统计学课件-抽样推断-1

统计推断包括参数估计和假设检验，即通过样本统计量来估计和检验总体的参数。统计推断的目的在于认识未知的总体参数及其分布特征。第七章抽样推断§1.

点估计样本X1,…,

Xn对一次具体的抽样参数估计有点估计和区间估计。一、点估计点估计是通过计算一个统计量(样本元素的函数)，将它作为未知参数的估计。统计量

未知参数=

d

(X1,…,

Xn)二、估计量估计量是用来估计参数的统计量 用来估计参数

的估计量记为点估计量的构造方法常用的有：矩法和极大似然法(略)例：从平均值为

，标准差为

的总体中抽出样本X1,…,Xn3.点估计量优劣的判别标准衡量一个估计量好坏的标准通常有以下3个：(1)无偏性：如果一个估计量的数学期望值等于被估计参数，则这个估计量称为被估参数的无偏估计量。也就是说：故s2

是的无偏估计量。(2)一致性若随着样本容量n的增大，估计量的值越来越接近于被估计的参数，则该估计量称为一致估计量。n3

n2

n1n1n2n3(3)有效性是参数

的两个无偏估计量，若

的方设差比

的方差小，则称 比

有效。<4.几种总体参数的点估计量例：某公司考虑购买一批减价商品，这批商品共2000件，其中有些是次品，但不知次品量或次品率是多少。公司得知每件次品的修复成本为0.25元，并认为若总的修复成本低于50元，购买这批商品是有利可图的。在决定前，公司抽取100件商品进行调查，发现12件次品。问你估计这批商品的次品率为多少？你认为公司是否可购买这一批商品？解：设样本次品率为p,则总体中的次品量为NP,即计算结果表明：该批商品估计的次品率为12%，次品量为240件，所以该品商品的修复成本为：2400.25=60(元)。由此可见，公司不能购买这批商品。§2.

区间估计一、置信区间与置信度(0)则称1为置信度(或置信水平)；只有一个下限值或只有一个限值的置信区间是单侧置信区间：或置信度与置信区间的关系：置信度越大，则置信区间越长，反之亦然。若要同时使置信度尽可能的大和置信区间尽可能的小，只有提高样本容量n。n"n">nn1二、正态总体参数的区间估计参数

的置信区间已知时，

的置信区间给定置信度1

，要求式的等式左边的括号内的不等式式转化为由于

等于

，所以

等于式中的z1，z2是根据1的大小确定的。见下图：121zz

z"1z

z"21zz/2

z

/2z1=

z

/2

，

z2=

z/2因而，

的双侧置信区间的上、下限公式为：同理可得的单侧置信区间的上限公式或下限公式：1zz或另一种情形：1zz(2)

未知时，的置信区间(小样本)1同(1)类似地，可得或例：设在某证券交易所上市的工业类股票的日收盘价格是下态分布随机变量，随机抽取其中20种股票收盘价得知样本的平均收盘价为30元，方差为6.32。求该市场工业类股票的平均收盘价格的置信区间(=2%)。解：已知n＝20，s2=6.32,未知。查表得=(28.57,31.43)根据以上计算结果，我们可以说，按此区间估计方法，将有98%这样的置信区间包括工业类的股票平均收盘平均收盘价格。或者说，我们有98%的把握说工业类的股票收盘价格界于28.57元至31.43元之间。2.参数2

的置信区间1或三、两个总体平均数之差

1－

2的区间估计对于给定的1

，使得：要求LCL，UCL1P(LCL<

2

<

UCL)=1同理可得：12的双侧置信区间(LCL，

UCL)12的单侧置信区间或对于给定的1

，使得：要求LCL，UCL1P(LCL<

2

<

UCL)=1同理可得：12的双侧置信区间(LCL，

UCL)1－

2的单侧置信区间或四、两个总体方差之比的区间估计要求LCL，UCL1F或五、总体比例P的区间估计假定n

30，且np

5，n(1

p)

5，可近似地把

p(1

p)

替代

P(1

P)或六、两个总体比例之差P1P2的区间估计P1

P2的双侧置信区间LCL，

UCLP1

P2的单侧置信区间或§3 假设检验的一般方法一、假设检验的基本思想例：根据过去的测试知某种电子元件的使用寿命服从N

(0,

2)，经过该产品技术改进后，随机抽取了n个产品进行使用寿命测试结果为：X1,X2,…,Xn，得到平均寿命根据以上资料，可以进行两类统计推断：如果要对技术改进后的产品使用寿命进行统计置信度时对总体平均值

