2022-2023学年湖北省孝感市云梦县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.要使二次根式有意义，的值可以为()

A.B.C.D.

2.下列二次根式中，最简二次根式是()

A.B.C.D.

3.如图，一根长为的竹竿斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端离墙壁距离，则该竹竿的顶端离地竖直高度为()

A.

B.

C.

D.

4.以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，不能构成直角三角形的是()

A.，，B.，，

C.，，D.，，

5.如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，，那么的周长为()

A.B.C.D.

6.下列计算正确的是()

A.B.

C.D.

7.如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为()

A.

B.

C.

D.

8.如图：是边长为的正方形的对角线上一点，且，为上任意一点，于点，于点，则的值是()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.化简：______．

10.如图，在菱形中，，则______．

11.如图，平行四边形的顶点，，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是______．

12.已知的整数部分为，小数部分为，则______．

13.如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次综合实践活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中，，，则小正方形的面积是______．

14.如图，在中，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，直线交于点，交的延长线于点若，，则的长为______．

15.如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值为______．

16.如图所示，等腰直角三角形的斜边，顶点在坐标原点，在轴正半轴上，在轴正半轴上，现沿轴正半轴将按顺时针方向翻转，则第次翻转后，顶点的坐标为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

先化简，再求值：其中．

18.本小题分

；

19.本小题分

如图，四边形和都是平行四边形，求证：四边形是平行四边形．

20.本小题分

如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积．

21.本小题分

在矩形中，点在上，，，垂足为．

求证：；

若，且，求．

22.本小题分

如图，城气象台测得台风中心在城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域．

城是否受到这次台风的影响？为什么？

若城受到这次台风影响，那么城遭受这次台风影响有多长时间？

23.本小题分

【发现证明】如图，四边形是正方形，点是上一点，连接，以为一边作正方形，连接，求证：；

【类比探究】如图，连接交于点，连接，试判断、、之间的数量关系，并证明你的结论；

【拓展应用】在的条件下，若，点恰为中点，则的面积为______．

24.本小题分

如图，点为平面直角坐标系内一点，且，满足，过点分别作轴于点，轴于点．

求点的坐标；

点从原点开始沿方向运动，速度为每秒个单位长度，点以相同的速度同时从点开始沿方向运动，当点运动到点处后，、两点运动停止设运动的时间为秒：

当点在线段上运动过程中，若，求的值．

在整个运动过程中，当为何值时，为等腰三角形？

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：要使二次根式有意义，

，

，

四个选项中，只有选项D中的满足题意，

故选：．

根据二次根式有意义的条件进行求解即可．

本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于是解题的关键．

2.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．

【解答】

解：、被开方数含分母，不是最简二次根式，故A选项错误；

B、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故B选项错误；

C、满足最简二次根式的定义，是最简二次根式，故C选项正确；

D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故D选项错误．

故选：．

3.【答案】

【解析】解：，

故选：．

直接利用勾股定理求得的长即可．

本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是能从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．

4.【答案】

【解析】解：、，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

B、，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；

C、，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

D、，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

故选：．

先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．

本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．

5.【答案】

【解析】解：，是平行四边形的对角线得，

，，，

，，

，

故选：．

根据，是平行四边形的对角线得到，，，结合，即可得到答案．

本题考查根据平行四边形的性质求解，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．

6.【答案】

【解析】解：、，计算错误，不符合题意，选项错误；

B、，计算错误，不符合题意，选项错误；

C、，计算错误，不符合题意，选项错误；

D、，计算正确，符合题意，选项正确，

故选：．

根据二次根式的运算法则即可得到答案．

本题考查了二次根式的加、减、乘、除、四则运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．

7.【答案】

【解析】解：菱形的对角线，相交于点，，

，点是的中点，

，

，

，

，

，

故选：．

根据得到，结合得到，结合可得是直角三角形斜边中线即可得到答案．

本题考查菱形的面积公式及性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，解题的关键是求出．

8.【答案】

【解析】解：连接，过作，如图所示：

，

，

，

四边形是正方形，

，，，

，

，，

为中点，

，

即值是．

故选：．

连接，过作，利用面积法求解，的值等于点到的距离，即正方形对角线的一半．

本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法求解是解决问题的关键．

9.【答案】

【解析】解：原式．

故答案为：．

根据二次根式的性质计算．

本题主要考查了二次根式的化简．注意最简二次根式的条件是：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备缺一不可的二次根式叫最简二次根式．

