几何问答之中点题型

,.——几何问题之中点题型1.掌握三角形的内角和定理；2.了解三角形三边的关系，并且能进行简单的应用；3.学习用三角形边、角的关系进行简单的计算和证明；4.学习分析问题、解决问题的能力。知识结构一.中点有关联想归类：1.等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；谢谢阅读2.直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；谢谢阅读3.三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；精品文档放心下载,.4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；精品文档放心下载5.有中点时常构造垂直平分线；6.有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；感谢阅读7.倍长中线。二.与中点问题有关的四大辅助线：1.出现三角形的中线时，可以延长（简称“倍长中线”）；谢谢阅读2.出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线；3.出现三角形边上的中点，作中位线；4.出现等腰三角形底边上的中点，构造“三线合一”。谢谢阅读,.三.几何证明之辅助线构造技巧：1.假如作一条辅助线，能起到什么作用；2.常作那些辅助线能与已知条件联系更紧密，且不破坏已知条件。谢谢阅读模块一、出现三角形的中线，可以延长一、基础回顾1.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。精品文档放心下载,.2.若点C是线段AB的中点，则：①从线段来看：ACBC12AB；精品文档放心下载②从点与点的相对位置来看：点C在点A、B之间，且点A、B关于点C对称。感谢阅读3.三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点所得的线段叫做三角形的中线。感谢阅读①一个三角形有三条中线；②每条中线平分三角形的面积；③三角形的三条中线交于一点，每条中线被该点（重心）分成1:2的两段；精品文档放心下载④三角形的三条中线把三角形分成六个面积相等的小三角形。谢谢阅读二、如何延长三角形的中线1.延长1倍的中线：如图，线段AD是ABC的中线，延长线段AD至E，使DEAD（即延长1倍的中线），再连接BE、CE。谢谢阅读①总的来说，就可以得到一个平行四边形ABCD和两对（中心选转型）全等三角形ABDECD、ACDEBD，且每对全等三角形都关于点D中心对称；精品文档放心下载②详细地说，就是可以转移角：BADCED，CADBED，精品文档放心下载ABDECD，ACDEBD，ADBECD，ADCEDB；可以移边：感谢阅读ABEC，ACEB；可以构造平行线：AB∥EC，AC∥EB；可以构造边长与AB、感谢阅读AC、AD有关的三角形：ABE、ACE。精品文档放心下载（1）延k长倍的中线：（k0且k1）精品文档放心下载如左（右）下图，点E为ABC中线AD（DA延长线）上的点，延长AD至F，使EDFD，连接BE、CE、BF、CF.在平行四边形BFCE中就可以得到类似（1）中的结论。谢谢阅读注意：通常在已知条件或结论中测及到与BE、CE有关的边与角时，会用这种辅助线.感谢阅读【证明】：延长AD,.全等三角形整体做题思路：中线倍长 利用性质解决问题平行四边形1.如图，ABC中，ABAC，AD是中线.求证：DACDAB。谢谢阅读AB D CE到点E使得ADDE，联结CEAD是ABC中线∴BDCD在ADB和EDC中:ADDE∵ADBEDC；∴ADB≌EDCBDCDABCE，DABE又∵ABACCEACDACEDACDAB点评：1.比较角度大小，常用两个方法：一是利用三角形的角度关系，将其中一个角表示为另外一个角加上第三个角；二是利同一三角形中大边对大角进行比较大小；精品文档放心下载2.倍长中线是常用构造辅助线方法，并再结合同一三角形中大边对大角。感谢阅读【证明】：延长ED,.2.如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长谢谢阅读BE交 AC于F.求证：AFEF。谢谢阅读AFEB D CH到点H使得EDDH，联结CHAD是ABC中线∴BDCD在EDB和CDH中:DEDH∵EDBCDH；∴EDB≌CDHBDCDCHBE，BEDH又∵BEACCHACCADHAEFDEBHCADAEFCADAFEF3.已知ABC中，AB12，AC30，求BC边上的中线AD的范围。精品文档放心下载AB D CE【解答】：延长AD到点E使得ADDE，联结CE谢谢阅读,.AD是ABC中线∴BDCD在ADB和EDC中:ADDE∵ADBEDC；∴ADB≌EDCBDCDABCE∴在AEC中，由两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，可得：谢谢阅读ACABAEACAB182AD429AD21点评：求线段的范围，一般利用三角形中“两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”。感谢阅读模块二、斜边中线与中位线一、出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线1.如图，在RtABC中，ACB90o，直角ACB所对的边AB称为RtABC的斜边，由ACBBCA，过点C作CD交AB于点D，且DACACD。精品文档放心下载DACACD，ADCD.ACB90o，BACABC90o，又QACDBCD90o，精品文档放心下载BCDABC，BDCD，BDCDAD，2.发现线段CD为斜边AB上的中线，且等于斜边的一半。精品文档放心下载,.3.作斜边中线，可以构造出等腰三角形，从而得到相等的边、相等的角。感谢阅读4.通常在知道直角三角形斜边的中点的情况下，想到作斜边中线这条辅助线。精品文档放心下载二、出现三角形边上的中点，作中位线1.中位线：连接三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线；也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线；谢谢阅读以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质.感谢阅读2.中位线的性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；谢谢阅读3.中位线辅助线能起到的作用：①在线段大小关系上，三角形的中位线是三角形第三边的一半，起着传递线段长度的功能.精品文档放心下载②在位置上，三角形的中位线平行三角形的第三边，起着角的位置转移和计算角的的功能.精品文档放心下载4.通常在以下两种情况下，会作中位线辅助线：①有两个（或两个以上）的中点时；②有一边中点，并且已知或求证中涉及到线段的倍分关系时。感谢阅读熟悉以下两个图形：,.4.如图，在四边形ABCD中，ABCD，点E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：BGECHE。感谢阅读【证明】：证法一：如图1：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF，感谢阅读则ME是BCD的中位线，∴ME1CD，∴MEFCHE2由MF是ABD的中位线，∴MF1AB，∴MFEBGE，2ABCD，∴MEMF，∴MEFMFE，从而BGECHE。精品文档放心下载（证法二：如图2，延长GE到K,使EKEH，连结BK（略）。或者延长GE到K,使EKGE，连结CK也行。（其余方法略））精品文档放心下载GGHAHAFDFABAC，在AB上取点D，在AC例5.已知：如图，ABC中，DMBDE交BC于点F，若F是DE中点，求证：BDCE。EBCEA图2图1kDFCBE