作区间推断，则可在给定1估计，即：第一种：第二种：如果要问改进后的平均使用寿命

是否与改进前的0有明显的差别，则可在给定显著性水平

时对

进行假设检验。(表明技术改进前后的平均使用寿命没有明显差别)(表明技术改进前后的平均使用寿命有明显差别)建立原假设：备择假设：H0：

=0H1：0通过置信区间构造一个水平

的检验：当且仅当

0落在区间之内，就接受H0。/21z/2z/2/2f

(Z)z拒绝域接受域拒绝域1z也有单侧情形:H0：0H1：

>0或H0：0H1：

<01z假设检验的基本思想：经过抽样获取一组数据，即一个来自总体的(随机)样本，如果根据样本计算的某个统计量表明在假设成立的条件下几乎是不可能发生的，就拒绝或否定这个假设，如果不然，则接受这个假设。二、两类错误第I类错误：原假设H0成立，但检验结果是拒绝H0

，这类错误常称为“弃真”，P(I)=第II类错误：原假设H0不成立，但检验结果是接受H0

，这类错误常称为“纳伪”，P(II)=0101是可以选择的，而的真值与较小，而当一般是不能计算的。因0的偏离可能大也可能小，很接近

0时，

有可能为当H0不成立时若偏差大，则很大。一个好的检验应使犯两类错误的概率都很小，但要做到这点，除非所取的样本很大，当样本大小n固定时，与

通常就不能兼顾，通常我们主要考虑控制

，在选定

水平后，使

尽可能小。为检验数水平，也称显著性水在假设检验中，称平。三、假设检验的步骤(一)提出假设H0和H1是两个相反的假设，包括原假设H0和备择假设H1。其所有可能的结果都应包含在这两个假设的范围内，它们的提出确定了所要检验的对象。(显著性水平)下的拒(二)计算检验统计量，确定绝域构造一个检验统计量，要求这个统计量包含着待检验的参数，除此之外，其余的参数(检验统计量所包含的参数)必须是已知的，我们可以通过检验统计量的分布在指定的

下来确定拒绝域。(三)作出决策(结论)并加以解释在决定是否拒绝H0时，我们自然希望作出的决策是正确的，尽量减少犯错误的概率，但在n不变的情况下，要减少

，必然会增加

，而同时减少

和

是不可能的。因此，通常我们主要考虑控制

，在选定

水平后，如果检验统计量的值落入拒绝域内，我们就拒绝原假设，即因为H0不成立，否则就不拒绝H0

。必须指出，若H0在一次检验后没有被拒绝，我们并不能肯定H0一定成立，我们只能说不拒绝，习惯上称为“接受”H0

。§4 参数的假设检验一、总体均值的假设检验(一)提出假设H0：

=0H1：0(三)作出结论若|z|<z/2，则“接受”H0若|z|z

/2，则拒绝H0(二)

检验统计量(若

已知)例：设总体服从标准差为50的正态分布，从该总体抽出某容量为25的随机样本，得出样本平均值为70，试以=0.05的显著水平检验原假设

0=90。解：由题意，已知n=25,=50,0=90H0： =

90H1：90计算检验统计量：查表得拒绝域为：计算结果为:拒绝H0,也就是说有95%的把握否定原假定。=1.96z

=

2

>关于参数的假设检验表原假设H0备择假设H1已知条件检验统计量拒绝域=000=0>0<0已知/2=0000>0<0未知小样本|z|

zz

zz

–z|t| t

/2(n–1)t t

(n–1)t

–t

(n–1)大样本1z/2z/2z1右侧检验1z左侧检验二、总体方差2的假设检验原假设H0备择假设H1检验统计量拒绝域2

=

202202202

>22202

<200111三、两个总体均值之差已知条件检验统计量拒绝域2原假设H0

备择假设H11

=12121221

>1

<2/2/2|z|

zz

zz

–z/2|t|

t

/2(n1+n2t

t

(n1+n2–t–t

(n1+n221

=121212已知1

>

2

未知小1

<

2

样本大样本时：t

z四、两个总体的方差比的假设检验原假设H0备择假设H1检验统计量拒绝域五、成数p

的假设检验原假设H0检验统计量P

=

P0P

P0P

P0备择假设H1P

P0P

>

P0P

<

P0/2拒绝域|z|

zz

zz

–z六、两总体成数之差的假设检验/2原假设H0备择假设H1检验统计量拒绝域P1

=

P2P1

P2P1

P2P1

>

P2|z|zzzP1

P2P1

<

P2z–z(分别用p1,p2近似代替P1,P2)例：某制造厂生产某装置的平均工作温