浙教版九年级上册 第4章 相似三角形 达标测试卷 含详解

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浙教版九年级上册第4章相似三角形达标测试卷

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（）

A．1，2，3，4B．1，2，3，6C．2，3，4，5D．1，3，4，7

2．若两个相似多边形周长的比为1：5，则它们的相似比为（）

A．1：25B．1：5C．1：2.5D．1：

3．如图，AD∥BE∥CF，若AB＝2，BC＝4，EF＝5，则DE的长度是（）

A．6B．C．D．

4．如图，△ABC∽△A'B′C′，下列说法正确的是（）

A．∠B＝∠C′B．S△ABC＝2S△A′B'C'C．AC＝4A'C'D．A'B′＝6

5．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（）

A．∠C＝∠AEDB．∠B＝∠DC．＝D．＝

6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF关于原点O位似，若OB＝2OE，S△ABC＝8，则S△DEF为（）

A．2B．4C．D．

7．如图，某同学在A处看见河对岸有一大树P，想测得A与P的距离，他先从A向正西走90米到达P的正南方C处，再回到A向正南走30米到D处，再从D处向正东走到E处，使得E，A、P三点恰好在一条直线上，测得DE＝22.5米，则A与P的距离为（）

A．112.5米B．120米C．135米D．150米

8．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝3，点E为CD的中点，点P为边AB上一个动点，连接AE，PE，过点P作PQ⊥AE于点Q，当△PQE∽△EDA时，AP的长为（）

A．3B．4C．D．

9．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连结弦BC，BD，AD．若∠ABC＝2∠ABD，给出下列结论：①BC＝BE；②2AD2＝AEAB，则下列判断正确的是（）

A．①，②都对B．①，②都错C．①对，②错D．①错，②对

10．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为CD的中点，连接BE，交OC于点P，若OP＝，则线段AB的长度为（）

A．3B．C．3D．5

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为．

12．已知，则＝．

13．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D为格点（即小正方形的顶点），AB与CD相交于点O，则AO的长为．

14．节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处可获得最佳美学效果，若舞台AB长10米，主持人张颖站在舞台AB的一端A处，她要想站在舞台的黄金分割点处，她应从A向前至少走米．（结果精确到0.1米，≈2.236）

15．如图，已知△ABC和△A'B'C是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△A'B'C的周长之比为1：2，点C的坐标为（﹣1，0），若点B的对应点B'的横坐标为5，则点B的横坐标为．

16．如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F．下列结论：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD，其中正确结论的序号是．

三．解答题（共8小题，满分52分）

17．（5分）已知＝，求下列算式的值：

（1）；（2）（a+2b≠0）．

18．（6分）如图，已知△ADE∽△ABC，DE＝3，BC＝9．

（1）求的值；

（2）若AE＝4，求AC的长．

19．（6分）如图，小明欲测量一座古塔AB的高度，古塔AB前有一棵小树CD，他从小树D处后退至F处，使眼睛通过小树的顶端C恰好看到塔顶A，若小明的眼睛E离地面1.5米，小树顶端C离地面2.4米，小明到小树的距离DF＝2米，小树的底部D到塔的底部B的距离DB＝32米，B、D、F在同一条直线上，且AB、CD、EF均与地面BF垂直，求这座古塔AB的高度．

20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标为（﹣4，1）．

（1）画出将△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1的坐标．

（2）在网格内画出以B为位似中心，将△ABC按相似比2：1放大，得到△A2B2C2，并写出C2的坐标．

21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连接DC，交OE于点F．

（1）求证：OE⊥DC；

（2）若，AB＝4，求BD的长；

22．（7分）已知MN∥EF∥BC，点A，D为直线MN上的两动点，AD＝a，BC＝b，AE：BE＝m：n．

（1）当点A，D重合，即a＝0时（如图（1）所示），试求EF；（用含m，n，b的代数式表示）

（2）请直接应用（1）的结论解决下面问题：当A，D不重合，即a≠0时．

①如图（2）所示的这种情况，试求EF；（用含a，b，m，n的代数式表示）

②如图（3）所示的这种情况，试猜想EF与a，b之间有何种数量关系？并证明你的猜想．

23．（8分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，连接CE，过点E作EF⊥EC交AD于点F．

（1）求证：AEAB＝DEAF；

（2）若AB＝1，BC＝2，求FD的长．

24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝6厘米，OB＝8厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动．若P、Q同时出发，运动时间为t（s）．