延长线上取点E，连结C【分析】：要证的BD，CE不在同一个三角形中，而它们所在的三角形又不是同类三角形，无法证明它们全等，由于F是DE的中点，想到利用中点构造中心对称图形或中位线来移动精品文档放心下载BD或CE的位置，把它们集中到同一个三角形中或把不同类三角形转化为同类三角形，使问题得以解决。感谢阅读,.【证明】：方法一：如图2，过D作DM∥CE交BC于M，易证DMF≌ECF,再证BDDM。感谢阅读方法二：如图3，过E作EG∥AB交BC的延长线于G。易证BDF≌GEF,再证：精品文档放心下载ECEG。方法三：如图4,在AC上取点H,使CHCE,连结DH。则CF为EDH的中位线。感谢阅读再证：BDCH。AAADDFCGDHBCCFBMFBE图2E图3E图4方法四:如图5，在AB的延长线上取点N，使BNBD，连结NE。则FB为DNE的谢谢阅读中位线.再证BNCE。方法五:如图6,连结BE,取BE的中点K，取BC的中点M ,连结MK、KF。则MK、感谢阅读KF分别为中位线。再证KMKF，得BDCE。精品文档放心下载方法六:如图7,连结CD,取CD的中点H，取BC的中点I，连结HI、HF。则HI、HF分别为中位线。再证HIHF,得BDCE。感谢阅读AAADDDHCBCBMCBFIFEFNK图7图5图6EE6.已知如图，ABC中，D是BC边的中点，E是AD边的中点，连结BE并延长交AC于点F。求证：FC2AF。谢谢阅读,.【证明】：如图1，过点D做DG∥BF，交AC于G谢谢阅读D是BC边的中点，DG∥BFFGGC。同理，AFFG2AF2FGFGGCFCFC2AF7.如图1-1，已知RtABC中，ABAC，在RtADE中，ADDE，连结EC，取谢谢阅读EC中点M，连结DM和BM，（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1-1，求证：BMDM且BMDM；（2）将图1-1中的ADE绕点A逆时针感谢阅读转小于45o的角，如图1-2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如精品文档放心下载果成立，请给予证明。图1-1 图1-2【分析】：图1-1中由于点M为直角三角形斜边EC的中点，显然要利用斜边中线的性质求谢谢阅读解.图1-2中尽管ADE绕点A进行了旋转，但M为EC的中点的条件依然未变，于是仍然谢谢阅读可以利用中点还原出中心对称基本图形，使问题得解；另一方面，由于旋转之后直角仍然存谢谢阅读在，于是仍可以利用斜边中线及中位线来解决。BEFDM45A123NC图2 图3,.【证明】:（1）如图2，在RtABC和RtADE中，∵M 为公共斜边EC的中点,谢谢阅读∴DM

