新人教版八年级数学下册全套课件 第十六章 二次根式全章课件汇总

新人教版八年级数学下册全套课件汇总第十六章二次根式16.1二次根式16.1.1二次根式的概念

X就是a的平方根。X2

底数指数幂=a

一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.2根指数被开方数读作：二次根号m简写为：读作：根号m（m≥0)根号表示一些正数的算术平方根1)．4的平方根是_____；0的平方根是______.2)．5的平方根是_______；5的算术平方根是____.0议一议（1）-1有算术平方根吗？（2）0的算术平方根是多少？（3）当＜0时，有平方根吗？（没有）（0）（没有）问题1这些式子分别表示什么意义？问题2这些式子有什么共同特征？小结:一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根；因此，开方时被开方数只能为正数或0.

一般地，我们把形如

的式子叫做二次根式.

“”称为二次根号.两个必备特征①外貌特征：含有“”②内在特征：被开方数a

≥0注意：a可以是数，也可以是式.例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(2)(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否分析：例2当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?解：由x-2≥0，得x≥2.当x≥2时，在实数范围内有意义.解：由题意得x-1＞0，∴x＞1.解：∵被开方数需大于或等于零，∴3+x≥0，∴x≥-3.∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.∴x≥-3且x≠1.

要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零.总结:求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数不小于0；②分母中有字母时，要保证分母不为0.1.下列各式：.

一定是二次根式的有（）A.3个B.4个C.5个D.6个B2.(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______;(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.x

≥1

x

≥0且x≠2

二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0.

二次根式的被开方数非负二次根式的值非负二次根式的双重非负性3

若，求a-b+c的值.解：

由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.总结：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.4

已知y=,求3x+2y的算术平方根.解：由题意得∴x=3，∴y=8，∴3x+2y=25.∵25的算术平方根为5，∴3x+2y的算术平方根为5．五、归纳总结

本节课主要学习了二次根式的定义及被开方数的取值范围.

(1)本节课你学习了哪些知识？

(2)利用本节课知识，你能解决什么问题？

利用本节课知识，解决了使二次根式在实数范围内有意义的被开方数的取值范围问题，此问题在计算中经常作为隐含条件给出,注意合理应用.2.式子有意义的条件是（）

A.x＞2B.x≥2C.x＜2D.x≤23.当x=____时，二次根式取最小值，其最小值为______．1.下列式子中，不属于二次根式的是（）CA-104.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？5.(1)若二次根式有意义，求m的取值范围．解：由题意得m-2≥0且m2-4≠0，解得m≥2且m≠-2，m≠2，∴m＞2．(2)无论x取任何实数，代数式都有意义，求m的取值范围．解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.∵(x+3)2≥0，∴m-9≥0，即m≥9.16.2二根次式的乘除第1课时二次根式的乘法(1)___×___=____;=_________;计算下列各式:(2)___×___=____;(3)___×___=____;=_________;=_________.23645205630观察两者有什么关系？

观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：(1)(2)(3)思考你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？一般地,对于二次根式的乘法法则:拓展:1.对于多个二次根式进行相乘的运算,则2.当二次根式前面有因数或因式时,则注意公式成立的条件探索新知一般地，对于二次根式的乘法是语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.二次根式的乘法法则:二次根式相乘，________不变，________相乘.根指数被开方数注意：a,b都必须是非负数.探索新知(a≥0,b≥0)算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.计算解：探索新知反过来：（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）一般的：在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数．A.B.C.D.1.计算的结果是()

A.B.4C.D.2B2.下面计算结果正确的是()

D3.计算：____.

30解：（1）；4

化简：（1）；（2）．（2）

3、如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式a2=a(a≥0)把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简1、把被开方数分解因式(或因数)；2、把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；化简二次根式的步骤：的值是（）的值是（）的值是（）ABA4.