（1）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？

（2）当t为何值时，△APQ的面积为8cm2？

浙教版九年级上册第4章相似三角形达标测试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．【解答】解：A、1×4≠2×3，所以A选项不符合题意；

B、1×6＝2×3，所以B选项符合题意；

C、2×5≠4×3，所以C选项不符合题意；

D、1×7≠3×4，所以D选项不符合题意；

故选：B．

2．【解答】解：∵相似多边形的周长的比是1：5，

∴相似比是1：5．

故选：B．

3．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，

∴AB：BC＝DE：EF，

即2：4＝DE：5，

∴DE＝2.5，

故选：C．

4．【解答】解：∵△ABC∽△A'B′C′，AB＝12，BC＝2a，B'C'＝a，

∴∠B＝∠B'，S△ABC：S△ABC＝＝4，AC＝2A'C'，A'B'＝AB＝＝6．

故A、B、C错误，D正确；

故选：D．

5．【解答】解：∵∠1＝∠2

∴∠DAE＝∠BAC

∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE

选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，

故选：C．

6．【解答】解：∵△ABC与△DEF关于原点O位似，OB＝2OE，

∴△ABC与△DEF相似比为：2：1，

∴△ABC与△DEF面积之比为4：1，

∵S△ABC＝8，

S△DEF＝2．

故选：A．

7．【解答】解：由题意可得：AC∥DE，∠C＝∠D＝90，

则△ACP∽△EDA，

故，

∵AC＝90m，AD＝30m，DE＝22.5m，

∴PC＝120（m），

∴AP＝＝＝150（m）．

答：A与P的距离为150m．

故选：D．

8．【解答】解：∵ABCD是矩形，AB＝8，AD＝3，点E为CD的中点，PQ⊥AE，

∴DE＝AB＝4，∠D＝∠PQE＝90°，

∴AE＝＝＝5．

当△PQE∽△EDA时，

＝，即＝，

∴QE＝PQ，

∵S△APE＝APAD＝AEPQ，

∴AP3＝×5PQ，

∴PQ＝AP，

∴QE＝×AP＝AP．

在Rt△APQ中，AQ2+PQ2＝AP2，

得：（5﹣AP）2+（AP）2＝AP2，

解得：AP＝4或AP＝﹣（舍去），

即AP的长为4．

故选：B．

9．【解答】解：连接OD，如图，

∵∠AOD＝2∠ABD，∠ABC＝2∠ABD，

∴∠AOD＝∠ABC．

∵∠A＝∠C，

∴△OAD∽△BCE，

∴，

∵OA＝OD，

∴BC＝BE．

∴①的结论正确；

∵∠AOD＝∠ABC，∠ADC＝∠ABC，

∴∠ADC＝∠AOD，

∵∠A＝∠A，

∴△ADE∽△AOD，

∴，

∴AD2＝AEOA，

∵OA＝AB．

∴AD2＝AEAB，

∴2AD2＝AEAB．

∴②的结论正确．

∴判断正确的是①②．

故选：A．

10．【解答】解：如图，过点E作EH⊥AC于H，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，∠ACD＝∠ACB＝∠DBC＝45°，AB＝BC＝CD＝AD，

∴EH∥BD，

∴，

∵E为CD的中点，

∴HE＝OD＝OC，

设CH＝EH＝OH＝x，

∴x，

∴x，

∵EH∥BD，

∴△BOP∽△EHP，

∴OP：PH＝OB：EH＝2：1，

∴：PH＝2：1，

∴，

∴CH＝OH＝OP+PH＝，

∴AB＝2x＝2＝3．

故选：C．

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11．【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，

