若时，则________．

22．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，线段交点称作格点．

(1)画出△ABC的高CD；

(2)直接写出△ABC的面积是；

(3)在线段AB上找一点E（点E在格点上），连结线段CE，使得线段CE将图中△ABC分成面积相等的两部分．

23．如图，在△ABC中，AE是BC边上的高．

（1）若AD是边BC上的中线，AE=5cm，S△ABC=30cm，求DC的长；

（2）若AD是∠BAC的平分线，∠B=30°，∠C=60°，求∠DAE的度数．

24．已知边形的内角和．

（1）甲同学说，能取360°；而乙同学说，也能取640°，甲、乙的说法对吗？若对，求出边数；若不对，请说明理由．

（2）若边形变为边形，发现内角和增加了540°，用列方程的方法确定．

25．如图，在中，，，于D，点E为BC边上一点，连接AE．把沿着AE对折后，点B的对应点刚好落在AC边上的点F处．

(1)求∠FEC的度数；

(2)求∠DAE的度数．

26．如图，AD为的中线，BE为的中线．

（1）猜想：△ABD与△ADC的面积有何关系？并简要说明理由；

（2）在△BED中作BD边上的高；

（3）若的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？

27．如图，BD是ABC的角平分线，H是CB延长线上一点，过点H作DB的平行线，交AB于点N，交AC于点G，F是BD延长线上一点，连接FG并延长，交AB于点M．

(1)当，时，直接写出：______°，______°．

(2)若，求证：．

28．如图，已知∠BDC＋∠EFC＝180°，∠DEF＝2∠B．

（1）求证：ED∥BC；

（2）若D，E，F分别是AB，AC，CD边上的中点，四边形ADFE的面积为6．

①求△ABC的面积；

②若G是BC边上一点，CG＝2BG，求△FCG的面积．

参考答案：

1．C

【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边解答即可.

【详解】解：设第三根木条为xcm，由题意，得：8-4<x<8+4，即4<x<12，

故选：C.

【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟知三角形的三边关系是解答的关键.

2．A

【分析】根据三角形高的画法知，过点B作BE⊥AC，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断即可．

【详解】解：线段是中边的高的图是选项A．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．

3．B

【分析】根据三角形的有关性质，对选项逐个判断即可．

【详解】解：A、锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，钝角三角形的高不都在三角形内部，故本选项错误，不符合题意；

B、三角形的三条中线相交于三角形内一点，故本选项正确，符合题意；

C、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，故本选项错误，不符合题意；

D、根据三角形内角和等于180°，三角形最大的一个内角的度数大于或等于60度，故本选项错误，不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查三角形高线，中线的概念，三角形外角的性质和三角形内角和定理，掌握这些知识点是解题的关键．

4．C

【分析】首先计算出多边形的边数，再根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线可得答案．

【详解】解：多边形的边数：360°÷36°=10，

从一个顶点出发可以引对角线的条数：10-3=7（条），

故选：C．

【点睛】本题主要考查了多边形的对角线，多边形的外角和定理，关键是掌握n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．

5．B

【分析】根据分别设出三个角的度数，再根据三角形的内角和为180°列出一个方程，解此方程即可得出答案．

【详解】∵

∴可设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x

根据三角形的内角和可得：x+2x+3x=180°

解得：x=30°

∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°

因此△ABC是直角三角形

故答案选择B．

【点睛】本题主要考查的是三角形的基本概念．

6．A

【分析】由两直线平行，同位角相等得到，结合三角板特殊角的特征和三角形的外角得，即可得答案．

【详解】解：设FD与AC交于点G，

因为，

，

又，

，

故选：A．

【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的外角等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．

7．B

【分析】先求出∠C和∠D，再求出∠DEC，最后利用邻补角性质求出∠BED即可．

【详解】∵，

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查了三角形外角的性质和邻补角的性质，解题关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、邻补角互补．

8．C

【分析】根据角平分线的性质可得，，再利用平角定义可得∠BCF=90°，进而可得②正确；首先计算出∠ACB的度数，再利用平行线的性质可得∠2的度数，从而可得∠1的度数，进而可得③正确；利用三角形内角和计算出∠3的度数，然后计算出∠ACE的度数，可分析出①错误；根据∠3和∠4的度数可得④正确．