10.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，

，

，

，

故答案为：．

根据四边形是菱形得到，结合即可得到答案．

本题考查菱形的性质，熟知菱形对角线互相垂直平分且平分一组对角是解题的关键．

11.【答案】

【解析】解：如图，在中，，，

，

又，

点的纵坐标与点的纵坐标相等，

；

故答案为：．

根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点的纵坐标与点的纵坐标相等，且即可得到结论．

本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质．此题充分利用了“平行四边形的对边相互平行且相等”的性质．

12.【答案】

【解析】解：，即，

，

，，

，

故答案为：．

根据夹逼法求出的大小，继而求出的大小，即可得到，即可得到答案．

本题考查根数的整数部分与小数部分，解题的关键是根据夹逼法求出根数的范围．

13.【答案】

【解析】解：在中，由勾股定理得，

个直角三角形是全等的，

，

小正方形的边长，

小正方形的面积，

故答案为：．

在中，先根据勾股定理求出的长，再根据个直角三角形是全等的，得出，从而得到小正方形的边长，进一步求出面积．

本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．

14.【答案】

【解析】解：连接，

，

，，，

，

以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，

，，

，

设，

在中根据勾股定理可得，

，

解得：，

，

故答案为：．

连接，根据勾股定理可得，根据作图可得，，即可得到，设，在中根据勾股定理即可求出，即可得到答案．

本题考查垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是根据作图得到垂直平分线．

15.【答案】

【解析】解：连接，，过作，

点为的中点，点为的中点，

，

最大时取得最大值，

，

，

越大越大，

当与重合时最大，

在平行四边形中，

，

，，

，

，

，

，

故答案为：；

连接，过作，根据点为的中点，点为的中点得到，即可得到最大时的最大值，中可得当与重合时最大，结合勾股定理即可得到答案；

本题考查了平行四边形的性质，中位线定理，勾股定理，解题的关键是作出适当的辅助线．

16.【答案】

【解析】解：等腰直角三角形的斜边，

，

由图象可得：图形次一循环，

，

，

故答案为：．

根据题意找到循环次数，根据勾股定求出直角边，即可得到答案．

本题考查图形规律，勾股定理，解题的关键是找到图形的循环规律．

17.【答案】解：原式

，

当时，原式．

【解析】原式利用平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．

此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．

18.【答案】解：原式

；

原式

．

【解析】利用平方根的性质化简，再结合零指数幂的性质以及绝对值的性质化简即可求出答案．

利用平方根的性质化简，再根据实数的运算法则即可解答．

本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，

，，

四边形是平行四边形，

，，

，，

四边形是平行四边形．

【解析】根据四边形是平行四边形得到，，根据四边形是平行四边形得到，，即可得到，，即可得到证明；

本题考查平行四边形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握平行于同一条直线的两条直线互相平行．

20.【答案】解：连接，作于点，

因为，，，

在直角三角形中：，

因为，，，

所以，，

所以，

所以四边形的面积是：，

即四边形的面积是．

【解析】根据勾股定理可以求得的长，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理可以得到的长，然后即可求得四边形的面积．

本题考查勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

21.【答案】证明：在矩形中，，，

，

又，

，

，

在和中，

，

≌，

；

解：，，

，

，

，

．

【解析】根据矩形的性质推出，，利用证明≌，根据全等三角形的性质即可得解；

根据含角的直角三角形的性质及全等三角形的性质求解即可．

此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．

22.【答案】解：由点向作垂线，垂足为，

在中，，，则，

因为，所以城要受台风影响；

设上点，，则还有一点，有

．

因为，所以是等腰三角形，

因为，所以是的垂直平分线，，

在中，，，

由勾股定理得，，

则，

遭受台风影响的时间是：．

【解析】点到直线的线段中垂线段最短，故应由点向作垂线，垂足为，若则城不受影响，否则受影响；

点到直线的长为的点有两点，分别设为、，则是等腰三角形，由于，则是的中点，在中，解出的长，则可求长，在长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．

此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂．

23.【答案】

【解析】证明：四边形和四边形都是正方形，

，，，

，即，

≌，

；

解：，证明如下：

由知≌

，，

，

，

，，三点共线，

四边形是正方形，

，，

在和中，

，

≌，

，

，，

；

解：四边形是正方形，，

，

恰为中点，

，

设，则，

由知

在中，由勾股定理知，

，

解得，

，

，

故答案为：．

只需要利用证明≌即可证明；

由全等三角形的性质得到由，，先证明，，三点共线，再证明≌，得到，即可证明；

先求出，设，则，由结论得到在中，由勾股定理建立方程解得，则，再根据三角形面积公式求解即可．

本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．

24.【答案】解：，，，

，解得：，

，

；

由题意可得，当点在线段上运动时，

，，，，

，

，

，解得，

时，，

：当点在线段上运动时，

，

为等腰三角形