2022-2023学年河北省保定七中八年级（上）期末数学试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列图形中，是轴对称图形的是()

A.B.C.D.

2.计算的结果是()

A.B.C.D.

3.如图，两个三角形是全等三角形，的值是()

A.

B.

C.

D.

4.人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示数的结果是()

A.B.C.D.

5.计算的结果是()

A.B.C.D.

6.若成立，则的取值范围是()

A.B.C.D.

7.对于，，从左到右的变形，表述正确的是()

A.都是因式分解B.都是乘法运算

C.是因式分解，是乘法运算D.是乘法运算，是因式分解

8.将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中锐角的度数是()

A.B.C.D.

9.若，则下列分式化简正确的是()

A.B.C.D.

10.若关于的分式方程的解为，则值为()

A.B.C.D.

11.在解分式方程时，去分母后变形正确的是()

A.B.

C.D.

12.如图，利用尺规作的平分线，作法如下：以点为圆心，以为半径画弧，交于点，交于点；分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧在的内部交于点；画射线，射线就是的平分线则，需要满足的条件是()

A.，均无限制B.，的长度

C.有最小限制，无限制D.，的长度

13.若分式的值为，则的值为()

A.B.C.D.不存在

14.()

A.B.C.D.

15.若，则()

A.B.C.D.

16.现有一张纸片，，，有甲、乙两种剪拼方案，如图，所示将它们沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则()

A.甲、乙都可以B.甲、乙都不可以C.甲不可以、乙可以D.甲可以、乙不可以

二、填空题（本大题共3小题，共11.0分）

17.若，则______．

18.现有甲，乙、丙三种不同的矩形纸片边长如图．

取甲、乙纸片各块，其面积和为______．

嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片块，再取乙纸片块，还需取丙纸片______块．

19.如图，点是等边内一点，是外的一点，，，≌，，连接．

当，______；

当______度时，是等腰三角形．

三、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.本小题分

计算：；

计算：；

解方程：；

解方程：．

21.本小题分

先化简，再求值：，其中．

22.本小题分

发现：任意三个连续偶数的平方和是的倍数．

的结果是的几倍？

设三个连续偶数的中间一个为，写出它们的平方和，并说明是的倍数；

任意三个连续整数的平方和，设中间一个为，被除余数是几？请直接写出结果．

23.本小题分

如图，在中，，，是边上的中线，过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点．

求证：≌；

若，求的长．

24.本小题分

如图，在平面直角坐标系中．

请画出关于轴对称的，并写出、的坐标；

直接写出的面积：______；

在轴上找到一点，使为等腰三角形，这样的点有个，直接写出的值．

25.本小题分

某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少元，且用元买这种本子的数量与用元买这种笔的数量相同．

求这种笔和本子的单价；

该同学打算用自己的元压岁钱购买这种笔和本子，计划元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案．

26.本小题分

如图，已知，，连接，过点作的垂线段，使，连接．

如图，直接写出点坐标；

如图，当点在线段不与重合上，连接，作等腰直角，，连接，求证：；

在的条件下：

若、、三点共线，直接写出此时的度数及点坐标．

直接写出面积的最小值和此时的长度．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B、是轴对称图形，故本选项符合题意；

C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．

故选：．

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2.【答案】

【解析】解：故选B．

根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答．

本题主要考查了同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．

3.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．

根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质解答即可．

【解答】

解：，

两个三角形是全等三角形，和所对边长都为，

，即，

故选A．

4.【答案】

【解析】解：

故选D．

绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．

5.【答案】

【解析】解：．

故选：．

同分母分式相加，分母不变，分子相加，进行计算即可．

本题考查分式的加减．熟练掌握同分母分式相加，分母不变，分子相加，是解题的关键．注意结果要化为最简分式或整式．

6.【答案】

【解析】解：由题意，得：，

；

故选：．

根据，进行求解即可．

本题考查零指数幂．熟练掌握，是解题的关键．

7.【答案】

【解析】

【分析】

此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．

根据因式分解的定义把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式判断即可．

【解答】

解：，从左到右的变形是因式分解；

，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；

所以是因式分解，是乘法运算．

故选：．

8.【答案】

【解析】解：根据直角三角板，，，

，

，

，

故选：．

根据直角三角板，，，再根据角的和差关系可得的度数，再利用三角形内角和为计算出的度数．

此题主要考查了三角形内角和定理，以及角的计算，关键是掌握三角形内角和为，正确计算出的度数．

9.【答案】

【解析】解：，

，故选项A错误，不符合题意；

当，时，，故选项B错误，不符合题意；

，故选项C正确，符合题意；

，故选项D错误，不符合题意；

故选：．

根据分式的基本性质和各个选项中的式子，可以判断是否正确，本题得以解决．

本题考查分式的基本性质，属于基础题，灵活运用分式的基本性质是解题的关键．

10.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查分式方程的解，解题的关键是明确题意，用代入法求的值．

