人教版高中数学必修第二册7.3.1复数的三角表示式 同步练习（含解析）

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一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)

1.复数-i的一个辐角是()

A.0B.

C.πD.

2.复数1-i的辐角的主值是()

A.πB.π

C.πD.

3.复数-10的三角形式是()

A.10cos+isin

B.-10cos-isin

C.10(cosπ+isinπ)

D.10(sin0+isin0)

4.复数-cos+isin的三角形式是()

A.cos+isin

B.cos+isin

C.cos+isin

D.cos+isin

5.复数-2sin+icos的代数形式是()

A.+iB.--i

C.+iD.--i

6.复数2-cos+isin的辐角的主值是()

A.B.

C.D.

7.若复数cosθ+isinθ和sinθ+icosθ相等,则θ的值为()

A.

B.或

C.2kπ+(k∈Z)

D.kπ+(k∈Z)

8.若复数z=(a+i)2的辐角的主值是,则实数a的值是()

A.1B.-1

C.-D.-

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

9.复数z=-的共轭复数的辐角的主值是.

10.复数9(cosπ+isinπ)的模是.

11.复数z=4sin-icos的共轭复数的代数形式是.

12.复数z=+i的共轭复数的三角形式是.

三、解答题(本大题共2小题,共20分)

13.(10分)(1)在复平面内画出复数2-2i所对应的向量,并将其表示成三角形式.

(2)在复平面内画出复数--i所对应的向量,并将其表示成三角形式.

14.(10分)分别指出下列复数的模和辐角的主值,并把这些复数表示成代数形式.

(1)(cos60°+isin60°);

(2)2cos-isin.

15.(5分)已知复数z满足z2+2z+4=0,且argz∈,π,则z的三角形式为.

16.(15分)设O为复平面的原点,A,B为单位圆上两点,A,B所对应的复数分别为z1,z2,z1,z2的辐角的主值分别为α,β.若△AOB的重心G对应的复数为+i,求tan(α+β)的值.

参考答案与解析

1.D[解析]-i=cos+isin,故选D.

2.A[解析]因为1-i=2×-i=2cosπ+isinπ,所以1-i的辐角的主值为π.

3.C[解析]-10=10(cosπ+isinπ),故选C.

4.B[解析]-cos+isin=cos+isin,故选B.

5.A[解析]-2sin+icos=(-2)--i=+i,故选A.

6.C[解析]2-cos+isin=2cos+isin,则其辐角的主值为,故选C.

7.D[解析]因为cosθ+isinθ=sinθ+icosθ,所以cosθ=sinθ,即tanθ=1,所以θ=+kπ(k∈Z).故选D.

8.B[解析]因为z=(a+i)2=(a2-1)+2ai,argz=,所以所以a=-1,故选B.

9.π[解析]因为z=-,所以=-=(cosπ+isinπ),故其辐角的主值为π.

10.9

11.2-2i[解析]z=4sin-icos=4+i=2+2i,所以=2-2i.

12.2cos+isin[解析]因为z=+i,所以=-i=2-i=2cos+isin.

13.解:(1)复数2-2i所对应的向量如图所示,

则r==2,cosθ=.

因为与2-2i对应的点在第四象限,

所以arg(2-2i)=,

于是2-2i=2cos+isin.

(2)复数--i所对应的向量如图所示,

则r==2,cosθ=-.

因为与--i对应的点在第三象限,

所以arg(--i)=,

于是--i=2cos+isin.

14.解:(1)(cos60°+isin60°)的模r1=,辐角的主值为60°.

(cos60°+isin60°)=×+×i=+i.

(2)2cos-isin=2cos2π-+isin2π-=2cosπ+isinπ,

所以复数2cos-isin的模r2=2,辐角的主值为π.

2cosπ+isinπ=2cosπ+2isinπ=2×+2×-i=1-i.

15.z=2cos+isin[解析]由z2+2z+4=0,得z=(-2±2i)=-1±i.因为argz∈,π,所以z=-1+i=2cos+