2022-2023学年福建省宁德市福鼎四中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列交通标志是中心对称图形的为()

A.B.C.D.

2.若，则下列不等式正确的是()

A.B.C.D.

3.下列从左到右的变形中，是因式分解的是()

A.B.

C.D.

4.不等式的解集在数轴上表示正确的是()

A.B.

C.D.

5.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是()

A.，，B.，，C.，，D.，，

6.可取下面哪组值说明“如果，那么”的逆命题是假命题()

A.，B.，

C.，D.，

7.如图，，垂足为，且，若用“”证明≌，则需添加的条件是()

A.

B.

C.

D.

8.如图，在中，，，将此三角形绕点沿逆时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段上，、交于点，则等于()

A.B.C.D.

9.某商场促销，小明将促销信息告诉了妈妈，现假设商品的定价为元，小明妈妈根据信息列出不等式，那么小明告诉妈妈的信息是()

A.买两件等值的商品可减元，再打九折，最后不超过元

B.买两件等值的商品可打九折，再减元，最后不超过元

C.买两件等值的商品可减元，再打九折，最后不到元

D.买两件等值的商品可打九折，再减元，最后不到元

10.在平面直角坐标系中，是以为底边的等腰三角形，，，，其中关于点的位置描述正确的是()

A.在轴上B.随的变化而不同C.在第四象限D.在第三象限

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.不等式的解集是______．

12.因式分解：______．

13.在用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”时，第一步应该假设______．

14.如图，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为______．

15.表、表分别是函数与中自变量与函数的对应值则不等式的解集是______．

表

表

16.如图，已知，，，，的平分线交于点，且将沿折叠使点与点恰好重合则下列结论正确的有：______填写序号

；点到的距离为；；．

三、解答题（本大题共8小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

因式分解：

；

．

18.本小题分

解不等式组：．

19.本小题分

如图，已知等边三角形，点，分别在，的延长线上，求证：≌．

20.本小题分

如图，方格纸上的每个小方格都是边长为的正方形，在建立平面直角坐标系后，点的坐标为．

把向左平移格，画出得到的，则的面积为______；

把绕点按顺时针旋转，画出得到的，则点的坐标为______．

21.本小题分

如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“友好数”如：；；，因此，，都是“友好数”．

是“友好数”吗？为什么？

若一个“友好数”能表示为两个连续奇数和为正整数的平方差，则这个“友好数”是的倍数吗？请用因式分解的方法进行说明．

22.本小题分

如图，已知中，，．

在边上求作一点，使得；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹

在的条件下，若，，求的长度．

23.本小题分

福鼎市某商店准备购进，两种商品，种商品每件进价元，种商品每件进价元商店为了获取一定的利润，将种商品的每件售价定为元，种商品的每件售价定为元．

商店计划用不超过元的资金购进、两种商品共件，请问：种商品的进货数量不超过多少件？

“五一”期间，商店决定开展优惠活动，准备对每件种商品的售价优惠元，但种商品售价不变：已知种商品的进货数量不低于件，在的条件下，求销售这件商品商店获得利润最大时的进货方案．

24.本小题分

在中，，将线段绕点旋转，得到线段，连接、．

如图，将线段绕点逆时针旋转，则的度数为______；

将线段绕点顺时针旋转时，

在图中依题意补全图形，并求的度数；

若的平分线交于点，交的延长线于点，连接用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、不是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：．