【解答】

解：分式方程的解为，

，

解得．

故选C．

11.【答案】

【解析】

【分析】

此题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断．

【解答】

解：两边都乘以，得：，

故选：．

12.【答案】

【解析】解：由角平分线的作图可知：

以点为圆心，任意长为半径画弧，可知：；

分别以点，为圆心，以的长度为半径画弧，可知：的长度．

故选：．

根据角平分线的作法，进行判断即可．

本题考查角平分线的作图．熟练掌握角平分线的作图方法是解题的关键．

13.【答案】

【解析】解：分式的值为，

且，

解得：．

故选：．

点拨：直接利用分式的值为零，则分子为零分母不为零，进而得出答案．

此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．

14.【答案】

【解析】解：．

故选：．

根据个相加得，再根据幂的乘方运算法则即可求解．

本题考查乘法的意义，幂的乘方运算等，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．

15.【答案】

【解析】解：，

，

，

检验：当时，分式方程分母不为，所以是原分式方程的解．

故选：．

去分母，再解方程即可．

本题考查了分式方程的解法，解题关键是不用漏掉分式方程根的检验．

16.【答案】

【解析】解：如图，将移至处，移至处，四边形移至处，即可得到一个与原来面积相等的正方形；

如图，将，，分别移至处，即可得到一个与原来面积相等的正方形；

甲、乙方案都可以，

故选：．

如图，将移至处，移至处，四边形移至处，即可得到一个与原来面积相等的正方形；如图，将，，分别移至处，即可得到一个与原来面积相等的正方形．

本题考查了图形的剪拼以及正方形的性质，解答本题的关键是根据题意作出图形．

17.【答案】

【解析】解：，

，

把代入得：，

故答案为：．

根据，得出，然后整体代入计算即可求出值．

本题主要考查了求代数式的值，注意运用整体代入思想是解题的关键．

18.【答案】

【解析】解：甲纸片的面积是，乙纸片的面积是，

甲、乙纸片各块的面积之和是，

故答案为：；

甲纸片块和乙纸片块的面积之和为：，

且是完全平方式，

要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形时，还需取丙纸片块，

故答案为：．

分别求两个正方形面积再求它们的和；

根据完全平方式结构构造完全平方式即可．

此题考查了完全平方式几何背景问题的解决能力，关键是能根据图形和完全平方式的结构准确列式、构造求解．

19.【答案】或或

【解析】解：≌，

，

，

是等边三角形，

，

≌，，

，

；

≌，

，

是等边三角形，

，，

；

当时，，

；

当时，，

；

当时，，

，

当或或时，是等腰三角形．

根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得是等边三角形，再根据全等可得，继而得到为，即可求解；

根据题中所给的全等及的度数可得的度数，进而得到的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．

综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况是解题的关键．

20.【答案】解：

；

；

，

去分母得：，

去括号得：，

移项合并得：，

化系数为得：，

检验：当时，，

所以是方程的解；

，

去分母得：，

去括号得：，

移项合并得：，

检验：当时，，

所以是方程的解．

【解析】按照多项式乘多项式去括号合并即可；

运用平方差、完全平方差公式去括号然后合并即可；

去分母、去括号、移项合并、化系数为，并检验；

去分母、去括号、移项合并、化系数为，并检验．

本题考查了整式的化简和分式方程求解，掌握整式的乘法法则和公式去括号，正确求解分式方程并检验是解题的关键．

21.【答案】解：

，

当时，原式．

【解析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．

本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

22.【答案】解，

所以是倍；

设三个连续偶数的中间一个为，则另外两个偶数分别为和，

平方和为：

，

其平方和是的倍数；

设中间一个为，则另外两个偶数分别为和，

平方和为：

，

其被除余数是．

【解析】直接计算即可求解；

设三个连续偶数的中间一个为，则另外两个偶数分别为和，求出它们的平方和，再进行因式分解即可解答；

设中间一个为，则另外两个数分别为和，计算即可解答．

本题考查整式的混合运算、完全平方公式，字母表示数和因式分解，正确用含的式子表示数是解题的关键．

23.【答案】证明：，，

．

．

在和中，

，

≌；

解：，

，

是中线，

，

由已证：≌，

．

【解析】先根据直角三角形的性质、垂直的定义可得，再根据定理即可得证；

先根据线段中点的定义可得，再根据全等三角形的性质即可得．

本题考查了直角三角形的两个锐角互余、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．

24.【答案】

【解析】解：如图，即为所求；

连接，，

故答案为：；

如图，当时，点在位置；

当时，点在，位置；

当时，点在位置．

点共有个，即．

利用关于轴对称的点的坐标特征确定点、即可；

利用割补法求面积即可；

根据等腰三角形的定义作出图形，即可得到的值．

此题考查了轴对称作图，等腰三角形的定义，求网格中图形的面积，正确理解轴对称的性质作出图形是解题的关键．

25.【答案】解：设本子单价为元，则笔的单价为元，

则有，

解得，

检验时，，

分式方程的解为，

，

答：本子单价为元，笔单价为元；

设购买了个本子，个笔都是正整数．

则有，

，

，为正整数，

或，

方案一：购买个本，个笔，

方案二：购买个本，个笔，

答：方案一：购买个本，个笔，方案二：购买个本，个笔．

【解析】首先设本子单价为元，则笔的单价为元，根据题意可得等量关系：元买这种本子的数量等于元买这种笔的数量，由等量关系可得方程，再解方程可得答案；

设恰好用完元，可购买购买了个本子，个笔，根据题意可得，再求出整数解即可．

本题考查分式方程的应用；二元一次方程的应用；解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程．

26.【答案】解：作轴于，则，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，，

，

点坐标为；

证明：，

，

，

，

，

，

在和中，

，

≌，

．

解：是等腰直角三角形，

，

当、、