分类数据的检验

#第三讲分类数据的检验一、引例十九世纪伟大的英国生物学家孟德尔(Mendel)按颜色与形状把豌豆分为四类：黄而圆的，青而圆的，黄而有角的，青而有角的.按照遗传学理论，孟德尔指出这四类豌豆的个数之比为9：3:3：1,也即豌豆为黄而圆的，青而圆的，黄而有角的，青而有角的概率分别为9/16,3/16,3/16,1/16•他通过观察n=556个豌豆发现，这四类豌豆的个数分别为315,108，101,32。如何根据这些观察数据对孟德尔的遗传学理论进行检验？分析：总体为所有的豌豆，豌豆按颜色和形状分为四类：A—黄而1圆的，A—青而圆的，A—黄而有角的，A—青而有角；34(2)每种豌豆的比率(概率)分别为：p=P(A)，p二P(A),1122p=P(A)，p二P(A)，但未知；344根据理论或经验提出假设：p=916，p二316,p=3'16，123p=116；'4)做试验获得观察数据形状圆的有角的颜色黄色315101青色108325)根据观察数据检验如下假设：H:p=916,p二316，p=316,p=11601^234'若接受H，说明观察数据符合孟德尔的遗传学理论，也即说明孟0德尔的遗传学理论正确；若拒绝H，说明观察数据不符合孟德尔的遗传学理论，也即说0明孟德尔的遗传学理论不正确.二、分类数据检验问题的统计模型（一）问题的一般提法1、总体分布设总体根据某项指标分为n类，记为A,A，…,A，各类所占的比例TOC\o"1-5"\h\z12r记为p,p，…,p，其中p>0，Yp二1，但p未知•也即总体分布为:12riiii=1总体类别AA2…A比例pp2r2、假设检验TOC\o"1-5"\h\z根据理论，或从经验出发提出一个原假设：H:p=p，i=1,2,...,r（*）0ii0其中p，i=1,2,..・,r已知，且乞p=1。i0i0i=13、研究内容对该总体独立重复观察n个个体，记n个个体中，属于A的观察i个数为n,i=1,2，…,r，其中有Yn=n，基于观察值n，i=1,2，…,r对原iiii=1假设（*）进行检验.

二)检验方法1、咒2检验检验统计量y（y（n-np）2厶一ii0—npi0i=12)统计量的渐进分布若H若H成立，当nT+2时，0(3)拒绝域(给定检验水平a,X2=工一x2（r-1）i=1npi0一般取a=0.1,0.05,0.01）W={X2>X2(r-1)}1-a若X2eW，则在检验水平a下拒绝H；0若X2gW，则在检验水平a下接受H;0检验p值(给定检验水平a，一般取a=0.1,0.05,0.01)p=P(X2(r-1)>X2)若p<a，则在检验水平a下拒绝H；0若p>a，则在检验水平a下接受H；0注：x2检验采用近似分布进行检验，要求样本容量大，一般n>50，np>5/i=1,2,…，r。i02、似然比检验随机向量(n,n，…,n)~M(n,p,p，…,p)，即(n,n，…,n)的联合分布12r12r12r列为:p（n,n，…，n;p,p，…，p）=12r12r样本(n,n，…,n)的似然函数为:12rL(p,p，•…，p；n,n，•…，n)=PnP叫…pnr12r12rn!n!・・・n!12r12r检验问题(*)的似然比A=L(p10,p20,…,5；n1，n2，…,"丿SupL(p,p，•…，p;n,n，•…，n)...12r12rp1，p2，，prPn1Pn2Pnrn!n!••“!1020ro=1SuPPn1Pn2•…Pnr…n!n!・・・n!12rP1，P2，，Pr12rP0PUSuppnipn2pnr...12rP1，P2，，Pr注:参数p，p，…,p满足工p=1，似然比可以写为:12rii=1L(p，p，…,p;n，n，…,n)A=打90枸+2ISupL(p，p，•…，p;n，n，•…，n)...12r12rP1，P2，，prpn1p“2…珀aoSupp“1pn^..pnr-1(1-p-p—…p)"r12r-112r-1p1，p2，，pr-1求解Suppn1pn2•…pnr-1(1-p—pp)n”:...12r-11*「"P1，P2，，Pr-1i记Q(p，p，•••，p)=pn1pn212r-112r-1・・・蚀(1-"Jp2-…J)nr=£1ii=1lnQ(p,p,p)=5nlnp+nln(1-p-pp)12r-1r-1皿=o

dp1皿=o

dp皿=0dpr-1

TOC\o"1-5"\h\znn—1=rP1—p—pp112r—1nn=rP1—p—pp212r—1nnr—1=rp1—p—ppr—112r—1Ynnni.…=—r—=r==np1ppp1r—1rpii=1也即参数p也即参数p,p，…,p1一的最大似然估计为:则似然比人=p”lpU则似然比人=p”lpU2•…pn1n2'nfn)l万丿=Hi=1(、np

——i0In丿i(1)检验统计量—2ln(A)=2》nln(人i=1'ln〃丿'p'—'p'—4ln/n丿I2(r—1)若H成立，当nT+s时,—2ln(A)=—22(r—1)0=1拒绝域(给定检验水平a，一般取a=0.1,0.05,0.01)W={—2ln(A)>x2(r—1)}1—a若-2ln(A)eW，则在检验水平a下拒绝H;0若-2ln(A)，则在检验水平a下接受H；0(4)检验p值(给定检验水平a，一般取a=0.1,0.05,0.01)

p=PC2(r—1)>—2ln(A))若p<«，则在检验水平a下拒绝H；0若p>a，则在检验水平a下接受H；0三、引例分析(1)记号A：黄而圆的，A：青而圆的，A：黄而有角的，A:青而1234有角；p=P(A)，p=P(A)，p=P(A)，p=P(A)；11223344n：黄而圆的豌豆个数，n：青而圆的豌豆个数，n：黄123而有角的豌豆个数，n：青而有角的豌豆个数；4观察数据n=315，n=108,n=101，n=32，n=n+n+n+n=556；12341234原假设：H:p=916，p=316，p=316，p=1/1601’234■(4)咒2检验类别pi0ninpi0(n-np)2—ii0—npi0Al0.5625315312.750。01618705A20。1875108104。250。134892086A30.1875101104。250。101318945A40。06253234.750.217625899合计15565560.470023981

自由度r-13X20.470023981P值0。925425895检验p值为0。925425895，表明不能拒绝H，即认为孟德尔的遗传0学理论是正确的。5）似然比检验类别pi0nin/nlP—i0-n/nrp)2nln—'In〃丿IA10。56253150。5665467630.9928571434.516148372A20。18751080。1942446040.9652777787.633303152A30.18751010。1816546761.032178218-6.397611