实数的连续性

第四章实数的连续性极限理论问题首先是极限的存在问题。一个数列是否极限，不仅与数列本身的结构有关，而且也与数列所在的数集有关。如果在有理数集上讨论极限，那么单调有界数列就可能不存在极限。例如，单调有界数列"1+14就不存在极限，因为它的极限不是、n,有理数。从运算来说，有理数集关于极限运算不封闭。即有理数列的极限不一定还是有理数。如果在实数集上讨论极限，情况就好得多。这对任何单调有界数列都存在极限，即§2.2的公理。从运算来说，实数集关于极限运算是封闭的。这个性质就是实数的连续性。实数的连续性是实数集有别与有理数集的重要特征，是实数集的优点。因此将极限理论建立在实数集之上，极限理论就有了巩固的基础。描述实数的连续性有多种不同的方法，本章是在§2.2的公理基础上，证明与公理等价的其它几个关于实数的连续性定理。实际上，这几个定理，可任选一个作为公理，然后推出其它定理。§4.1实数的连续性定理一.闭区间套定理定理1设有闭区间列｛[an,〃｝满足:(1)[气,bn]o[气+1，气J,n=1,2,;(2)lim(b-a)=0.nT8nn则3^gR,lima=limb=&,气a,b]={&}.nsnnsn n=1nn用公理证明闭区间套定理。由条件知数列｛a｝单调增加有上界nbi，数列｛bj单调减少有下界a1。关于这个定理作两点说明：（1）要求闭区间这个条件是重要的，若为开区间列，则定理的结论不一定成立。如：(a,b)=(0,1)，显然有(0,1)d(0,二),n=1,2,,nnn nn+1但3(0*=0,n=1 n如果开区间列是严格包含：a<a1<b1<b,n=1,2,,且lim(b-^)=0，则定理的结论还是成立的。ns(2)若[a,b]d[a,b],n=1,2,，但lim(b-a)。0，此nn n+1n+1 nnns时有lima=&,limb=&,&<&,3[a,b]=[&,&]。n”n1n”n2 1 2 n=1nn 12此定理给出通过逐步缩小范围，找出所求点的一种方法。例如下面的确界定理，就可用此定理来证明。二.确界定理定义1设E是非空数集，若邓。R，且VxgE,x<P；Vs>0,叫gE,P-s<X0。则称p是数集E的上确界，表为p=supE。定义2设E是非空数集，若女gR，且(1)VxgE,a<x；(2)Vs>0,3x0gE,X0<a+s。则称a是数集E的下确界，表为a=infE。例1E={rgQ,r2<2}贝UsupE=把，infE=一72。例2E=]—m,ngN,m<n>，则supE=1,infE=0。〔n例3f⑴,g⑴是定义在E=［a,b］上的有界函数,证明：sup{f(x)+g(x)}>sup{f(x)}+inf{g(x)}.xeE xeE x-E例4设E={—50,0,3,20}，则supE=20,infE=-50。例5开区间（a,b）与闭区间［a,b］这两个数集有相同的下确界a与上确界b。例6supN不存在，infN=1。例7整数集无上、下确界。从上面的例子看到，有限集必有上、下确界，而且上、下确界都属于该数集，即最大数与最小数。无限集不一定存在上、下确界，如果存在，也不一定属于该数集。由确界的定义知，有上（下）确界的数集，一定有上（下）界，反之，我们有定理2（确界定理）若非空数集E有上（下）界，则数集E存在唯一的上（下）确界。证法：用闭区间套定理将所要找的数集E的上（下）确界“套”出来。确界定理也是实数连续性的一种描述。有些教科书把它作为公理，首先提出来。一般来说，在一个有界数集上要想找到与该数集有特殊关系的数（上、下确界）要用确界定理。三・有限覆盖定理设I是一个区间（或开或闭），并有开区间集S（S的元素都是开区间，开区间的个数可有限，也可无限）。定义3若Vxw1,3AeS，有xc△，则称开区间集S覆盖了区间I。例1S=|（^-1,工）\n=1,2,［，覆盖了I=（0,1），但S中找〔nn+2' J i 1不出有限个开区间将它覆盖。例2S=Su［（--，上）,（竺，业）），覆盖了I=［0,1］，且可1 ［100100100100J 2选出有限个开区间将它覆盖。