估计的运算结果应在（）A、1到2之间 B、2到3之间 C、3到4之间 D、4到5之间C5.比较大小＜＜探索新知7.将下列式子中根号外的因数（因式）移到根号内.A二次根式乘法法则性质拓展法则1.若，则（）A．x≥6B．x≥0C．0≤x≤6D．x为一切实数A2.下列运算正确的是（）A.B.C.D.D习题3.计算：4.比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：＞＜5.设长方形的面积为S，相邻两边分别为a,b.(1)已知,，求S；解：S=ab=

==

=

（2）已知,，求S.

解：S=ab=

===240.

6.已知试着用a,b表示.解：温故知新1.什么是二次根式？2.二次根式的性质有哪些？3.什么是代数式？

运用运载火箭发射航天行器时，火箭必须达到一定的速度（第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：v12=gR，其中g是重力加速度.请用含g，R的代数式表示出第一宇宙速度v1.第一宇宙速度v1可以表示为.导入新课飞行器脱离地心引力，进入围绕太阳运行的轨道所需要的速度称为第二宇宙速度.第二宇宙速度为v2=v1，请结合问题1用含g，R的代数式表示出第二宇宙速度v2.第二宇宙速度v2可以表示为.思考

若已知地球半径R≈6371km及重力加速度g≈10m/s2，要求第二宇宙速度，本质是把两个二次根式相乘，该怎么乘呢？导入新课16.2

二次根式的乘除人教版八年级数学下册

问题1当a是正数或0时，是实数吗？取a值分别为1，2，3，4，5试一试！

类比有理数的运算，你认为任何两个实数之间可以进行哪些运算？加、减、乘、除四则运算

问题2

两个二次根式能否进行加、减、乘、除运算？怎样运算？让我们从研究乘法开始．请写出两个二次根式，猜一猜，它们的积应该是多少？特殊化，从能开得尽方的二次根式乘法运算开始思考！？(1)___×___=____;=_________;计算下列各式:(2)___×___=____;(3)___×___=____;=_________;=_________.23645205630观察两者有什么关系？

目标导学一：二次根式的乘法观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：(1)(2)(3)思考

你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？猜测：

你能证明这个猜测吗？求证：证明：根据积的乘方法则，有∴就是ab算术平方根.又∵表示ab算术平方根，∴

.合作探究

二次根式与二次根式相乘，等于各被开方数相乘的算术平方根．

反之：（a≥0，b≥0

）．一般地有（a≥0，b≥0

）．二次根式乘法法则：？知识归纳解：（1）；

例1计算：（1）；（2）；（3）．（2）；（3）．变：若（3）的条件为a≤0，b≥0呢？精典例题

计算:

归纳：(3)只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即.可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则解：

即学即练二次根式的乘法法则的推广：多个二次根式相乘时此法则也适用，即当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即拓展延伸例2

比较大小(一题多解):解：(1)方法一：∵，，又∵20＜27，∴，即.方法二：∵，

，又∵20＜27，∴，即.合作探究解：(2)∵，，又∵52＜54，∴，∴,即

比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.归纳两个负数比较大小，绝对值大的反而小

二次根式乘除运算的一般步骤：1.运用法则,化归为根号内的实数运算;2.完成根号内相乘,相除(约分)等运算;3.化简二次根式.知识归纳解：例3.计算：

精典例题（a≥0，b≥0）根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数。二次根式的乘法：根式和根式按公式相乘。方法归纳

计算：解：原式原式即学即练反过来：（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）一般的：这个性质在有的地方称之为“积的算术平方根的性质”我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.目标导学二：积的算术平方根的性质解：（1）；例4

化简：（1）；（2）．（2）

(2)中4a2b3含有像4，a2，b2，这样开的尽方的因数或因式，把它们开方后移到根号外.精典例题（1）；（2）．

化简：解：（1）（2）

当二次根式内的因数或因式可以化成含平方差或完全平方的积的形式，此时运用乘法公式可以简化运算.归纳变式练习例5

计算：（1）；（2）；（3）．解：（1）（2）（3）精典例题

我们知道，两个二次根式可以进行乘法运算，那么，两个二次根式能否进行除法运算呢？

．目标导学三：二次根式的除法

问题

计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？（2）（1）（3）_______；

_______；_______；_______；_______；_______．合作探究

问题

计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？（a≥0，b＞0）观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：(1)(2)(3)思考