【详解】解：如图，

∵BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，

∴

∵∠ACG+∠ACD=180°，

∴∠ACF+∠ACB=90°，

∴CB⊥CF，故②正确，

∵CD∥AB，∠BAC=40°，

∴∠ACG=40°，

∴∠ACF=∠4=20°，

∴∠ACB=90°-20°=70°，

∴∠BCD=70°，

∵CD∥AB，

∴∠2=∠BCD=70°，

∵∠1=∠2，

∴∠1=70°，故③正确；

∵∠BCD=70°，

∴∠ACB=70°，

∵∠1=∠2=70°，

∴∠3=40°，

∴∠ACE=30°，

∴①∠ACE=2∠4错误；

∵∠4=20°，∠3=40°，

∴∠3=2∠4，故④正确，

故选：C．

【点睛】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的性质，理清图中角之间的和差关系是解题的关键．

9．C

【分析】根据角平分线的性质，得，，根据三角形内角和、三角形外角的性质计算，即可得到答案．

【详解】∵是的外角的平分线，平分，

∴，

∵

∴

∵，

∴

故选：C．

【点睛】本题考查了角平分线、三角形内角和、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角、角平分线的性质，从而完成求解．

10．B

【分析】根据题意得：△ABP和△ADP的高相等，△ABD和△BCD的面积相等，从而得到，，故D正确，，可得，故B错误，从而得到，可得，进而得到，可得到，故A、C正确，即可求解．

【详解】解：根据题意得：△ABP和△ADP的高相等，△ABD和△BCD的面积相等，

∴，，故D正确，不符合题意；

同理，

∴，故B错误，符合题意；

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，故A、C正确，不符合题意；

故选：B

【点睛】本题主要考查了长方形分割多个三角形的关系，等式基本性质，熟练掌握长方形分割多个三角形的关系，等式基本性质是解题的关键．

11．三角形具有稳定性

【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．

【详解】解：赵师傅这样做是运用了三角形的稳定性．

故答案为：三角形的稳定性．

【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．

12．重

【分析】根据三角形的重心的定义即可求解．

【详解】三角形的三条中线交于一点，这一点叫此三角形的重心；

故答案为：重．

【点睛】本题主要考查了三角形的重心，重心是三角形三边中线的交点；三角形的中线将三角形的面积分成了相等的两部分，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．

13．六##6

【分析】任何多边形的外角和是360°，内角和等于外角和的2倍则内角和是720°．n边形的内角和是（n-2）180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．

【详解】解：根据题意，得（n-2）180=720，

解得：n=6．

故这个多边形的边数为6，

所以，这个多边形是六边形．

故答案为：六．

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决，难度适中．

14．2

【分析】先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再根据x为偶数，确定x的可能取值即可解答．

【详解】解：∵三角形三边长分别为2，9，

∴，

∵x为偶数，

∴x可能是8和10，

即这样的三角形有2个．

故答案为：2．

【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系确定x的取值范围成为解答本题的关键．

15．3

【分析】因为S△ABD=S△ABC，S△BDE=S△ABD；所以S△BDE=S△ABC，再根据三角形的面积公式求得即可．

【详解】解：∵AD是△ABC的中线，S△ABC=24，

∴S△ABD=S△ABC=12，

同理，BE是△ABD的中线，，

∵S△BDE=BDEF，

∴BDEF=6，

即

∴EF=3．

故答案为：3．

【点睛】此题考查了三角形的面积，三角形的中线特点，理解三角形高的定义，根据三角形的面积公式求解，是解题的关键．

16．90°或50°

【分析】分高AD在△ABC内部和外部两种情况讨论求解即可．

【详解】解：①如图1，当高AD在△ABC的内部时，

∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°；

②如图2，当高AD在△ABC的外部时，

∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°，

综上所述，∠BAC的度数为90°或50°．

故答案为：90°或50°．

【点睛】本题考查了三角形的高线，难点在于要分情况讨论．

17．30

【分析】由BD＝2DC，得S△BDG＝2S△GDC，求出S△BEC，根据S△ABC＝2S△BEC可求出答案．

【详解】解：在△BDG和△GDC中，

∵BD＝2DC,这两个三角形在BC边上的高线相等，

∴S△BDG＝2S△GDC，

∴S△GDC＝4.

同理S△GEC＝S△AGE＝3.

∴S△BEC＝S△BDG＋S△GDC＋S△GEC＝8＋4＋3＝15，

∴S△ABC＝2S△BEC＝30.

故答案为：30．

【点睛】本题考查了中线的性质，三角形之间的面积加减计算．注意同底等高的三角形面积相等，面积相等并且同高的三角形底相等．

18．##

【分析】分别求乙块地的面积等于整块空地面积的三分之一，乙块地的面积等于甲块地的面积的三分之二时CD的值，即可求出CD的取值范围．

【详解】解∶当乙块地的面积等于整块空地面积的三分之一时，即，

∴，

当乙块地的面积等于甲块地的面积的三分之二时，即，

∴，

∴，

∴当时，乙块地的面积不少于整块空地面积的三分之一，但又不超过甲块地的面积的三分之二，

故答案为∶．

【点睛】本题考查了三角形面积的应用，掌握等高的两个三角形面积之比等于底之比是解题的关键．

19．（1）图中有：，，，，，共5个；

（2）的边：，，，角：，，；

（3）是，，的边；是，，的角．

【分析】（1）分类找三角形，含AB的，含AD（不含AB）的，含DE（不含AD）的三类即可；

（2）根据组成三角形的三条线段一一找出，利用三角形两边的夹角即可找出；

（3）观察图形，找出含AD的三角形，先找AD左边的，再找AD右边的即可，根据三角形内角的定义，角的两边是三角形的边，找到第三边，在∠C的内部在线段看与角的两边是否相交即可