事实上，若I=［a,b］是有界闭区间，S是I的一个开覆盖，则总可以找出有限个开区间将它覆盖。定理3若开区间集S覆盖了闭区间［a,b］，则S中存在有限个开区间也覆盖了闭区间［a,b］。现用确界定理证明。思路：构造一个集合=｛小e［a,b］,［a,刈能被S中有限个开区间将它覆盖｝，则E非空有上界，从而有上确界君，再证君=b。证明：构造集合E=｛申e［a,b］,［a,x］能被S中有限个开区间覆盖｝。则E非空。事实上，因为S覆盖了闭区间［a,b］，那么［a,a］=｛a｝，必存在S的一个开区间覆盖了它。所以a&E。又因为VxeE,x<b，所以E有上界。由确界定理，E有上确界。设supE=x0则x0e［a,b］，从而，S中必有一个开区间（以,P）,使xe（a,P）。由上确界定义，存在xe（a,x］cE。因为［a,x］为S0 1 0 1的有限覆盖，添加（a,P）后，［a,x0］也是S的有限覆盖，故x0eE。现证x0=b。事实上，若x0。b，则x0<b，从而在（x0,P）上必存在x2e［a,b］，使得［a,x2］也是S的有限覆盖，这与supE=x0矛盾。所以x0=b，即S中存在有限个开区间覆盖了闭区间［a,b］。有限覆盖定理也称为紧致性定理或海涅-博雷尔定理。作业P1401（2），（4），（6），（8），3，4聚点定理含有无穷多个元素的点集，称为无穷点集。如开区间("与闭区间［ab是常见的无穷点集。现在我们来讨论任意的无穷点集。定义4设EuR,x0是一个定点，若V8>0,BxGE,xGU(x,8)，则称x0是E的聚点。定义4’设EuR,x0是一个定点，若V8>0,U(x0,8)含有E的无穷多个点，则称x是E的聚点。0例1E广(a,b)，则［a,b］中的每一点都是E［的聚点。E2=<1~n=1,2, >，则x=0是E2的聚点。E3=^nn=1,2,｝无聚点。命题1x0是E的聚点的充要条件是在E中存在互异点列｛x｝,(x。x),x—x(n—3)。nn0n0注意：数列｛x｝的极限与｛x｝所构成的点集的聚点是不同的n n概念。定理4数轴上有界无限点集E至少有一个聚点。证法：应用有限覆盖定理证明，用反证法。致密性定理定理5有界数列｛a｝必有收敛的子数列｛a｝。k证法：应用聚点定理证明。注：当数列｛a｝无界时，虽然不能应用致密性定理，但也有n一个类似的性质。即在｛an)中必存在一个子列｛an｝，使得

若｛a｝若｛a｝无上界，则必存在一个子列la｝n使得若｛a｝无下界，则必存在一个子列｛a｝n使得柯西收敛准则<£。定理6数列｛a｝收敛o">0,mN,Vn,m>N,1<£。证法：应用致密性定理证明定理的充分性。柯西收敛准则也称完备性定理，它是实数连续的又一种描述。作业P1407,8,9,10,11§4.2闭区间连续函数整体性质的证明在第三章我们已给出闭区间连续函数的三个性质：有界性、取极值性和介值性，但是没有证明。本节除给这三个性质的证明外，还要引进一新的概念：一致连续概念，并证明闭区间连续函数必是一致连续函数。这四个性质都是建立在实数连续性的基础上，因此它们的证明都要用到§4.1中的定理。性质的证明定理1(有界性)若f(x)eC[a,b]^BM>0,Vxe[a,b],|f(x)\<M证法一：用有限覆盖定理证。证法二：用致密性定理证。定理2(取最值性)若f(x)eC[a,b],则f(x)在[a,b]能取到最大值和最小值。证法一：用确界定理证。证法二：用致密性定理证。证法三：用闭区间套定理证。证法四：用有限覆盖定理证。定理3(零点定理)若f(x)eC[a,b],且f(a)f(b)<0,则在(a,b)内至少存在一点c,使f(c)=0。证法：用闭区间套定理证。一致连续性定义1设f(x)在区间I上定义，Ve>0,36=6(8)>0,Vx,xeI,x-x<6，有|f(x)-f(x)<e,1 2 1 2 1 1 2则称f(x)在区间I上一致连续性。显然，若f(x)在区间I上一致连续，则f(x)在区间I连续。例1证明f(x)=sin1在[6,1](0<6<1)上一致连续，但在(0,1)x不一致连续。例2证明f(x)=5在［0,+8)上一致连续。定理4f(x)eC［a,。］,则f(x)在［a,b］—致