通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式除法运算法则，你能说出二次根式的结果吗？特殊一般问题

在前面发现的规律中，a,b的取值范围有没有限制呢？不对，同乘法法则一样，a,b都为非负数.a,b同号就可以啦你们都错啦，a≥0，b＞0,b=0时等式两边的二次根式就没有意义啦

a≥0，b＞0,当b=0时，等式两边的二次根式就没有意义啦！二次根式的除法法则:文字叙述:算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得知识归纳解：例6能否将二次根式化简？精典例题

B即学即练

B即学即练3.计算:先将每一项分母有理化.即学即练我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质.类似地，把二次根式的除法法则反过来，就得到二次根式的商的算术平方根的性质:目标导学四：商的算术平方根的性质例7.化简:解:还有其他解法吗?补充解法：

精典例题

解法1：解法2：精典例题化简：解：

即学即练问题1

你还记得分数的基本性质吗？分数的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分数与原分数相等.即问题2

前面我们学习了二次根式的除法法则，你会去掉这样的式子分母的根号吗？是不是可以用分数的基本性质去掉分母的根号呢？目标导学五：最简二次根式观察下列二次根式及其化简所得结果,比较被开方数发生了什么变化?被开方数不含开得尽方的因数被开方数不含分母被开方数满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（２）被开方数不含分母．如：√√（１）被开方数各因式的指数都为1．例8．判断下列二次根式是不是最简二次根式解(1)因为被开方数含分母３，所以不是最简二次根式．(2)因为被开方数分解：所以是最简二次根式．注:被开方数比较复杂时，应先进行因式分解再观察

化简二次根式的步骤:1.把被开方数分解因式(或因数)；

2.将被开方数中开得尽方的因数(式)用它的正平方根代替后移到根号外面.3.将被开方数中的分母化去4.被开方数是带分数或小数时要化成假分数.判断下列各式是否为最简二次根式？（5）（）；（2）（）；（3）（）；（4）（）；（1）（）；（6）（）；（7）（）；√×××××√被开方数是多项式的要先分解因式再进行观察判断．满足如下两个特点：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.知识归纳3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式

a2=把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简.1.把被开方数分解因式(或因数)；2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；化简二次根式的步骤：知识归纳例8

设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知，求a的值.解:∵∴目标导学六：二次根式乘除法的应用例9

高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡．据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足公式.从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地所需时间t1的多少倍？解:由题意得解：当W=2400焦耳，R=100欧姆，t=15秒时，

即学即练

即学即练二次根式乘法法则性质拓展法则课堂小结

C检测目标(

) B．C．D．A．D检测目标

检测目标B

检测目标

计算：（1）；（2）；（3）．解：（1）；（2）；（3）．检测目标计算：检测目标课后作业1.整理本节知识点

2.选做题：

同步检测题二次根式的加减合并同类项法则二次根式的概念及最简二次根式概念合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母和字母的指数不变。一般地，形如的式子，叫二次根式。二次根式满足：①被开方数不含分母②被开方数不含有开得尽方的因数或因式。这样式子叫最简二次根式知识热身1、计算2、化简3、下列二次根式是最简二次根式的是（）ABCD4、比较大小:B＞问题现有一块长为7.5dm,宽为5dm木板,能否采用如图形式,在这块木板上截出面积分别是8dm2