12ECBM

∴32，6512322，45625谢谢阅读142(25)90o精品文档放心下载BMDM且BMDM（2）成立。方法一：如图3：延长DM至F，使MFDM，连结CF，BF，延长ED交AC于N谢谢阅读易证：EMD≌CMF∴DEMFCM ∴EN∥FC2ACB545o5290o190o(BAC)45o感谢阅读5ABBC,ADDECF∴BAD≌BCF ∴BDBF，ABDCBF精品文档放心下载DBFABC90o∵BDBF ∴BDF为等腰直角三角形MFDMBMDM且BMDM方法二:如图4，取AC的中点F，取AE的中点G，连结MF，BF，MG，DG感谢阅读∴MF,MG为中位线∴MF1AE,MG1AC22∵DG为斜边中线∴1DG2AE,.DGMF。同理，GMAC12BF谢谢阅读MFAG∴四边形AFMG为平行四边形.∴1234，1490o ∴23精品文档放心下载DGM≌MFBBMDM,GMDMBFGMDBMGMBFBMG90o感谢阅读BMDM且BMDM41.如图1，在ABC中，ABAC5，BC6，点M为BC中点，MNAC于点N，感谢阅读则MN等于（）A．6B．9C．12D．165555,.2.如图，ABC中，A=90o，D为斜边BC的中点，E、F分别为AB、AC上的点，且DEDF，若BE3，CF4，试求EF的长。感谢阅读AEFB D C3.如图，在ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G。求证：BFCG谢谢阅读GAFB E D C4.如图所示，已知D为BC中点，点A在DE上，且ABCE，求证：12。精品文档放心下载,.E21AB D C5.如图，ABC中，D是BC边的中点，BEAC于点E，若DAC30o，求证：感谢阅读ABDE。A30EB D C6.如图，已知正方形ABCD中，点E、F分别是BC、AB的中点。求证：AGAD感谢阅读A DFGB E C,.7.如图，正方形CGEF的边CG与正方形ABCD的边BC在同一直线上（CG＞BC），连结感谢阅读AE，取线段AE的中点M。探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。精品文档放心下载练习题目答案C2.【分析】：如下图，可以把ED看作EBC的一条中线。延长ED至点G，使DGED，连接CG、FG。则CDG≌BDE；所以CGBE3，2B。精品文档放心下载因为B1=90o，所以12=FCG=90o谢谢阅读因为DF垂直平分EG，所以FGEF在RtFCG中，由勾股定理得FGCG2CF232425，所以EF5。AEＡF1CBD2G3.【分析】：如下图，可以把FE看作FBC的一条中线；延长FE至点H，使EHFE，连接CH。精品文档放心下载CEH≌BEF，所以CHBF，H1。精品文档放心下载因为EG∥AD，所以12，3G；感谢阅读,.又因为23，所以1G，所以HG感谢阅读由此得CHCG。所以BFCGGA231B

E

D

CH4.【提示】：证法一：如图1，延长ED到F,使DFAD，连结CF谢谢阅读易证ABD≌FCD。 ∴ABCF