【详解】解：（1）图中有：以AB为边的三角形有△ABD，△ABC，

以AD为边的三角形有△ADE，△ADC，

再以DE为边三角形有△DEC，

一共有5个三角形分别为，，，，；

（2）的边：，，，

角：，，；

（3）是，，的边；

是，，的角．

【点睛】本题考查三角形的识别，三角形的基本要素，三角形个数，观察图形找出图中的三角形，三角形的组成，找以固定线段的三角形，和固定角的三角形，掌握利用分类思想找出所有的图形，三角形的边与角，共线段三角形以及共角三角形是解题关键．

20．(1)等边三角形

(2)

【分析】（1）根据非负数的性质，可得出a＝b＝c，进而得出结论；

（2）利用三角形的三边关系得到abc＜0，bca＜0，cab＜0，然后去绝对值符号后化简即可．

（1），且，，为等边三角形；

（2），，是的三边长，∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，，，，原式．

【点睛】此题考查绝对值非负性的应用、三角形的三边关系和三角形分类，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题．

21．（1）图见解析；（2）图见解析；（3）∠BAH，BH；（4）．

【分析】（1）根据中线的定义画图即可；

（2）根据高线的定义画图即可；

（3）根据边角关系和高的定义即可得出答案；

（4）根据等面积法计算即可．

【详解】解：（1）如图所示；

（2）如图所示；

（3）中，所对的角是∠BAH，边上的高是BH，

故答案为：∠BAH，BH；

（4）若时，，

即，解得

故答案为：．

【点睛】本题考查作高线和中线，三角形中边角关系．掌握相关定义和等面积法是解题关键．

22．(1)见解析

(2)10

(3)见解析

【分析】（1）取格点D，连接CD即可；

（2）直接利用三角形面积公式求解即可；

（3）取线段AB的中点E，连结线段CE，即可．

【详解】（1）解：如图，CD是△ABC的高；

（2）解：△ABC的面积是×4×5=10；

故答案为：10；

（3）解：如图，CE即为所求作．

【点睛】本题考查了三角形的中线，高等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

23．（1）DC＝6cm；（2）∠DAE=15°．

【分析】（1）利用三角形的中线平分三角形面积得出S△ADC=15cm2，进而利用三角形面积得出CD的长．

（2）依据∠B=30°，∠C=60°，可知△ABC为直角三角形，再根据AD为角平分线，即可得到∠BAD的度数，即可得到∠ADE的度数，进而得出∠DAE的度数．

【详解】解：（1）∵AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE=5cm，S△ABC=30cm2

∴S△ADC=15cm2，

∴×AE×CD=15，

∴×5×CD=15，

解得：CD=6（cm）；

（2）∵∠B=30°，∠C=60°，

∴∠BAC=90°，

又∵AD为∠BAC的平分线，

∴，

∴∠ADE=30°+45°=75°，

又∵AE⊥BC，

∴∠DAE=90°75°=15°．

【点睛】此题主要考查了三角形的面积以及三角形中线、角平分线、以及高线的性质，根据已知得出S△ADC是解题关键．

24．（1）甲对，乙不对，理由详见解析；（2）3

【分析】（1）根据n边形的内角和公式进行说理，其中n为正整数；

（2）根据题意，列方程，解方程即可．

【详解】解：（1）甲对，乙不对．

理由如下：

因为，

所以，

解得；

若，则，

解得．

因为是是正整数，所以不符合题意，

所以不能取640°．

（2）依题意得，

解得．

【点睛】本题考查多边形的内角和等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

25．(1)

(2)

【分析】（1）由折叠的性质得，再根据三角形的外角性质可得结论，

（2）先求出，再由折叠得出，最后根据直角三角形两锐角互余可得结论．

【详解】（1）由折叠知

∵，

∴；

（2）由（1）知，

∴

由对折知，

∴

∵，

∴

【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质以及直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握这些性质是解答本题的关键．

26．（1）相等，理由见解析；（2）见解析；（3）4

【分析】（1）根据三角形中线的性质和三角形面积的求法即可判断；

（2）过点作上的垂线；

（3）利用三角形中位线的性质和已知三角形的面积，求出的面积，已知，由三角形的面积公式即可求出高．

【详解】解：（1）与的面积相等，理由如下：

作，如图1：

，

与的面积相等；

（2）作图过点作上的垂线，如图2：

（3）因为的面积为，，