2022-2023学年辽宁省沈阳市某中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.小明每分钟跳绳次数的正常范围为少于次，但不少于次，若表示小明每分钟跳绳的次数，则用不等式表示为()

A.B.C.D.

2.使分式有意义的的取值范围为()

A.B.C.D.

3.下列从左边到右边的变形是因式分解的是()

A.B.

C.D.

4.把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是()

A.B.C.D.

5.下列分式是最简分式的是()

A.B.C.D.

6.如图所示，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是()

A.

B.

C.

D.

7.若分式中的，都扩大倍，则该分式的值()

A.不变B.扩大倍C.扩大倍D.缩小为原来的

8.如图，在中，，为上一点，，，则的度数为()

A.B.C.D.

9.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于”时，首先应假设：这个三角形中()

A.有一个内角小于B.有一个内角大于

C.每一个内角都小于D.每一个内角都大于

10.若关于的不等式组的整数解恰有个，则的取值范围为()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.多项式因式分解时，应提取的公因式是______．

12.如图，将沿所在的直线平移得到若，，则______．

13.对于非零实数，，规定，若，则______．

14.如图，正方形的两边、分别在轴、轴上，点在边上，以为中心，把旋转，则旋转后点的对应点的坐标是___________．

15.某自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过立方米，则每立方米收费元；若每户每月用水超过立方米，则超出部分每立方米收费元小颖家每月水费都不少于元，则小颖家每月用水量至少是______立方米．

16.如图，在中，，，，点为上一点，将线段绕点顺时针旋转得线段，点在射线上，当的垂直平分线经过一边中点时，的长为______．

三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

18.本小题分

把下列各式因式分解：

；

．

19.本小题分

已知，求代数式的值．

20.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．

解答下列问题：

与关于点成中心对称，请画出点，，的对应点分别为点，，；

将先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到请画出点，，的对应点分别为点，，；

格点满足射线平分，则点的坐标为______．

21.本小题分

下面是小明设计的“作一个含角的直角三角形”的尺规作图过程．

已知：如图，直线及直线上一点求作：，使得，．

作法：如图，

在直线上取点；

分别以点，为圆心，长为半径画弧，交于点，；

作直线，交直线于点；

连接．

为所求作三角形．

根据小明的设计，解答下列问题：

使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；

写出证明过程和依据．

证明：连接，，．

，

是______三角形，

，

，______，

点，在线段的垂直平分线上______，

，

，

______，

．

22.本小题分

如图，在中，，为外一点，且，，请写出线段，与之间的数量关系，并证明你的结论．

23.本小题分

某小区改造一段总长米的下水道管线，实际施工时，每天的施工效率比原计划提高了，可提前天完成任务．

求实际施工时，每天改造下水道管线的长度；

施工进行天后，为了减少对小区居民日常生活的影响，施工单位决定再次加快施工进度以确保总工期不超过天，那么以后每天改造下水道管线至少还要增加多少米？

24.本小题分

在中，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，旋转角为，点的对应点为点，点的对应点为点．

如图，设边与交于点，边分别交，于点，．

求证：；

当为等腰三角形时，请直接写出的长；

当时，连接，，请直接写出的面积；

在旋转过程中，当的面积的最大时，请直接写出的长．

25.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，与直线交于点．

求，的长；

直线分别交直线，于点，，直线与直线，交于点，，若，求的值；

在的条件下，将沿射线的方向以每秒个单位长度的速度匀速平移，设移动时间为秒在移动的过程中，点到直线，的距离相等，请直接写出此时的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：根据题意得：．

故选：．

根据“小明每分钟跳绳次数的正常范围为少于次，但不少于次”，即可列出关于的一元一次不等式组，此题得解．

本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．

2.【答案】

【解析】解：分式有意义，

．

解得：．

故选：．

分式有意义的条件是分母不等于零．

本题主要考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于零是解题的关键．

3.【答案】

【解析】解：，从左边到右边的变形是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；

B.多项式在实数范围内不能因式分解，故本选项不符合题意，

C.，从左边到右边的变形是因式分解，故本选项符合题意；

D.，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；

故选：．

根据因式分解的定义逐个判定即可．

本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．

4.【答案】

【解析】解：依题意得这个不等式组的解集是：．

A、解集是：，故A错误；

B、解集是：，故B错误；

C、解集是：，故C正确；

D、解集是：，故D错误；

故选：．

本题根据数轴可知的取值为：，将不等式变形，即可得出关于的不等式组．把各个选项的解的集合写出，进行比较就可以得到．

考查不等式组解集的表示方法．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，向右、向左．

5.【答案】

【解析】解：、，不是最简分式，不符合题意；

B、，不是最简分式，不符合题意；

C、，是最简分式，符合题意；

D、，不是最简分式，不符合题意；

故选：．

根据分式的基本性质、最简分式的概念判断即可．

本题考查的是最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．

6.【答案】

【解析】解：过作于点，

平分，，

，

，

故选：．

根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答．

此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出解答．

7.【答案】

【解析】解：根据题意得：，

即若分式中的，都扩大倍，则该分式的值不变．

故选：．

根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行计算即可．

本题考查了分式的基本性质，能根据分式的基本性质进行化简是解此题的关键．

8.【答案】

【解析】解：，

，

，

，

，

，

又，

，

，

故选：．

可得，可得，，可得，在中利用三角形内角和定理可求出．

本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．

9.【答案】

【解析】解：反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于”时，首先应假设：这个三角形中每一个内角都小于，

