传染病动力学

#2.4)二-d(x)+d(x,y)+B(x,y)p(t,x,y)

k丿2.4)同理，我们有在t+dt时刻、年龄在lx,x+dx］中的第III类人数p(+dt,x)dx等于在t时刻、3年龄在lx-dt,x+dx-dt］中的第III类人数pC,x-dt)dx减去在It,t+dt］中年龄在3［x-dt,x+dx-dt］中的第III类人的自然死亡数d(x-dt)pC,x-dt1/xd加上在3L,t+dt］中年龄在［x—dt,x+dx—dt］中的第II类人的治愈数为dxdt.fB(x-dt,y)p(t,x,y)dydxdt.2丿由此我们得到2.5)2.6)聖+勢二-d(x)p+BB(x,y)p(t,x,y)dy

QtQx322.5)2.6)0面看初始条件及边界条件.初始条件为t=0:p二po(x),p二po(x,y),p二po(x).112233边界条件：由于新生婴儿进入第I类状态，且从x=o开始，故出生的婴儿数将给出在x=0的边界条件•设出生率为b(x),并设最低生育年龄为aCA),我们得到在时段t+dt］中出生的婴儿总数fb(x(p(t,x)+fp(t,x,y)dy+p(t,x)dxdtTOC\o"1-5"\h\zI123ako丿应等于在时刻t+dt、年龄区间在b,dt］中第I类人数p(t+dt,0》tCpCobt),11故有边界条件x=0:pC,0)=fb£(p(t,g)+fp(t,g,H)dq+p(t,g)dg,(t>0).(2.7)1I123ak0丿此外，第II类及第III类人中不包括新生婴儿，故应有边界条件x=0:p(t,0,y)=0(t>0,0<y<B),(2.8)2x=0:p(t,0)=0(t>0).(2.9)3又由于第I类人中的发病者进入第II类人，病程从y=0开始，故第I类人的发病数应给出y=0处的边界条件.我们有在It,t+dt］中年龄在lx,x+dx］中的第I类人的发病数&p(t,x)dxdt应等于在1t时刻,年龄在L-dt,x+dx-dt］、病程在b,dt］中的第II类人数p(t,x-dt,0)dxdt,2故得如下的边界条件y=0:p(t,x,0)=ocp(t,x)(t>0,0<x<A).(2.10)21其中&=a(x)p(t),而p0由(2.2)式定义.22这样就得到定解问题(2.3)-(2.10),其中p0由(2.2)式定义.2在对已知的资料加以适当的假设(包括相容性条件)后,我们要求该问题的解p=p(t,x),p=p(,x,y),p=p(t,x),使在区域老>0,0<x<A,0<y<b｝上112233连续.可以看到这个问题有如下一些特点：(i)有三个未知函数，其中p(t,x)及p(t,x)具有两个自变数,而另一个未知13函数p(t,x,y)则具有三个自变数.它们的方程及边界条件互相耦合在一起.2(ii)(2.3)-(2.5)均为主部为常系数的一阶偏微分方程，但除(2.4)是关于p(t,x,y)本身(无耦合)的普通的一阶线性偏微分方程外，关于p(t,x)的方程23(2.5)中包含p对y的积分，因而是线性、非局部的方程，而关于p(t,x)的方程21(2.3)由于包含pC),不仅具非局部的形式，而且是非线性的.2(iii)在x=0处对p的边界条件具有非局部的积分泛函的形式，但还是线性1的;而在y=0处的边界条件不仅是非局部形式，而且是非线性的.总之,这是一个一阶双曲型方程组的非局部、非线性混合初边值问题,而且未知函数具有不同个数的自变数.对这类方程组的定解问题尚有大量问题（如解的整体存在性、解的性质等）有待进一步研究讨论.结束语用数学方法来考察传染病的理论,对它的发病机理、动态过程和发展趋势进行研究,已逐渐成为一个活的研究领域.本