∴这两个相似三角形的相似比为2：3，

∴它们的对应高的比为：2：3，

故答案为：2：3．

12．【解答】解：∵，

∴a＝2b，

∴＝．

故答案为：2．

13．【解答】解：如图所示：

在△BDF和△ECF中，

，

∴△BDF≌△ECF（AAS），

∴BF＝EF＝，

又∵BF∥DA，

∴△BFO∽△ADO，

∴，

又∵AD＝4，

∴，

在Rt△ABD中，由勾股定理得，

，

又∵AB＝AO+BO，

∴AO＝，

故答案为．

14．【解答】解：设至少向前走x米，

依题意得，，

解得，x＝15﹣5≈3.8（米）．

故答案为：3.8．

15．【解答】解：过点B作BE⊥x作于E，过点B′作B′F⊥x轴于F，

则BE∥B′F，

∴△BCE∽△B′CF，

∴＝，

∵点C的坐标为（﹣1，0），点B'的横坐标为5，

∴CF＝6，

∵△ABC和△A'B'C的周长之比为1：2，

∴△ABC和△A'B'C的相似比为1：2，即＝，

∴＝，

解得：EC＝3，

∴点B的横坐标为﹣4，

故答案为：﹣4．

16．【解答】解：∵将△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转得到△ADE，

∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD，∠E＝∠C，

∴∠B＝∠ADB，

∴∠ADB＝∠ADE，

∴DA平分∠BDE，故②正确；

∵∠AFE＝∠CFD，∠E＝∠C，

∴△AFE∽△DFC，故①正确；

∴∠CDF＝∠EAF，

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠EAF，

∴∠CDF＝∠BAD，故③正确；

故答案为：①②③．

三．解答题（共8小题，满分52分）

17．【解答】解：设＝＝k，则a＝3k，b＝2k，

（1）＝；

（2）＝＝＝．

18．【解答】解：（1）∵△ADE∽△ABC，

∴；

（2）∵，AE＝4，

∴AC＝3AE＝12．

19．【解答】解：过点E作EH⊥AB于点E，交CD于点G．

∵小明、竹竿、古塔均与地面垂直，EH⊥AB，

∴BH＝DG＝EF＝1.5m，EG＝DF，GH＝DB，

∵小明眼睛离地面1.5m，竹竿顶端离地面2.4m，

∴CG＝CD﹣EF＝2.4﹣1.5＝0.9m，

∵CD∥AB，

∴△EGC∽△EHA

∵DF＝2mDB＝32m，

∴＝，

即＝，

解得：AH＝15.3m，

∴AB＝AH+BH＝15.3+1.5＝16.8m，

答：古塔的高度是16.8m．

20．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示：A1（﹣4，﹣1）．

（2）△A2B2C2如图所示：C2（﹣1，﹣3）．

21．【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的直径，

∴∠BDC＝90°，

∵AB＝BC，

∴∠A＝∠ACB，

∵OE＝OC，

∴∠OEC＝∠ACB，

∴∠A＝∠OEC，

∴AB∥OE，

∴∠BDC＝∠OFC＝90°，

∴OE⊥CD；

（2）解：∵OE⊥CD，

∴＝，

∴DE＝CE＝，

∵四边形BCED是⊙O的内接四边形，

∴∠BDE+∠BCE＝180°，

∵∠BDE+∠ADE＝180°，

∴∠ADE＝∠ACB，

∵∠A＝∠ACB，

∴∠A＝∠ADE，

∴AE＝DE＝，

∴AC＝AE+CE＝2，

∵∠A＝∠A，

∴△ADE∽△ACB，

∴＝，

∴＝，

∴AD＝1.5，

∴BD＝AB﹣AD＝2.5，

∴BD的长为2.5．

22．【解答】解：（1）∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴，

∵，

∴，

又BC＝b，

∴，

∴EF＝；

（2）①解：如图2，连接BD，与EF交于点H，

由（1）知，HF＝，EH＝，

∵EF＝EH+HF，

∴EF＝；（1分）

②猜想：EF＝，

证明：如图3中，连接DE，并延长DE交BC于G，

由已知得：BG＝，

EF＝，

∵GC＝BC﹣BG，

∴EF＝（BC﹣BG）＝．

23．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝90°，AB＝DC，

∵AE⊥BD于点E，EF⊥EC交AD于点F，

∴∠AED＝∠FEC＝90°，

∴∠AEF＝∠DEC＝90°﹣∠DEF，∠EAF＝∠EDC＝90°﹣∠ADB，

∴△AEF∽△DEC，

∴＝，

∴＝，

∴AEAB＝DEAF．

（2）解：∵∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝BC＝2，

∴BD＝＝＝，

∵BDAE＝ABAD＝S△ABD，

∴×AE＝×1×2，

∴AE＝，

∴DE＝＝＝，

∵AEAB＝DEAF，

∴×1＝AF，

解得AF＝，

∴FD＝AD﹣AF＝2﹣＝，

∴FD的长是．

24．【解