和18dm2

的正方形木板?8dm218dm2学习指导:1、讨论能否可截出一个大正方形？两个正方形？本题关键是比较什么？需计算什么？2、转化为计算：____________3、讨论如何运用运算计算？解：计算解：原式＝解：原式＝归纳知识二次根式加减法则一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。▲化简▲合并同类二次根式比较知识提升能力二次根式加减整式加减比较相同点：合并同类二次根式，合并同类项。数与根式相乘，数与字母相乘。类似系数解决问题8dm218dm2解：因为所以能截出这样的两个正方形。挑战例题1练习计算：解：原式＝解：原式＝解：原式＝把握好方法，化简后合并同类二次根。再次挑战例2把握好方法，化简后合并同类二次根。展示知识把握好乘法法则（分），除法的去分母的解题要领。展示知识错点：去括号，合并同类二次根式。巩固练习计算：拓展延伸总结学习了什么？掌握了什么方法？二次根式的加减法则：先化简，再合并同类二次根式。二次根式的加减，类似合并同类项。难点是化简，易错点是含分母的化简。课后练习1、计算

的值是（）A2B3CD2、下列二次根，能与合并的是（）ABCD3、的小数部分分别是a,b，则求出

的值是_________.19.2.3

一次函数与方程、不等式一导学

学习目标：

1．认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、一元一次不等式之间的联系．会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义；

2．经历用函数图象表示方程、不等式解的过程，进一步体会“以形表示数，以数解释形”的数形结合思想．学习重点：理解一次函数与二元一次方程（组）的联系．学习难点：体会“以形表示数，以数解释形”的数形结合思想

1号探测气球从海拔5

m处出发，以1m/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5

m/min的速度上升．两个气球都上升了1h．请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔y（m）与气球上升时间x（min）的函数关系．提出问题h1h2气球1海拔高度：y=x+5；气球2海拔高度：y=0.5x+15．二元一次方程与一次函数有什么关系？二探究一次函数与方程的关系（1）在同一坐标系中画出以y=0.5x+15的解为坐标的点组成的图形和一次函数y=0.5x+15的图象，你有什么发现？从形的角度看，二元一次方程与一次函数有什么关系？15105-5510Oxyy=0.5x+15（2）一般地，以方程y=kx+b（其中k，b为常数，k≠0）的解为坐标的点组成的图形与一次函数y=kx+b的图象有什么关系？从形的角度看，二元一次方程与一次函数有什么关系？15105-5510Oxyy=0.5x+15从形的角度看：以二元一次方程y=kx+b（其中k，b为常数，k≠0）的解为坐标的点组成的图形一次函数y=kx+b的图象二元一次方程与一次函数的关系形数以数对（x，y）

为坐标画点点的坐标满

足的方程点的坐标满足

的函数关系用方程观点看用函数观点看一次函数

y=0.5x+15二元一次方程

y-0.5x=15二元一次方程

y=0.5x+15xyOy=0.5x+15直线从数的角度看：就是求自变量为何值时，两个一次函数y

=x+5，y

=0.5x+15的函数值相等，并求出函数值．解方程组y=x+5

y=0.5x+15什么时刻，1号气球的高度赶上2号气球的高度？大家会从数和形两方面分别加以研究吗？h1h2气球1海拔高度：y=x+5气球2海拔高度：y=0.5x+15二元一次方程组与一次函数的关系二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图象的交点坐标．A（20，25）302520151051020y=x+5y=0.5x+15155Oxy从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？32121-2Oxy-1-13例1下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1．用函数的观点看：解一元一次方程ax+b=k就是求当函数值为k时对应的自变量的值．2x+1=3的解y=2x+12x+1=0的解2x+1=-1的解我们来看下面的问题：1.解不等式：2x-4＞0问题1、2、3间有什么关系?2.当自变量x为何值时函数y=2x-4值大于0?3、画出函数y=2x-4的图象，并求出它与x轴的交点坐标。一次函数与不等式的关系2-4函数y=2x-4的图像。可以看出当x＞2时，直线上的点全在轴的上方。即：当x＞2时y=2x-4＞0由此可知：通过函数图像可以求不等式的解集y=2x-40yX任何一元一次不等式都可以转化为ax+b＞0或ax+b＜0(a,b为常数，a≠0)的形式。解一