故选：．

根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．

本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

10.【答案】

【解析】解：不等式整理得，

关于的不等式组的整数解恰有个，

．

故选：．

分别解出两个一元一次不等式的解集，再根据已知条件，原一元一次不等式组的整数解恰有个，确定该不等式组解集的公共解集，进而求得的取值范围．

本题考查一元一次不等式组的整数解、不等式的解集等知识，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

11.【答案】

【解析】解：多项式因式分解时，应提取的公因式是．

故答案为：．

根据找公因式的方法找出各项的公因式即可．

本题考查了因式分解提公因式法，能熟记找公因式的方法系数找多项式各项系数的最大公因数，相同字母找最低次幂是解此题的关键．

12.【答案】

【解析】解：由平移变换的性质可知，

，

．

故答案为：．

判断出，再利用线段的和差定义求解．

本题考查平移的性质，解题的关键是学会利用平移变换的性质解决问题，属于中考常考题型不．

13.【答案】

【解析】解：由题意得：

，

解得：．

经检验，是原方程的根，

．

故答案为：．

利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．

本题主要考查了解分式方程，本题是新定义型题目，准确理解新规定并熟练应用是解题的关键．

14.【答案】或

【解析】解：因为点在边上，

所以，；

若把顺时针旋转，

则点在轴上，，

所以；

若把逆时针旋转，

则点到轴的距离为，到轴的距离为，

所以，

综上，旋转后点的对应点的坐标为或．

故答案为：或．

根据题意，分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，求出点到轴、轴的距离，即可判断出旋转后点的对应点的坐标是多少．

此题主要考查了坐标与图形变化旋转，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是要注意分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况．

15.【答案】

【解析】解：设小颖家每月用水量是立方米，

根据题意得：，

解得：，

的最小值为，

即小颖家每月用水量至少是立方米．

故答案为：．

设小颖家每月用水量是立方米，利用每月水费超出立方米的部分，结合小颖家每月水费都不少于元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．

本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

16.【答案】或或

【解析】解：，，，

，，

的垂直平分线经过一边中点，可分为以下三种情况：经过的中点；经过的中点；经过的中点．

当经过的中点时，交于点，如图：，

绕点顺时针旋转得线段，

，

，

是的外角，

，

垂直平分，

，

是等边三角形，

，

，

；

当经过的中点时，交于点，如图：，

，垂直，

，

，

在中，，

，

，

点在上，

，

，

是的外角，

，

，

，

在中，，

，

由勾股定理得：；

当经过的中点时，交于点，如图：，

同理可证：，

在中，，，

．

综上：的长为：或或．

故答案为：或或．

本题需考虑经过各边中点，共三种情况，依次讨论即可．

本题综合考查了垂直平分线，含角的直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点．分类讨论思想是解题的关键，同时也是本题的易错点．

17.【答案】解：由得：，

由得：，

则不等式组的解集为，

将解集表示在数轴上如下：

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

18.【答案】解：

；

．

【解析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；

先利用完全平方公式，再利用平方差公式继续分解即可解答．

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．

19.【答案】解：原式

，

，

，

原式．

【解析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，根据等式的性质把已知等式变形，整体代入得到答案．

本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．

20.【答案】

【解析】解：即为所求；

即为所求；

点的坐标为，

故答案为：．

根据网格线的特点及中心对称的性质作图；

根据网格线的特点及平移的性质作图；

根据正方形的性质求解．

本题考查了作图旋转和平移，掌握网格线的特点、中心对称的性质及平移的性质是解题的关键．

21.【答案】等边与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上直角三角形两个锐角互余

【解析】解：如图，即为补全的图形；

证明：如图，连接，，．

，

是等边三角形．

．

，，

点，在线段的垂直平分线上与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

．

．

直角三角形的两个锐角互余．

．

故答案为：等边；；与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；直角三角形两个锐角互余．

根据作图过程即可补全图形；

根据作图过程可得是等边三角形．根据线段垂直平分线的性质和直角三角形两个锐角互余即可完成证明．

本题考查了作图复杂作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．

22.【答案】解：，

证明：延长到点，使，连接，

，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，，

，

，

是等边三角形，

，

，

．

【解析】延长到点，使，连接，由，得，所以，则，即可证明≌，得，，而，所以，则是等边三角形，所以，即可证明．

此题重点考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

23.【答案】解：设原计划每天改造下水道管线米，则实际施工时每天改造下水道管线米，

由题意得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意．

，

答：实际施工时，每天改造下水道管线的长度是米；

设以后每天改造下水道管线还要增加米，

由题意得：，

解得：，

答：以后每天改造下水道管线至少还要增加米．

【解析】设原计划每天改造下水道管线米，则实际施工时每天改造下水道管线米，根据比原计划提前天完成任务．列出分式方程，解方程即可；

设以后每天改造下水道管线还要增加米，根据确保总工期不超过天，列出一元一次不等式，解不等式即可．

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．

24.【答案】证明：如下图，过点作于点，

，则，则；

如题干图左图，将绕点按逆时针方向旋转，得到，

则，

，

，

≌，

；

设：，

时，则点、、重合，构不成三角形，

故该种情况不存在；

当时，如下图：

，则，

而，

，

则，

由知，