根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．

本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

2.【答案】

【解析】解：，

，

故A不符合题意；

，

，

故B不符合题意；

，

，

故C不符合题意；

，

，

故D符合题意，

故选：．

根据不等式的性质不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，分别判断即可．

本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．

3.【答案】

【解析】解：，故本选项不符合题意；

B.，故选项不符合题意；

C.，是整式乘法，故选项不符合题意；

D.，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意．

故选：．

因式分解就是将一个多项式化成几个整式积的形式，据此进行判断即可．

本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．

4.【答案】

【解析】解：不等式的解集在数轴上表示为，

故选：．

用数轴表示不等式的解集即可．

本题考查不等式的解集，掌握用数轴表示不等式解集的方法是正确解答的前提．

5.【答案】

【解析】解：、，，

，

不能构成直角三角形，

故A不符合题意；

B、，，

，

能构成直角三角形，

故B符合题意；

C、，，

，

不能构成直角三角形，

故C不符合题意；

D、，，

，

不能构成直角三角形，

故D不符合题意；

故选：．

根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．

本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．

6.【答案】

【解析】解：命题如果，那么的逆命题是如果，那么，

当，时，，而，说明如果，那么是假命题，

故选：．

先写出原命题的逆命题，再根据绝对值的性质判断即可．

本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确理解绝对值的性质是解题的关键．

7.【答案】

【解析】解：，

理由是：，

，

在和中，

，

≌，

故选：．

求出，根据推出即可．

本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．

8.【答案】

【解析】解：将绕点沿逆时针方向旋转后得到，

，

，

，

由旋转知，，

故选：．

根据旋转的性质得，进而求出，即可求出答案．

本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

9.【答案】

【解析】解：由关系式可知：

由，得出两件商品减元，以及由得出买两件打折，

故可以理解为：买两件等值的商品可减元，再打折，最后不到元．

故选：．

根据，可以理解为买两件等值的商品可减元，再打九折，最后得出总价小于元．

此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据已知得出最后打折是解题关键．

10.【答案】

【解析】解：是以为底边的等腰三角形，

点在的垂直平分线上，

，

整理得：，

，

，则，

，

点在第三象限．

故选：．

根据等腰三角形三线合一可得点在的垂直平分线上，则，即可求出的取值范围．

本题主要考查了等腰三角形的性质，不等式的性质，解题的关键是掌握等腰三角形“三线合一”的性质，以及不等式的性质，平面直角坐标系中各个象限内点的坐标特征．

11.【答案】

【解析】解：，

，

，

故答案为：．

按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．

本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．

12.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．可以写成，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．

【解答】

解：，

故答案为．

13.【答案】一个三角形中有两个角是直角

【解析】解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”时，

第一步应该假设一个三角形中有两个角是直角，

故答案为：一个三角形中有两个角是直角．

根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．

本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．

14.【答案】

【解析】解：过点作于，如图，

平分，，，

，

点是射线上的动点，

的最小值为的值，即．

故答案为：．

过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解．

本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．

15.【答案】

【解析】解：因为一次函数为减函数，一次函数为增函数，

且时，，

所以当时，，

即不等式的解集是．

故答案为：．

观察表中数据易得一次函数为减函数，一次函数为增函数，由于时，，于是可判断当时，．

本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

16.【答案】

【解析】解：在中，，，，

，故正确；

如图，过点作于点，于点，

，，

平分，

，

是的角平分线，

，，

，

，故错误；

由折叠性质可得：，，

设，则，

中，，

，

解得：，

，故错误；

方法一：

设，则，，

，

，

，

，

，

，

解得：或舍去，

，

又，

，

，故正确，

解法二：连接，由内心可知平分，

，

由折叠可知，

，

，

，故正确，

故答案为：．

根据等腰三角形的性质即可判断，根据角平分线的性质即可判断，设，则，结合勾股定理和三角形面积公式进行分析求解，从而判断，利用锐角三角函数可判断．

本题考查解直角三角形，等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质，掌握相关性质定理，正确添加辅助线是解题的关键．

17.【答案】解：；

．

【解析】利用提公因式法进行分解，即可解答；

先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．

18.【答案】解：，

由得：，

由得：，

则不等式组的解集为．

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．

此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．

19.【答案】证明：是等边三角形，

，，

，，

，

在和中，

，

≌．

【解析】根据等边三角形的性质得出，，求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可．

本题考查了全等三角形的判定定理和等边三角形的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．

20.【答案】

【解析】解：如图所示：，点的坐标是．

的面积为：，

故答案为：；

如图所示：，点的坐标是．

故答案为：．

根据平移性质找出对应点的坐标，再连接构成三角形即可；

根据旋转性质找出对应点的位置，连接即可得到答案．

本题主要考查对作图旋转变换，作图平移变换等知识点的理解和掌握，能根据性质正确画图是解此题的关键．

21.【答案】解：是“友好数”，

，

是“友好数”；

是，理由如下：

，

为正整数，

是的倍数，

这个“友好数”是的倍数．

【解析】根据定义将写成两个连续奇数的平方差形式，即可判定是“友好数”；

根据平方差公式计算得到多项式化简结果为，由此判断这个“友好数”是的倍数．

此题考查了新定义运算、因式分解应用，平方差公式，解题的关键是正确理解题意并掌握平方差公式的计算．

22.【答案】解：如图，即为所求．

如图，由得，

，

，，

在中，，

在中，，

．

【解析】过点作于即可．

解直角三角形求出，即可．

本题考查作图复杂作图，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

23.【答案】解：设种商品的数量件，种商品的数量件，

由题意，得，

解得，

为正整数，

答：种商品的进货数量不超过件；

令所获利润为元，则，

，

当，

，

随的增大而增大，

，

时，即购买件，购买件利润最大，

元，

当，

，

，

随的增大而减小，

时，即购买件，购买件利润最大，

答：购买件，购买件利润最大或购买件，购买件利润最大，利润最大．

【解析】根据题意，列不等式，解答即可；

根据一次函数的增减性求最值．

本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用问题，解答本题的关键是读懂题意，找到合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式组求解．

24.【答案】解：

依题意补全图形如图，

由旋转得：，，

，

，，

，，

；

．

证明：过点作，交的延长线于点，